1、函數微分學的應用PPT課件第一節第一節 柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理與）中值定理與 洛必達（洛必達（LHospitalLHospital）法則）法則 第二節第二節 拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 及函數的單調性及函數的單調性 *第四節第四節 曲曲 率率 第三節第三節 函數的極值與最值函數的極值與最值 第五節第五節 函數圖形的描繪函數圖形的描繪 第四章第四章 一元函數微分學的應用一元函數微分學的應用第六節第六節 一元函數微分學在經濟上的應用一元函數微分學在經濟上的應用函數微分學的應用PPT課件 一、一、 柯西中值定理柯西中值定理 二、二

2、、 洛必達法則洛必達法則 第一節第一節 柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理與洛必）中值定理與洛必達（達（LHospitalLHospital）法則）法則 函數微分學的應用PPT課件定定理理 1 1 （柯柯西西中中值值定定理理） 如如果果函函數數)(xf與與 )(xF滿滿足足下下列列條條件件： ( (1 1) ) 閉閉區區間間,ba上上連連續續； (2) (2) 在開區間在開區間),(ba內可導內可導； ( (3 3) ) )( xF在在),(ba內內的的每每一一點點均均不不為為零零， 那那么么， 在在),(ba內內至至少少有有一一點點， .f(b)f(a)f ()F(b)F(a)F

3、 ()使得使得一、一、 柯西柯西中值定理中值定理函數微分學的應用PPT課件二、二、洛必達洛必達法則法則 把把兩兩個個無無窮窮小小量量之之比比或或兩兩個個無無窮窮大大量量之之比比的的極極限限稱稱為為 00型型或或 型型不不定定式式( (也也稱稱為為 00型型或或 型型未未定定型型) )的的極極限限, ,洛洛必必達達法法則則就就是是以以導導數數為為工工具具求求不不定定式式的的極極限限方方法法 ( (1 1) ) 0)(lim0 xfxx，0)(lim0 xgxx； (2) (2) )(xf與與)(xg在在 0 x的某鄰域內（點的某鄰域內（點 0 x可除外）可除外）可導，且可導，且0)( xg； 定

4、定理理 2 2 ( (洛洛必必達達法法則則) ) 若若 函數微分學的應用PPT課件 ( (3 3) ) Axgxfxx)()(lim0( ( A為為有有限限數數，也也可可為為或或 ) )，則則 證證 由于我們要討論的是函數在點由于我們要討論的是函數在點 0 x的極限，的極限，而極限與函數在點而極限與函數在點 0 x的值無關， 所以我們可補充的值無關， 所以我們可補充)(xf與與)(xg在在0 x的定義，而對問題的討論不會發生任何影的定義，而對問題的討論不會發生任何影響令響令0)()(00 xgxf，則，則)(xf與與)(xg在在點點 0 x就連就連續了在續了在 0 x附近任取一點附近任取一點

5、x，并應用柯西中值定理，并應用柯西中值定理，得得 Axgxfxgxfxxxx)()(lim)()(lim00 . . )()()()()()()()(00gfxgxgxfxfxgxf (在x與 0 x之間) . 函數微分學的應用PPT課件由由于于0 xx 時時，0 x ，所所以以，對對上上式式取取極極限限便便得得要要證證的的結結果果，證證畢畢 注注：上述定理對：上述定理對x時的時的 00未定型同樣適用，對于未定型同樣適用，對于0 xx 或或x時的未定型時的未定型 ，也有相應的法則，也有相應的法則 函數微分學的應用PPT課件例例 1 1 求求123lim2331xxxxxx 解解 123lim2

6、331xxxxxx = 12333lim221xxxx = 266lim1xxx = 46 = 23 例例 2 2 求求xxxtancos1lim 解解 xxxtancos1lim = xxx2cos1sinlim = 0 函數微分學的應用PPT課件例例 3 3 求求 arctan2lim1xxx 解解 arctan2lim1xxx = 22111limxxx = 221limxxx = 1 例例 4 4 求求 )0(lnlimnxxnx. . 解解 01lim1limlnlim1nxnxnxnxnxxxx 函數微分學的應用PPT課件例例 5 5 求求xxxxln11lim1 解解 這是這是未

