1、1. 了解指數函數、對數函數、冪函數的增長特征，結合具體實例體會直線上升、了解指數函數、對數函數、冪函數的增長特征，結合具體實例體會直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義2了解函數模型了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型遍使用的函數模型)的廣泛應用的廣泛應用.【考綱下載考綱下載】第第1111講講 實際問題的函數建模實際問題的函數建模1幾種常見的函數模型幾種常見的函數模型(1)一次函數模型一次函數模型yk kxb(k0)；(2)反比例函數模

2、型反比例函數模型y (k k0)；(3)二次函數模型二次函數模型y bxc(a0)；(4)指數函數模型指數函數模型y ；(5)yx 型；型；(6)分段函數模型分段函數模型(1)閱讀理解：讀懂題目中的文字敘述所反映的實際背景，領悟其中的數學本閱讀理解：讀懂題目中的文字敘述所反映的實際背景，領悟其中的數學本質，弄清題目中出現的量的數學含義質，弄清題目中出現的量的數學含義(2)分析建模：分析題目中量與量之間的關系，根據題意恰當地引入字母分析建模：分析題目中量與量之間的關系，根據題意恰當地引入字母(包括常包括常量和變量量和變量)，有時可借助列表和畫圖等手段理順數量關系，同時要注意由已知條，有時可借助列

3、表和畫圖等手段理順數量關系，同時要注意由已知條件聯想熟知的函數模型，以確定函數的種類，再在對已知條件和目標變量進行件聯想熟知的函數模型，以確定函數的種類，再在對已知條件和目標變量進行綜合分析在歸納抽象的基礎上，建立目標函數，將實際問題轉化為數學問題綜合分析在歸納抽象的基礎上，建立目標函數，將實際問題轉化為數學問題(3)數學求解：利用相關的函數知識，進行合理設計，以確定最佳的解題方案，進數學求解：利用相關的函數知識，進行合理設計，以確定最佳的解題方案，進行數學上的求解和計算行數學上的求解和計算(4)還原總結：把計算獲得的結果還原到實際問題中去解釋實際問題，即對實際問還原總結：把計算獲得的結果還原

4、到實際問題中去解釋實際問題，即對實際問題進行總結作答題進行總結作答2解決函數應用題的步驟解決函數應用題的步驟提示：提示：(1)在解題時，有些函數的性質并不是明顯的，深入挖掘這些隱含在解題時，有些函數的性質并不是明顯的，深入挖掘這些隱含條件，將獲得簡捷解法條件，將獲得簡捷解法(2)應堅持應堅持“定義域優先定義域優先”的原則，先弄清參數的取值范圍的原則，先弄清參數的取值范圍(3)函數思想處處存在，要重視對函數思想的研究和應用，在解題時，要函數思想處處存在，要重視對函數思想的研究和應用，在解題時，要有意識地引進變量，建立相關函數關系，利用有關函數知識解決問題有意識地引進變量，建立相關函數關系，利用有

5、關函數知識解決問題1某種細菌在培養過程中，每某種細菌在培養過程中，每20分鐘分裂一次分鐘分裂一次(一次分裂成一次分裂成2個個)， 經過經過3小時，這種細菌由小時，這種細菌由1個繁殖成個繁殖成() A211個個 B512個個 C1 023個個 D1 024個個 解析：解析：每分裂一次，細菌個數是原來的每分裂一次，細菌個數是原來的2倍故倍故3小時后細菌個數是小時后細菌個數是 1 512個個 答案：答案：B2用長度為用長度為24的材料圍成一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面的材料圍成一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積積 最大，則隔墻的長度為最大，則隔墻的長度為() A3 B4 C6 D1

6、2 解析：解析：設隔墻的長為設隔墻的長為x(0 x500，nN*)，因為因為fB(n+1)- fB (n)= (n+1)+18- n-18= =0.3.所以方案所以方案B從從500分鐘以后，每分鐘收費分鐘以后，每分鐘收費0.3元元(3)由圖可知，當由圖可知，當0 x60時，時，fA(x)500時，時，fA(x)fB(x)；當當60fB(x)，得，得x .所以當通話時間在所以當通話時間在 時，方案時，方案B比方案比方案A優惠優惠變式變式2：某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過4噸時，噸時， 每噸每噸1.80元，當用水超過元，當用水超過4噸時

