1、會計學1第一頁，共54頁。第1頁/共53頁第二頁，共54頁。.,)1( ), 2 , 1;, 2 , 1(212222111211矩陣矩陣簡稱簡稱列矩陣列矩陣行行叫做叫做列的數表列的數表行行排成排成個數個數由由nmnmaaaaaaaaaAnmnjmianmmnmmnnij 第2頁/共53頁第三頁，共54頁。.,復復矩矩陣陣元元素素是是復復數數的的矩矩陣陣叫叫做做實實矩矩陣陣元元素素是是實實數數的的矩矩陣陣叫叫做做列列元元素素行行第第的的第第陣陣叫叫做做矩矩的的元元素素個個數數叫叫做做矩矩陣陣其其中中jiAaAnmij .),()( )1(AAnmaAaAnmijijnm 也記作也記作矩陣矩陣或

2、或式可簡記為式可簡記為第3頁/共53頁第四頁，共54頁。.)(;2121行行矩矩陣陣叫叫做做只只有有一一行行的的矩矩陣陣叫叫做做列列矩矩陣陣只只有有一一列列的的矩矩陣陣aaaAaaaAnm .,)1(階方陣階方陣稱為稱為時時當當式式對對nAnm 第4頁/共53頁第五頁，共54頁。兩個矩陣兩個矩陣(j zhn)的行數相等、列數也相等時，就稱的行數相等、列數也相等時，就稱它們是同型矩陣它們是同型矩陣(j zhn).,)., 2 , 1;, 2 , 1(,)()(BABAnjmibabBaAijijijij 記記作作相相等等與與矩矩陣陣那那么么就就稱稱矩矩陣陣即即們們的的對對應應元元素素相相等等并并

3、且且它它是是同同型型矩矩陣陣與與如如果果第5頁/共53頁第六頁，共54頁。.,O記作記作零矩陣零矩陣元素都是零的矩陣稱為元素都是零的矩陣稱為., 1 Enn簡記作簡記作階單位陣階單位陣叫做叫做階方陣階方陣其余元素都是零的其余元素都是零的主對角線上的元素都是主對角線上的元素都是第6頁/共53頁第七頁，共54頁。.,)( ,)(,)(的的和和與與稱稱為為矩矩陣陣加加法法定定義義為為為為兩兩個個同同型型矩矩陣陣設設BABAbaBAbBaAijijnmijnmijnm 交換律交換律結合律結合律).( ,)(,),(),(BABAOAAAAaAaAijij 并并規規定定從從而而有有負負矩矩陣陣的的稱稱為

4、為矩矩陣陣記記設設ABBA )()(CBACBA 第7頁/共53頁第八頁，共54頁。).(,aAAAAAij 規定為規定為或或的乘積記作的乘積記作與矩陣與矩陣數數運算運算(yn sun)規律規律);()(AA ;)(AAA .)(BABA 第8頁/共53頁第九頁，共54頁。.), 2 , 1;, 2 , 1(,)(,)(,)(12211ABCnjmibabababaccCnmBAbBaAskkjiksjisjijiijijnmijnsijsm 記記作作其其中中矩矩陣陣是是一一個個的的乘乘積積與與規規定定設設第9頁/共53頁第十頁，共54頁。運算運算(yn sun)規律規律);()(BCACAB

5、 );(),()()(為數為數其中其中 BABAAB ;)(,)(CABAACBACABCBA .EAAAEnnmnmnmm 第10頁/共53頁第十一頁，共54頁。n階方陣階方陣(fn zhn)的冪的冪.,111121是正整數是正整數其中其中定義定義階方陣階方陣是是設設kAAAAAAAAnAkk .,)(, 為正整數為正整數其中其中lkAAAAAklkllklk .)(BAABkkk 一般地一般地第11頁/共53頁第十二頁，共54頁。方陣方陣(fn zhn)的行列式的行列式.det,AAAAn或或記記作作的的行行列列式式陣陣叫叫做做方方的的元元素素所所構構成成的的行行列列式式階階方方陣陣由由運