7、定型，通過“通分”將其化為未定型，通過“通分”將其化為 00未定型未定型 xxxxxxxxxxln) 1() 1(lnlimln11lim11xxxxxxx1ln1ln1lim1 除未定型除未定型00與與之外， 還有之外， 還有00,1 ,0 ,0等未等未定型， 這里不一一介紹， 有興趣的同學可參閱相應定型， 這里不一一介紹， 有興趣的同學可參閱相應的書籍，下面就的書籍，下面就未定型再舉一例未定型再舉一例 函數微分學的應用PPT課件 在使用洛必達法則時，應注意如下幾點：在使用洛必達法則時，應注意如下幾點： (1) (1) 每次使用法則前，必須檢驗是否屬于每次使用法則前，必須檢驗是否屬于 00或

8、或 未定型，若不是未定型，就不能使用該法則；未定型，若不是未定型，就不能使用該法則； ( (2 2) ) 如如果果有有可可約約因因子子， 或或有有非非零零極極限限值值的的乘乘積積因因子子，則則可可先先約約去去或或提提出出，以以簡簡化化演演算算步步驟驟； ( (3 3) ) 當當(x)g(x)flim不不存存在在( (不不包包括括 的的情情況況) )時時，并并不不能能斷斷定定g(x)f(x)lim也也不不存存在在，此此時時應應使使用用其其他他方方法法求求極極限限 xxxxln11lnlim121111lim21xxxx . . 函數微分學的應用PPT課件2 2把柯西中值定理中的“把柯西中值定理中

9、的“)(xf與與)(xF在閉區間在閉區間,ba上連續”換成“上連續”換成“f(x)與與)(xF在開區間在開區間 ),(ba內連續”內連續”后，柯西中值定理的結論是否還成立？試舉例（只需畫后，柯西中值定理的結論是否還成立？試舉例（只需畫出函數圖象）說明出函數圖象）說明 思思考考題題 1 1用用洛洛必必達達法法則則求求極極限限時時應應注注意意什什么么？ 函數微分學的應用PPT課件 第二節第二節 拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）中值）中值定理及函數的單調性定理及函數的單調性 一、一、 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 二、二、 兩個重要推論兩個重要推論 三、三、 函數的單調性函

10、數的單調性 函數微分學的應用PPT課件定理定理 1 1 如果函數如果函數)(xf滿足下列條件：滿足下列條件： （1 1） 在在 區間區間,ba上連續；上連續； （2 2） 在開區間在開區間),(ba內可導，那么，在內可導，那么，在),(ba內內至少有一點至少有一點 ，使得，使得 )()()(abfafbf . . 如果令如果令abxax,，則上式為，則上式為 xfxfxxf)( )()( , 其其 中中介介 于于x與與xx之之 間間 ， 如如 果果 將將 表表 是是 成成) 10(xx，上上式式也也可可寫寫成成 ()( )()(01)f xxf xfxxx . 一一、拉格朗日拉格朗日中值定理中

11、值定理函數微分學的應用PPT課件推論推論 1 1 如果函數如果函數)(xf在區間在區間),(ba內滿足內滿足0)( xf，則在，則在),(ba內內Cxf)(（C為常數） 為常數） 證證 設設21,xx是區間是區間),(ba內的任意兩點，且內的任意兩點，且21xx ，于是在區間，于是在區間,21xx上函數上函數)(xf滿足拉格朗日滿足拉格朗日中值定理的條件，故得中值定理的條件，故得 由于由于0)( f，所以，所以0)()(12xfxf，即，即)()(21xfxf. . 212112()()( )()(),f xf xf xxxx. . . . . . . . . . . . . . . . .

