1、2021 年廣州市一般高中畢業班綜合測試（一）數學（文科）試題參考答案及評分標準說明： 1參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要學問和才能，并給出了一種或幾種解法供參考，假如考生的解法與參考答案不同，可依據試題主要考查的學問點和才能對比評分標準給以相應的分數2 對解答題中的運算題，當考生的解答在某一步顯現錯誤時，假如后繼部分的解答未轉變該題的內容和難度，可視影響的程度打算后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；假如后繼部分的解答有較嚴峻的錯誤，就不再給分3 解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數4只給整數分數，挑選題和填空題不給中間分一、挑選題：本大

2、題考查基本學問和基本運算共10小題，每道題5分，滿分 50分題號12345678910答案ddacbcadbc二、填空題：本大題考查基本學問和基本運算，表達挑選性共5 小題，每道題5 分，滿分20 分其中1415 題是選做題，考生只能選做一題11 1,212 12. 3813 8 ， n2n2141, 11615 4說明：第 13題第一個空填對給2分，其次個空填對給3分11 第 14題的正確答案可以是：1,62k kz .三、解答題：本大題共6小題，滿分 80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟 16（本小題滿分12分）（本小題主要考查三角函數的圖象與性質、誘導公式、 余弦定理等學問，考查

3、化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解才能）（1）解：f x的最大值為2，且 a0 ， a2 .1 分 f x 的最小正周期為8 ，2 t8 ，得.3 分4 f x2sinx4 .4 分4（2）解法 1：f 22sin242cos42 ，5 分f 42sin2sin442 ，6 分 p 2,2, q 4,2 .7 分 op6, pq23, oq32 .10 分pq3222 cospoq22opoq263223.12 分2 op oq26323解法 2：f 22sin242cos42 ，5 分f 42sin2sin442 ，6 分 p 2,2, q 4,2uuuruuur.8 分 op2,2,

4、oq4,2 .10 分uuuruuuruuuruuuropoq63 cospoqcosop,oquuuruuur.12 分op oq6323解法 3:yf 22sin2cos2 ，5 分244pf 42sin2sin244，6 分oq1p1x p 2,2, q 4,2 .7 分作 ppx 軸,qqx 軸, 垂足分別為p , q ,q1111 op6, op12, pp12, oq32 ,oq14, qq12 .8 分設pop1,qoq1,就 sin3 ,cos6 ,sin1 ,cos22 .10 分3333 cospoqcoscoscossinsin3 .12 分317（本小題滿分12分）（本

5、小題主要考查頻率分布直方圖、概率等學問， 考查數據處理、 推理論證、運算求解才能和應用意識，以及或然與必定的數學思想）（1）解: 樣本中產量在區間45, 50上的果樹有a520100a （株），1 分樣本中產量在區間50, 60上的果樹有b0. 02520100b0. 02（株），依題意， 有 100a4100b30. 02，即 a4b0. 0232 分. 3 分依據頻率分布直方圖可知0. 02b0. 06a51 ，4 分解得 : a0. 08, b0. 04 .6 分（2）解：樣本中產量在區間50, 55上的果樹有0. 045204 株，分別記為a1,a2 ,a3 ,a4 ，7 分產量在區間

6、55, 60上的果樹有0. 025202 株，分別記為b1 ,b2 .8 分從這 6 株果樹中隨機抽取兩株共有15 種情形：a1, a2,a1, a3，a1, a4a1 , b1,a1 , b2,a2 , a3,a2 , a4,a2, b1,a2, b2,a3 , a4,a3 , b1,a3 , b2， a4 , b1,a4 , b2,b1 , b2.10 分其中產量在55, 60上的果樹至少有一株共有9 種情形：a1, b1,a1, b2,a2 , b1,分a2 , b2,a3, b1,a3, b2,a4 , b1,a4 , b2，b1, b2.11記“從樣本中產量在區間50, 60上的果樹