6、算運算(yn sun)規律規律.;,BAABAAnBAn 則則階方陣階方陣為為為數為數設設第12頁/共53頁第十三頁，共54頁。轉置轉置(zhun zh)矩陣矩陣.,AAAT記記作作的的轉轉置置矩矩陣陣叫叫做做陣陣到到一一個個新新矩矩的的行行換換成成同同序序數數的的列列得得把把矩矩陣陣.)(;)(;)(;)(ABABAABABAAATTTTTTTTTT 第13頁/共53頁第十四頁，共54頁。對稱對稱(duchn)矩陣矩陣.,為對稱矩陣為對稱矩陣則稱則稱如果如果階方陣階方陣為為設設AAAnAT 反對反對(fndu)稱矩陣稱矩陣.,矩陣矩陣為反對稱為反對稱則稱則稱如果如果階方陣階方陣為為設設AAA

7、nAT 冪等矩陣冪等矩陣(j zhn).,2為冪等矩陣為冪等矩陣則稱則稱如果如果階方陣階方陣為為設設AAAnA 第14頁/共53頁第十五頁，共54頁。正交矩陣正交矩陣(j zhn).,正交矩陣正交矩陣為為則稱則稱如果如果階方陣階方陣為為設設AEAAAAnATT 對角對角(du jio)矩陣矩陣.,為對角矩陣為對角矩陣則稱則稱素全為零素全為零其余元其余元如果除了主對角線以外如果除了主對角線以外階方陣階方陣為為設設AnA對合矩陣對合矩陣(j zhn).,2為對合矩陣為對合矩陣則稱則稱如果如果階方陣階方陣為為設設AEAnA 第15頁/共53頁第十六頁，共54頁。上三角上三角(snjio)矩陣矩陣主對

8、角線以下的元素主對角線以下的元素(yun s)全為零的方陣稱為上三全為零的方陣稱為上三角矩陣角矩陣下三角下三角(snjio)矩陣矩陣主對角線以上的元素全為零的方陣稱為下三主對角線以上的元素全為零的方陣稱為下三角矩陣角矩陣第16頁/共53頁第十七頁，共54頁。伴隨伴隨(bn su)矩陣矩陣. 212221212111的伴隨矩陣的伴隨矩陣叫做方陣叫做方陣方陣方陣所構成的所構成的的各元素的代數余子式的各元素的代數余子式行列式行列式AAAAAAAAAAAAAnnnnnnij .:EAAAAA 伴隨矩陣具有重要性質伴隨矩陣具有重要性質第17頁/共53頁第十八頁，共54頁。定義定義(dngy)., 1AA

9、AA 矩矩陣陣記記作作的的逆逆的的逆逆矩矩陣陣是是唯唯一一的的則則有有逆逆矩矩陣陣若若.),( , 的逆矩陣的逆矩陣稱為稱為且矩陣且矩陣秩的秩的、滿、滿或非奇異的、非退化的或非奇異的、非退化的是可逆的是可逆的則稱矩陣則稱矩陣使使如果存在矩陣如果存在矩陣階方陣階方陣為為設設ABAEBAABBnA 第18頁/共53頁第十九頁，共54頁。相關定理相關定理(dngl)及性質及性質. 0 AA可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是方陣方陣.,1AAAA 則則可逆可逆若矩陣若矩陣.)()();0(1)( ;)(111111AAAAAATT .)( ,111ABABABBA 且且也可逆也可逆那么那么都可逆

10、都可逆與與若同階方陣若同階方陣第19頁/共53頁第二十頁，共54頁。矩陣的分塊，主要目的在于簡化運算及便于矩陣的分塊，主要目的在于簡化運算及便于(biny)論證論證分塊矩陣的運算分塊矩陣的運算(yn sun)規則與普通矩陣的運算規則與普通矩陣的運算(yn sun)規則規則相類似相類似第20頁/共53頁第二十一頁，共54頁。一、矩陣一、矩陣(j zhn)的運算的運算二、逆矩陣的運算二、逆矩陣的運算(yn sun)及證明及證明三、矩陣三、矩陣(j zhn)的分塊運算的分塊運算第21頁/共53頁第二十二頁，共54頁。例計算例計算(j sun) nnnnnnnnnnnnnnn11111111112第2