12、. . . . . 二、兩個重要推論二、兩個重要推論函數微分學的應用PPT課件因因為為21,xx是是),(ba內內的的任任意意兩兩點點，于于是是上上式式表表明明)(xf在在),(ba內內任任意意兩兩點點的的值值總總是是相相等等的的，即即)(xf在在),(ba內內是是一一個個常常數數，證證畢畢 推推 論論 2 2 如如 果果 對對),(ba內內 任任 意意 x， 均均 有有)()(xgxf，則則在在),(ba 內內)(xf與與)(xg之之間間只只差差一一個個常常數數，即即Cxgxf)()(（C為為常常數數） 證證 令令)()()(xgxfxF，則則0)( xF，由由推推論論 1 1知知 ，)(x

13、F 在在),(ba內內 為為 一一 常常 數數C， 即即),(,)()(baxCxgxf，證證畢畢 函數微分學的應用PPT課件如圖觀察區間如圖觀察區間,ba上的單調遞上的單調遞增函數增函數)(xf的圖像，當的圖像，當 x增大時，增大時，曲線上任一點處的切線與曲線上任一點處的切線與 x軸正軸正向夾角為銳角，即向夾角為銳角，即0)( xf（個別點（個別點處處( )0fx） ，反過來是否也成立） ，反過來是否也成立呢？我們有如下定理：呢？我們有如下定理： 定定理理 2 2 設設函函數數)(xf在在,ba上上連連續續，在在),(ba內內可可導導，則則有有 （1 1）如如果果在在),(ba內內0)( x

14、f，則則函函數數)(xf在在,ba上上單單調調增增加加； xy0ab三、函數的單調性三、函數的單調性函數微分學的應用PPT課件證證 設設21,xx是是,ba上上任任意意兩兩點點, ,且且21xx ，由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理有有 )()()()(211212xxxxfxfxf . 如如果果0)( xf，必必有有0)(f，又又012 xx， 于于是是有有0)()(12xfxf， 即即)()(12xfxf, ,由由于于21,xx)(21xx 是是,ba上上任任意意兩兩點點，所所以以函函數數)(xf在在,ba上上單單調調增增加加 同理可證，如果同理可證，如果0)( xf，則函數，則函數)(

15、xf在在,ba上上單調減少，證畢單調減少，證畢 （2 2）如如果果在在),(ba內內0)( xf，則則函函數數)(xf在在 ,ba上上單單調調減減少少 函數微分學的應用PPT課件函函數數單單調調區區間間的的確確定定： （1 1） 求出使） 求出使0)( xf的點 （稱這樣的點為駐點） ，的點 （稱這樣的點為駐點） ， （2 2）用用這這些些駐駐點點將將)(xf的的定定義義域域分分成成若若干干個個子子區區間間，再再在在每每個個子子區區間間上上判判斷斷函函數數的的單單調調性性. . 例例 討討論論函函數數323)(xxxf的的單單調調性性 解解 因因為為323)(xxxf, , 所所以以)2(33

16、6)( 2xxxxxf, , 令令0)( xf得駐點：得駐點：01x，22x, ,用它們將用它們將)(xf的的定義區間定義區間),(分成三個部分區間分成三個部分區間: : )0 ,(，)2 , 0(，), 2( . . 函數微分學的應用PPT課件當當)0 ,(x時， 有時， 有0)( xf； 當； 當)2 , 0(x時時0)( xf; ;當當), 2( x時，時，0)( xf， 因此， 由定理， 因此， 由定理 2 2 知， 函數知， 函數)(xf在區間在區間)0 ,(與與), 2( 上單調減少，在區間上單調減少，在區間)2 , 0(單調增單調增加加 函數微分學的應用PPT課件1 1 將將拉拉

17、格格朗朗日日中中值值定定理理中中的的條條件件)(xf“在在閉閉區區間間,ba上上連連續續”換換為為“在在開開區區),(ba內內連連續續”后后, ,定定理理是是否否還還成成立立? ?試試舉舉例例( (只只需需畫畫圖圖) )說說明明 羅爾羅爾(Rolle)(Rolle)中值定理中值定理 若若)(xf滿足如下滿足如下 3 3 條條: : ( (1 1) ) 在閉區間在閉區間,ba上連續上連續; ; (2) (2) 在開區間在開區間),(ba內可導內可導; ; (3) (3) 在區 間在區 間,ba端 點出的 函數 值相等端 點出的 函數 值相等 , ,即即)()(bfaf, ,則在開區間則在開區間)