7、隨機抽取兩株，產量在區間55, 60上的果樹至少有一株被抽中”為大事 m ，就 p m18（本小題滿分14分）93155.12 分（本小題主要考查空間線面位置關系、點到平面的距離等學問，考查數形結合、 化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象才能、推理論證才能和運算求解才能）1 證明 : 連接 ac ， ac 與 bd 相交于點 o ,連接 mo ， abcd 是平行四邊形， o 是 ac 的中點 . m 為 pc 的中點，1 分 mo /ap . pa平面 bmd , mo平面 bmd ,2 分2 pa /平面 bmd .證明 : pd平面 abcd ， ad平面 abcd ， pdad .3

8、 分4 分badbcd60 ， ab2 ad ，pbd 2ab2ad 22abadcos 60ab 2ad22 ad 2ab 2ad 2 .5 分dn2ab2ad2bd.oabadbd .6 分pdibdd ， pd平面pbd ， bd平面pbd ，mc ad平面 pbd .7 分 pb平面 pbd ， adpb .8 分（3）解：取 cd 的中點 n ，連接 mn ，就 mn /pd 且 mn1 pd .2 pd平面 abcd ， pd2 ， mn平面 abcd ， mn1 .9 分在 rt pcd 中，cdabpd2 ，dm1 pc1pd 2cd 22 ，22 bc /ad , adpb

9、, bcpb .在 rt pbc 中， bm1 pc2 .2在 bmd 中， bmdm ， o 為 bd 的中點 , mobd .在 rt abd 中，bdabsin60233 .2在 rt mob 中，mobm 2ob25 .2 sabd1ad gbd3， smbd1bd gmo15.11 分2224設點 a 到平面 bmd 的距離為 h ， vmabdvambd ， 1gmn g s1 ghg s.12 分3abd3mbd即 1131h32315， 解得425h.13 分5點 a 到平面 bmd 的距離為25.14 分519（本小題滿分14分）（本小題主要考查等差數列、等比數列、數列求和等

10、學問，考查分類與整合、化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括才能、運算求解才能和創新意識）（1）解：當 n2 時， sn 14sn 15sn ， sn 1sn4snsn 1.1 分 an14 an .2 分 a12 ， a28 ， a24a1 .3 分數列an是以a12 為首項，公比為4 的等比數列 . an24n 122 n1 .4 分（2）解：由（ 1）得：log 2 anlog 222n 12n1，5 分 tnlog 2 a1log 2 a2llog 2 an13l2n16 分n12 n17 分2n 2 .8 分（3）解：1111l11 t2t3tn1111l119 分2232n2222

11、2213141ln122324 2n 2132435ln1n110 分223242ln2n1.11 分2 n令 n1 2n10102021，解得： n2874.13 分7故滿意條件的最大正整數n 的值為 287 .14 分 20（本小題滿分14分）（本小題主要考查橢圓、拋物線、曲線的切線等基礎學問，考查數形結合、函數與方程、化歸與轉化的數學思想方法，以及推理論證才能、運算求解才能、創新意識）x2y2(1) 解法 1：設橢圓c1 的方程為221ab0 ,ab2222231,a 216,依題意 :分aba2b2解得 :4.x2y22b212. 橢圓c1 的方程為16121 .3 分x2y2解法 2

12、：設橢圓c1 的方程為221ab0 ，ab依據橢圓的定義得2aaf1af28 ，即 a4 ，1 分 c2 ， b 2a2分x2c212 .2y2 橢圓c1 的方程為16121 .3 分(2) 解法 1：設點b x1 ,1 x2 ,14c x2 ,1 x 2 ，就 bc24 x21x1 ,4 x 2x 2 ，21ba2x1,312x1 ，4 a, b, c 三點共線 ,uuuruuur bc /ba .4分12122x2x13x1x244x12x1,化簡得：分22 x1x2 x1 x21212 .51由 x4 y , 即分yx , 得 y4x .62拋物線c2 在點 b 處的切線12xl1 的方

13、程為y14x1 x 2x1 ，即 yx1 x 2分1 x2 .714同理，拋物線2分c 2 在點 c 處的切線l2 的方程為yx2 x 21 x 2 .824設點 p x,y ，由得：x1 x12x124x2 x124x 2 ，而 x1x2 ，就x1 x12x2 .9 分代入得y1 x x142 ，10 分就 2 xx1x2 ， 4 yx1 x2 代入 得4 x4 y12 ，即點 p 的軌跡方程為yx3 .11 分如 pf1pf2af1af2，就點 p 在橢圓c1 上，而點 p 又在直線yx3 上，12 分直線 yx3 經過橢圓c1 內一點 3,0 ,直線 yx3 與橢圓c1 交于兩點 .13