11、2頁/共53頁第二十三頁，共54頁。解解 11111111112nnnn nnnnnnnnnnnnnnn11111111112第23頁/共53頁第二十四頁，共54頁。 111111111122nnnn )1()1()1(12nnnnnnnnnnnnn第24頁/共53頁第二十五頁，共54頁。.,2是冪等矩陣是冪等矩陣所以所以在此例中在此例中AAA nnnnnnnnnnnn111111111第25頁/共53頁第二十六頁，共54頁。. 0)(,)(, AfAEfdcbaA并并驗驗證證多多項項式式的的寫寫成成試試將將設設 解解,)()(2bcaddadcbaAEf 由此得由此得EbcadAdaAAf)

12、()()(2 例例第26頁/共53頁第二十七頁，共54頁。 1001)()(22bcaddcbadadbccdacbdabbca,0000 . 0)( Af即即第27頁/共53頁第二十八頁，共54頁。例例.)0(的逆矩陣的逆矩陣求求 bcaddcba解解方法方法(fngf)一用定義求逆陣一用定義求逆陣,43211 xxxxA設設得得由由,1EAA 第28頁/共53頁第二十九頁，共54頁。,10014321 xxxxdcba . 1, 0, 0, 142423131xdxcxbxaxdxcxbxa則有則有 .,4321bcadaxbcadcxbcadbxbcaddx解得解得第29頁/共53頁第三

13、十頁，共54頁。.11 acbdbcadA注注., 元方程組元方程組矩陣的各列的矩陣的各列的同而常數項分別為單位同而常數項分別為單位個系數相個系數相實質上是求解實質上是求解的逆的逆依定義求依定義求nnA第30頁/共53頁第三十一頁，共54頁。.,:,的的逆逆矩矩陣陣即即可可得得的的每每一一個個元元素素去去除除最最后后用用符符號號再再將將次次對對角角元元素素調調換換其其置置位位中中的的主主對對角角元元素素調調換換其其先先將將矩矩陣陣其其做做法法是是的的方方法法兩兩調調一一除除求求二二階階矩矩陣陣逆逆矩矩陣陣可可用用AAAA.,bcadAdcbaA 方法方法(fngf)二二第31頁/共53頁第三十

14、二頁，共54頁。A調換主對角元調換主對角元次對角元調符號次對角元調符號 acbd去除去除用用 A,1 acbdA.11 acbdbcadA注此法僅適用注此法僅適用(shyng)于二階矩陣，對二階以上的于二階矩陣，對二階以上的矩陣不適用矩陣不適用(shyng) acbd第32頁/共53頁第三十三頁，共54頁。分析分析(fnx).,),(,.,11111交交換換律律因因為為矩矩陣陣的的乘乘法法不不滿滿足足而而不不能能右右乘乘即即得得乘乘這這時時將將方方程程兩兩邊邊同同時時左左程程方方可可逆逆時時才才可可解解這這個個矩矩陣陣只只有有程程可可以以不不寫寫出出這這個個過過是是否否可可逆逆要要先先考考察察

15、例例如如解解關關系系的的位位置置應應注注意意已已知知矩矩陣陣與與解解矩矩陣陣方方程程時時ABAXBAAXAAAABAXX ., 均為可逆矩陣均為可逆矩陣、其中其中解矩陣方程解矩陣方程BACAXBBXABAX 例4例4第33頁/共53頁第三十四頁，共54頁。矩陣矩陣(j zhn)方程方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB 第34頁/共53頁第三十五頁，共54頁。.,0,的逆矩陣的逆矩陣并求并求必為可逆矩陣必為可逆矩陣證明證明階可逆矩陣階可逆矩陣都是都是設設DBCADnBA 證證.),0det, 0det,(0detdetdet為可逆矩陣為可逆矩陣所以所以均可逆均可逆因