18、,(ba內至少存在一點內至少存在一點, ,使使得得0)(f 思思考考題題 2 2 羅爾羅爾(Rolle)(Rolle)中值定理是微分中值定理中一中值定理是微分中值定理中一個最基本的定理仔細閱讀下面給出的羅爾中值定理個最基本的定理仔細閱讀下面給出的羅爾中值定理的條件與結論的條件與結論, ,并回答所列問題并回答所列問題 函數微分學的應用PPT課件需回答的問題需回答的問題: : ( (1 1) ) 羅爾中值定理與拉格朗日中值定理的聯系與羅爾中值定理與拉格朗日中值定理的聯系與區別區別? ? (2) (2) 若將羅爾中值定理中條件若將羅爾中值定理中條件(1)(1)換成“在開區間換成“在開區間),(ba內

19、連續”內連續”, ,定理的結論還成立嗎定理的結論還成立嗎? ?畫圖說明畫圖說明 (3) (3) 不求不求)4)(3)(2)(1()(xxxxxf的導數的導數, ,說明方程說明方程)(xf 有幾個實根有幾個實根, ,并指出它們所在的區間并指出它們所在的區間 函數微分學的應用PPT課件 第三節第三節 函數的極值與最值函數的極值與最值 一、函數的極值一、函數的極值 二、函數的最值二、函數的最值 函數微分學的應用PPT課件定義定義 設函數設函數)(xf在在 0 x的某鄰域內有定義的某鄰域內有定義, ,且對且對此鄰域內任一點此鄰域內任一點)(0 xxx, ,均有均有)()(0 xfxf, ,則稱則稱)(

20、0 xf是函數是函數)(xf的一個極大值的一個極大值; ;同樣同樣, ,如果對此鄰域如果對此鄰域內任一點內任一點)(0 xxx, ,均有均有)()(0 xfxf, ,則稱則稱)(0 xf是函是函數數)(xf的一個極小值函數的極大值與極小值統稱為的一個極小值函數的極大值與極小值統稱為函數的極值使函數取得極值的點函數的極值使函數取得極值的點 0 x, ,稱為極值點稱為極值點 一、函數的極值一、函數的極值函數微分學的應用PPT課件定理定理 1 1 ( (極值的必要條件極值的必要條件) ) 設設)(0 xf在點在點0 x處具有導數處具有導數, , 且在點且在點0 x取得極值取得極值 , ,那么那么0)

21、(0 xf 觀察可導函數在取得極值處切線特征，觀察可導函數在取得極值處切線特征， 可以看出可以看出, ,可導函數在取得極值處的可導函數在取得極值處的 切線是水平的切線是水平的, ,即極值點即極值點 0 x處處, ,必有必有 0)(0 xf, ,于是有下面的定理于是有下面的定理 證證 只證只證)(0 xf是極大值的情形由假設是極大值的情形由假設, , )(0 xf 存在存在, ,所以所以 00000)()(lim)()(lim)(00 xxxfxfxxxfxfxfxxxx, , xyO函數微分學的應用PPT課件因因為為)(0 xf是是)(xf的的一一個個極極大大值值, ,所所以以對對于于 0 x

22、的的某某鄰鄰域域內內的的一一切切 x, ,只只要要0 xx , ,恒恒有有)()(0 xfxf因因此此, ,當當0 xx 時時, , 有有0)()(00 xxxfxf于于是是, ,有有 00)()(lim0 xxxfxfxx0， 當當0 xx 時時, ,0)()(00 xxxfxf, ,所以所以 00)()(lim0 xxxfxfxx 0, ,從而得到從而得到0)(0 xf 類似可證類似可證)(0 xf為極小值情形為極小值情形, ,證畢證畢 函數微分學的應用PPT課件函函數數極極值值點點特特征征：對對于于可可導導函函數數由由定定理理 1 1 知知，可可導導函函數數)(xf的的極極值值點點必必是

23、是)(xf的的駐駐點點反反過過來來, ,駐駐點點卻卻不不一一定定 是是)(xf的極值點如的極值點如0 x是函數是函數3)(xxf的駐點，但的駐點，但不是其極值點對于連續函數不是其極值點對于連續函數, ,它的極值點還可能是它的極值點還可能是使導數不存在的點使導數不存在的點, ,稱這種點為尖點 例如稱這種點為尖點 例如, ,xxf)(，但但0 x處導數不存在處導數不存在, ,但是，但是，0 x是它的極小值點是它的極小值點 定理定理 （極值的第一充分條件）設（極值的第一充分條件）設)(xf在點在點 0 x連續，在點連續，在點 0 x的某一空心鄰域內可導當的某一空心鄰域內可導當 x由小由小增大經過增大