7、，超過部分每噸噸時，超過部分每噸3.00元，元， 某月甲、乙兩戶共交水費某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩戶該月用用水量元，已知甲、乙兩戶該月用用水量 分別為分別為5x,3x(噸噸) (1)求求y關于關于x的函數；的函數； (2)若甲、乙兩戶該月共交水費若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費用水量和水費 解：解：(1)當當0 x 時時，y(5x3x)1.8014.4x，當當 x 時時，y(43x)1.80(5x4)3.0020.4x4.8，當當x 時時，y(44)1.80(5x4)(3x4)3.0024x9.6因此因此(2)當

8、當x 時，時，y22.4，因此由，因此由24x9.626.4，解得，解得x1.5，因此甲、乙兩戶，因此甲、乙兩戶該月的用水量分別是該月的用水量分別是7.5噸、噸、4.5噸；甲、乙兩戶該月應交水費分別為噸；甲、乙兩戶該月應交水費分別為17.7元、元、8.7元元.4545434343函數函數yx (a0 )常稱為常稱為“對勾對勾”函數，解決函數，解決“對勾對勾”函數問題通常利用基函數問題通常利用基本不等式，但要注意等號成立的條件，當等號不成立時，常利用函數的單調性本不等式，但要注意等號成立的條件，當等號不成立時，常利用函數的單調性解決解決【例例3】 某某村計劃建造一個室內面積為村計劃建造一個室內面

9、積為800 m2的矩形蔬菜溫室，在溫室內，的矩形蔬菜溫室，在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留沿左、右兩側與后側內墻各保留1 m寬的通道，沿前側內墻保留寬的通道，沿前側內墻保留3 m寬寬的空地，當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？的空地，當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大面積是多少？最大面積是多少？思維點撥：思維點撥：依題意義建立函數模型依題意義建立函數模型yx (a0)后，利用不等式或后，利用不等式或 函數的單調性求其最值函數的單調性求其最值解：解：設溫室的左側邊長為設溫室的左側邊長為x m，則后側邊長為則后側邊長為 m.蔬菜種植面積蔬菜種植面積y(x4) 8

10、082 (4x400)，x 2 80，y808280648 (m2)當且僅當當且僅當x ，即即x40，此時此時20 m，y最大最大648(m2)當矩形溫室的左側邊長為當矩形溫室的左側邊長為40 m，后側邊長為，后側邊長為20 m時，蔬菜的種植面積最大，時，蔬菜的種植面積最大，為為648 m2.變式變式3：某工廠有一段舊墻長某工廠有一段舊墻長14 m，現準備利用這段舊墻為一面建造平面圖形為現準備利用這段舊墻為一面建造平面圖形為 矩形，面積為矩形，面積為126 m2的廠房，工程條件是：的廠房，工程條件是：建建1 m新墻的費用為新墻的費用為a元元； 修修1 m舊墻費用是舊墻費用是 元元；拆去拆去1

11、m舊墻，用所得的材料建舊墻，用所得的材料建1 m新墻的新墻的 費用為費用為 元，經討論有兩種方案元，經討論有兩種方案：(1)利用舊墻的一段利用舊墻的一段x m(x14)為矩為矩 形廠房一面的邊長；形廠房一面的邊長；(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長矩形廠房利用舊墻的一面邊長x14，問如何利用問如何利用 舊墻，即舊墻，即x為多少米時，建墻費用最省？為多少米時，建墻費用最省？(1)、(2)兩種方案哪個更好？兩種方案哪個更好？解：解：(1)利用舊墻的一段利用舊墻的一段x m(x14)為矩形一面邊長，則修舊墻的費用為矩形一面邊長，則修舊墻的費用x 元，將元，將剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費用為剩余的舊墻