16、為因為DBABABAD ),2 , 1,(,222112111 jinXXXXXDij階矩陣階矩陣均為均為其中其中設設例例第35頁/共53頁第三十六頁，共54頁。)(000221221111211222112111階單位陣階單位陣是是nEEEXBXCXBXCXAXAXXXXBCADD ,221221111211EXBXCOXBXCOXAEXA依依矩矩陣陣相相等等的的定定義義有有第36頁/共53頁第三十七頁，共54頁。,122112112111BXACBXOXAX 從而得從而得.11111 BACBOAD故故第37頁/共53頁第三十八頁，共54頁。同理可得：同理可得：;,)1(11111 BOB

17、CAADBOCAD則則設設.,)2(11111 BCAABODOBACD則則設設: , DBA對分塊矩陣對分塊矩陣均可逆均可逆、設設第38頁/共53頁第三十九頁，共54頁。.:)2(;)1(.,111BACDADCBAXYZEOBAEZDCBAYEACOEXnEAnDCBA 證明證明求乘積求乘積并且并且階單位陣階單位陣是是是非奇異的是非奇異的階方陣階方陣都是都是設設例例 6第39頁/共53頁第四十頁，共54頁。解解（）根據分塊矩陣（）根據分塊矩陣(j zhn)的乘法，得的乘法，得 EOBAEDCBAEACOEXYZ11 EOBAEBACDOBA11.1 BACDOOA第40頁/共53頁第四十一

18、頁，共54頁。（）由（）可得（）由（）可得,11BACDABACDOOAXYZ ,ZYXXYZ , 1 ZX而而.1BACDADCBA 第41頁/共53頁第四十二頁，共54頁。第二章測試題第二章測試題一、填空題一、填空題( (每小題每小題4 4分，共分，共3232分分) ) AAAAnA1541det,31det,. 11則則為其伴隨矩陣為其伴隨矩陣階方陣階方陣為為設設 tOABtBOA則則且且階方陣階方陣設設,35342531,3. 2第42頁/共53頁第四十三頁，共54頁。 13,. 3AEA則則已知已知 1008050200. 4AA的逆矩陣的逆矩陣矩陣矩陣 13112522100110

19、0124. 5AAA的的逆逆矩矩陣陣則則階階矩矩陣陣設設第43頁/共53頁第四十四頁，共54頁。 12, 032. 6AEAAAn則則滿足方程滿足方程階矩陣階矩陣若若 AAAA32, 1,. 71且且為三階矩陣為三階矩陣設設 nAA則則設設,400010003. 8. , , , A )6( 2并求其逆并求其逆可逆可逆證明證明且且階方陣階方陣均為均為、設設分分二、二、ABEABBnB 第44頁/共53頁第四十五頁，共54頁。四、四、(8(8分分) )解下列矩陣解下列矩陣(j zhn)(j zhn)方程方程.021102341010100001100001010 X五、五、( (每小題每小題5

20、5分，共分，共2020分分) )求下列求下列(xili)(xili)矩陣矩陣 ,23121n ;2, 13122 ., )6( 可逆可逆證明證明且且階實方陣階實方陣設設分分三、三、AAAOAnT 第45頁/共53頁第四十六頁，共54頁。 ;510013101121lim3nn 六、六、(6(6分分) )設設 求求 ,2,321011324BAABA 七、七、( (每小題每小題3 3分分, ,共共6 6分分) )設設 階矩陣階矩陣 的伴隨矩陣的伴隨矩陣為為 ，證明：，證明： A ; 0, 01 AA則則若若 .21 nAA .1000101014nA BnA第46頁/共53頁第四十七頁，共54頁。八、八、( (每小題每小題5 5分，共分，共1010分分) )求下列求下列(xili)(xili)矩陣的逆矩陣矩陣的逆矩陣;1000021000002000003100011 A.1133223210101010008200031 B其其中中求求設設.,111ABAPP 九、九、(6(6分分) ).2001,1141