24、經過 0 x時，如果時，如果 (1)(1) )(xf 由正變負，那么由正變負，那么 0 x 是極大值點；是極大值點；(2)(2) )(xf 由負變正，那么由負變正，那么 0 x是極小值是極小值點；點；(3) (3) )(xf 不變號，那么不變號，那么 0 x不是極值點不是極值點 函數微分學的應用PPT課件證證 （）由假設知，（）由假設知，)(xf在在 0 x的左側鄰近單調的左側鄰近單調增加增加, , 即當即當0 xx 時，時，)()(0 xfxf; ;在在0 x的右側鄰近的右側鄰近單調減少，即當單調減少，即當0 xx 時，時，)()(0 xfxf. .因此因此 0 x是是)(xf的的極大值點極

25、大值點, , )(0 xf是是)(xf的極大值的極大值 類似可以證明（類似可以證明（2 2） ） ( (3 3) ) 由由假假設設，當當 x在在 0 x 的的某某個個鄰鄰域域)(0 xx 內內取取值值時時，)0(0)( xf，所所以以，在在這這個個鄰鄰域域內內是是單單調調增增加加（減減少少）的的，因因此此0 x不不是是極極值值點點，證證畢畢 定理定理 （極值的第二充分條件）（極值的第二充分條件） 設設)(xf在點在點 0 x處具有二階導數處具有二階導數, ,且且0)(0 xf, ,0)( xf 函數微分學的應用PPT課件( (1 1) ) 如如果果0)(0 xf, ,則則)(xf在在點點 0

26、x取取得得極極大大值值； ( (2 2) ) 如如果果0)(0 xf, ,則則)(xf在在點點 0 x取取得得極極小小值值 證證 （）由由于于0)(0 xf, ,所所以以 0)( )( lim)(0000 xxxfxfxfxx， 所以，在所以，在0 x的某鄰域內必有的某鄰域內必有 0)()(00 xxxfxf , , )(0 xx ， 因為因為0)( xf，所以有，所以有0)(0 xxxf , , )(0 xx . . 函數微分學的應用PPT課件從而知道， 當從而知道， 當0 xx 時，時，0)( xf； 當； 當0 xx 時，時，0)( xf, ,由定理知由定理知)(0 xf為為)(xf的極

27、大值類似地可證明的極大值類似地可證明（） ，證畢（） ，證畢. . 例例 求求函函數數xxxxf96)(23的的極極值值. . 解解 一一 因因 為為96)(23xxxf的的 定定 義義 域域 為為( (,) ), ,且且 )3)(1(39123)(2xxxxxf, , 令令0)( xf，得得駐駐點點11x, ,32x . . 在在) 1 ,(內內，0)( xf，在在)3 , 1 (內內，0)( xf, ,故故由由定定理理2 2 知知，4) 1 (f為為函函數數)(xf的的極極大大值值 函數微分學的應用PPT課件解解二二 因因為為xxxxf96)(23的的定定義義域域為為),(， 且且 912

28、3)(2xxxf, ,126)( xxf 令令0)( xf, ,得得駐駐點點11x, ,32x又又因因為為06) 1 ( f, ,所所以以，4) 1 (f為為極極大大值值 06)3( f, ,所所以以0)3(f為為極極小小值值 例例 2 2 求求函函數數32) 1(2)(xxf的的極極值值 解解 因因 為為32) 1(2)(xxf的的 定定 義義 域域 為為),(, ,且且)(xf在在),(上上連連續續，所所以以 函數微分學的應用PPT課件131322( )(1)(1)33(1)fxxxx , ,1x時時, ,)(xf 不不存存在在 , , 所所 以以1x為為)(xf的的 可可 能能 極極 值