12、拆得的材料建新墻的費用為(14x) 元，其余建新墻的元，其余建新墻的費用為費用為 元元故總費用為故總費用為當且僅當當且僅當 ，即，即x12 m時，時，ymin35a.(2)若利用舊墻的一面矩形邊長若利用舊墻的一面矩形邊長x14，則修舊墻的費用為，則修舊墻的費用為 元，元，建新墻的費用為建新墻的費用為 元，元，故總費用為故總費用為設設14x1x2則則(x1x2).14x1x2，x1x2126.從而從而 0，函數函數yx在在14，)上為增函數上為增函數故當故當x14時，時，ymin 35.5a.綜上討論知，采用第綜上討論知，采用第(1)方案，利用舊墻方案，利用舊墻12 m為矩形的一面邊長時，為矩形

13、的一面邊長時，建墻總費用最省，為建墻總費用最省，為35a元元.【方法規律方法規律】1理解函數思想及函數與方程思想的實質，強化應用意識理解函數思想及函數與方程思想的實質，強化應用意識2通過解決函數應用題提高學生的閱讀理解能力，抽象轉化能力和解答實際問通過解決函數應用題提高學生的閱讀理解能力，抽象轉化能力和解答實際問題的能力題的能力3解答數學應用題的關鍵有兩點：一是認真讀題，縝密審題，確切理解題意，解答數學應用題的關鍵有兩點：一是認真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問題的實際背景，然后進行科學地抽象、概括，將實際問題歸納為相應明確問題的實際背景，然后進行科學地抽象、概括，將實際問題歸納為相應的數

14、學問題；二是要合理選取參變量設定變元后，就要尋找它們之間的內在的數學問題；二是要合理選取參變量設定變元后，就要尋找它們之間的內在聯系，選用恰當的代數式表示問題中的關系，建立相應的函數、方程模型，聯系，選用恰當的代數式表示問題中的關系，建立相應的函數、方程模型，最終求解數學模型使實際問題獲解最終求解數學模型使實際問題獲解.(2009湖北卷湖北卷)(本小題滿分本小題滿分12分分)圍建一個面積為圍建一個面積為360 m2的矩形場地，要求矩形場地的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上，其他三面圍墻要新建，在舊墻對

15、面的新墻上要留一個寬度為要留一個寬度為2 m的進出口，如圖所示已知舊墻的維修費用為的進出口，如圖所示已知舊墻的維修費用為45元元/m，新墻的，新墻的造價為造價為180元元/m.設利用的舊墻長度為設利用的舊墻長度為x(單位：單位：m)，修建此矩形場地圍墻的總費用為，修建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位：元單位：元)(1)將將y表示為表示為x的函數；的函數；(2)試確定試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用【高考真題高考真題】解：解：(1)如如圖，設矩形的另一邊長為圖，設矩形的另一邊長為a m， 1分分則則y45x180(x

16、2)1802a225x360a360. 4分分由已知由已知xa360，得，得a，所以所以y225x360(x0). 6分分(2)x0，225x2 10800.y225x36010440.當且僅當當且僅當225x時，等號成立時，等號成立即當即當x24 m時，修建圍墻的總費用最小，時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是最小總費用是10440元元. 12分分【規范解答規范解答】本題主要考查函數和不等式的應用問題考題的命制，借助具體的情境，即修本題主要考查函數和不等式的應用問題考題的命制，借助具體的情境，即修建矩形的場地圍墻的實際問題，將總費用與舊墻的長度這兩個量聯系起來，建建矩形的場地圍墻的實際問題，將總費用與舊墻的長度這兩個量聯系起來，建立起一個函數關系，這就和第立起一個函數關系，這就和第(2)問的利用均值不等式求函數最值密切聯系到一問的利用均值不等式求函數最值密切聯系到一起了可以說這個問題的命制環環相扣的，考查考生利用所學知識解決實際應起了可以說這個問題的命制環環相扣的，考查考生利用所學知識解決實際應用問題的能力，同時也考查了考生的閱讀理解能力用問題的能力，同時也考查了考生的閱讀理解能力【探究與研究探究與研究】1列函數關系時，漏掉了