1、2.3 雙曲線2.3.1 雙曲線及其標準方程（1） 通過觀看視頻可以清晰直觀地了解雙曲線的形狀,激發學生的學習興趣，又通過展示生活中各種各樣的雙曲線物體,體會雙曲線廣泛地存在于我們的生活的各個角落,充分調動學生學習的積極性和主動性. 借助多媒體輔助手段，動態展現雙曲線的形成,將抽象的數學問題變為具體的圖形語言,增強學生直觀感知能力在學習了橢圓的定義和標準方程之后，利用類比的思想學習雙曲線的定義和標準方程，自然流暢，易于理解. 例1是借助雙曲線的定義求動點的軌跡方程；例2是生活實際問題中的雙曲線問題,也是結合雙曲線的定義求動點的軌跡方程問題.1. 1. 橢圓的定義橢圓的定義和 等于常數2a (

2、2a|F1F2|0)的點的軌跡.平面內與兩定點F1、F2的距離的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入問題：引入問題：差等于常數的點的軌跡是什么呢？平面內與兩定點F1、F2的距離的|MF1|+|MF2|=2a ( 2a|F1F2|0) 如圖(A)，|MF1|-|MF2|=常數如圖(B)，上面兩條合起來叫做雙曲線由可得：由可得： | |MF1|-|MF2| | = 常數（差的絕對值）|MF2|-|MF1|=常數數學實驗：數學實驗：1取一條拉鏈；2如圖把它固定在板上的兩點F1、F23 拉動拉鏈（M）。思考：拉鏈運動的軌跡是什么？用拉鏈繪制雙用拉鏈繪制雙曲線曲線http:/ 兩個定點

3、F1、F2雙曲線的焦點; |F1F2|=2c 焦距.（1）2a0 ；思考：思考：（1）若2a= | F1F2 |,則軌跡是？（2）若2a | F1F2 |,則軌跡是？說明說明:（3）若2a=0,則軌跡是？ | |MF1| - |MF2| | = 2a(1)兩條射線(2)不表示任何軌跡(3)線段F1F2的垂直平分線雙曲線定義：雙曲線定義：F2F1MxOy求曲線方程的步驟：雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程1. 1. 建系建系以F1,F2所在的直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系2.2.設點設點設M（x , y）,則F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1| - |MF

4、2|=2a4.4.化簡化簡aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx22222222()()caxa yaca222bac)0,0(12222babyax此即為焦點在x軸上的雙曲線的標準方程12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系時,焦點在y軸上呢?看 前的系數，哪一個為正，則在哪一個軸上22, yx問題2、雙曲線的標準方程與橢圓的標準方程有何區別與聯系?問題1、如何判斷雙曲線的焦點在哪個軸上？定定 義義 方方 程程 焦焦 點點a.b.ca.b.c的的關系關系F（

5、c，0）F（c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2雙曲線與橢圓之間的區別與聯系|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 橢 圓雙曲線F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab典例展示典例展示解：解：解: 由聲速及在由聲速及在A A地聽到炮彈爆炸聲比在地聽到炮彈爆炸聲比在B B地晚地晚2s,2s,可知可知A A地與爆炸點的地與爆炸點的距離比距離比B B地與爆炸點的距離遠地與爆炸點的距離遠680m.680m.因為因為|AB|680m,|AB|6

6、80m,所以所以爆炸點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線在靠近B處的一支上. 例2.已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程. ,使A、B兩點在x軸上，并且點O與線段AB的中點重合如圖所示，建立直角坐標系xOy設爆炸點P的坐標為(x,y)，則3402680PAPB即 2a=680，a=340800AB 8006800 ,0PAPBx1(0)11560044400 xyx22222800,400,ccxyoPBA因此炮彈爆炸點的軌跡方程為因此炮彈爆炸點的軌跡方程為44400bca222222答:再增設一個觀測點C，利用B、C（或A、

7、C）兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準確位置.這是雙曲線的一個重要應用. 變式訓練3.如果方程 表示雙曲線，求m的取值范圍.22121xymm 解:21mm 得得或或(2)(1)0mm 由由1 1已知兩定點已知兩定點F F1 1( (5,0)5,0)，F F2 2(5,0)(5,0)，動點，動點P P滿足滿足| |PFPF1 1| | |PFPF2 2| |2 2a a，則當，則當a a3 3和和5 5時，時，P P點的軌跡為點的軌跡為( () )A A雙曲線和一直線雙曲線和一直線B B雙曲線和一條射線雙曲線和一條射線C C雙曲線的一支和一條射線雙曲線的一支和一條射線D D雙曲線的一支和一條直線雙曲線的一支和一條直線C2.2.若方程若方程(k(k2 2+k-2)x+k-2)x2 2+(k+1)y+(k+1)y2 2=1=1的曲線是焦點在的曲線是焦點在y y軸上的軸上的雙曲線，則雙曲線，則k k . .(-1, 1)(-1, 1) 4m454n11697m16n1解得解得 m116n19 所以所以所求雙曲線方程為所求雙曲線方程為x x2 21616y y2 29 91 1，即，即y y2 29 9x x2 216161.1. ， ， ， ， 1234( 2,5)(7 4