14、 分滿意條件pf1pf2af1af2的點 p 有兩個 .14 分解法 2：設點bx1 ,y1 ,c x2 ,y2 ，p x0 ,y0 ，由 x24 y , 即 y分1 x2, 得 y142x .4x1拋物線c2 在點 b 處的切線l1 的方程為yy1xx1 ，21即 yx1 xy 2121 x 2 .5 分12x1 y1x1 ， y4xy1 .2點 p x0 ,分y0 在切線l1 上, y0x1x0y12.6同理，y0分x2x0y22.7綜合、得，點b x1, y1, c x2, y2 的坐標都滿意方程yx x 2y .8 分00經過b x1 , y1 , c x2 , y2 兩點的直線是唯獨

15、的，直線 l 的方程為y0x xy ，9 分02點 a2,3 在直線 l 上，分y0x03 .10點 p 的軌跡方程為y分x3 .11如 pf1pf2af1af2，就點 p 在橢圓c1 上，又在直線yx3 上，12 分直線 yx3 經過橢圓c1 內一點 3,0 ,直線 yx3 與橢圓c1 交于兩點 .13 分滿意條件分pf1pf2af1af2的點 p 有兩個 .14解法 3：明顯直線l 的斜率存在，設直線l 的方程為ykx23 ，ykx由23,消去 y ，得 x24kx8k120 .4分x2設 bx1,分4 y,y1, cx2, y2, 就 x1x24k,x1 x28k12 .5由 x24 y

16、 , 即 y分1 x2, 得 y142x .6拋物線c2 在點 b 處的切線l1 的方程為yy1x1xx1 ，21即 yx1 xy 21 x 2 .712分 y1 x2 ， yx1 x11x2 .11424同理 , 得拋物線c 2 在點 c 處的切線 l2 的方程為yx2 x1x2 .82分yx1 x1 x2,xx1x2242k,1由24解得2yx2x12x2 ,yx1 x22k3.244 p2k, 2k3 .10 分 pf1pf2af1x2af2 ,y2點 p 在橢圓c1 :16121 上.11 分222k2k31 .1612化簡得7 k 212k30 .*12 分由 1224732280

17、,13 分可得方程 * 有兩個不等的實數根14分21（本小題滿分14分）（本小題主要考查三次函數、一元二次不等式、一元二次方程、函數的零點、數列求和等基礎學問，考查數形結合、函數與方程、分類與整合、化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括才能、推理論證才能、運算求解才能、創新意識）x2x3（1）解：yf 2 xkx1xkx,1 分23 y1xx2k x2xk1 .2 分方程 x2xk10 的判別式 214k134k .3當 k時， 40 ， y x2xk10 ，故函數 yf 2 xkx 在 r上單調遞減；3 分當 k3 時，方程4x2xk10 的兩個實根為x1134k，2x134k .422分就

18、 x, x1時， y0 ；xx1 , x2時， y0 ；xx2 ,時， y0 ；故函數 yf 2 xkx 的單調遞減區間為, x1和x2,，單調遞增區間為x1 , x2.5 分*.滿意條件的點p 有兩個.（2）解：存在t1，對于任意nn ，關于 x 的方程fn x0 在區間t, t1 上有唯一實數解，理由如下：當 n1時，f1 x1x ，令f1 x1x0 ，解得 x1 ，關于 x 的方程f1 x0 有唯獨實數解x1 .6 分x2x3x2 n 1當 n2 時，由得 f n x1fn x1xl，232n1xx2lx2 n3x2n2.f nxfn12n10 ，7 分如 x1 ，就如 x0 ，就f n x10 ,8 分如 x1 且 x0 時，就fn xx2 nx11,9 分1當 x1時， x10, x2 n 11 0, fn x0 ,當 x1 時， x10, x2n 110, fn x