29、值 點點 在在) 1 ,(內內, ,0)( xf; ;在在), 1 ( 內內, ,0)( xf, ,由由定定理理知知)(xf在在1x處處取取得得極極大大值值2) 1 (f 函數微分學的應用PPT課件對于閉區間對于閉區間,ba上的連續函數上的連續函數)(xf由最值存在定由最值存在定理知一定存在著最大值和最小值顯然，函數在閉區理知一定存在著最大值和最小值顯然，函數在閉區間間,ba上的最大值和最小值只能在區間上的最大值和最小值只能在區間),(ba內的極內的極值點和區間端點處達到因此可得求閉區間值點和區間端點處達到因此可得求閉區間,ba上的上的連續函數連續函數)(xf的最值步驟為： （的最值步驟為：

30、（1 1）求出一切可能的極）求出一切可能的極值點值點( (包括駐點和尖點包括駐點和尖點) )和端點處的函和端點處的函數值， （數值， （2 2）比較）比較這些函數值的大小，最大的值為函數的最大值，最小這些函數值的大小，最大的值為函數的最大值，最小的值為函數的最小值的值為函數的最小值 二、函數的最值二、函數的最值函數微分學的應用PPT課件例例 3 3 求求函函數數xxxxf1232)(23在在4 , 3上上的的最最大大值值和和最最小小值值 解解 因因為為 在在xxxxf1232)(23在在4 , 3上上連連續續，所所以以在在該該區區間間上上存存在在著著最最大大值值和和最最小小值值 又因為又因為)

31、 1)(2(61266)(2xxxxxf, , 令令0)( xf, ,得駐點得駐點21x, ,12x, ,由于由于 20)2(f, ,7) 1 (f, ,9)3(f, ,128)4(f 比較各值可得函數比較各值可得函數)(xf的最大值為的最大值為128)4(f, ,最小值最小值為為7) 1 (f 對于實際問題的最值， 往往根據問題的性質就可斷對于實際問題的最值， 往往根據問題的性質就可斷定函數定函數)(xf在定義區間的內部確有最大值或最小值在定義區間的內部確有最大值或最小值 函數微分學的應用PPT課件理論上可以證明： 若實際問題斷定理論上可以證明： 若實際問題斷定)(xf在其定義區間內在其定義

32、區間內部（不是端點處）存在最大值（或最小值） ，且部（不是端點處）存在最大值（或最小值） ，且0)( xf在定義區間內只有一個根在定義區間內只有一個根0 x, ,那么，可斷定那么，可斷定)(xf在點在點 0 x取得相應的最大值（最小值） 取得相應的最大值（最小值） 例例 4 4 有有一一塊塊寬寬為為a2的的長長方方形形鐵鐵皮皮，將將寬寬的的兩兩個個邊邊緣緣向向上上折折起起， 做做成成一一個個開開口口水水槽槽， 其其橫橫截截面面為為矩矩形形，高高為為x, ,問問高高 x取取何何值值時時水水槽槽的的流流量量最最大大( (下下圖圖所所示示為為水水槽槽的的橫橫截截面面）？ 解解 設設兩兩邊邊各各折折起

33、起 x, ,則則橫橫截截面面積積為為 )(2)(xaxxS )0(ax x2a-2xx函數微分學的應用PPT課件這樣，問題歸結為：當這樣，問題歸結為：當 x為何值時，為何值時，)(xS取得最大值取得最大值 由于由于xaxS42)(, ,所以令所以令0)( xS, ,得得)(xS的的惟惟一駐點一駐點2ax 又因為鐵皮兩邊折的過大或過小，其橫截面積都又因為鐵皮兩邊折的過大或過小，其橫截面積都會變小，因此，該實際問題存在著最大截面積會變小，因此，該實際問題存在著最大截面積 所以，所以，)(xS的最大值在的最大值在2ax 處取得，即當處取得，即當2ax 時，水槽的流量最大時，水槽的流量最大 例例 5

34、5 鐵鐵路路線線上上AB的的距距離離為為 1 10 00 0 k km m, ,工工廠廠C距距A處處為為 2 20 0 k km m, ,AC垂垂直直于于AB, ,要要在在AB線線上上選選定定一一點點 D向向工工廠廠修修筑筑一一條條公公路路，已已知知鐵鐵路路與與公公路路每每 k km m 貨貨運運費費之之比比為為3 3：5 5, ,問問D選選在在何何處處，才才能能使使從從B到到 C的的運運費費最最少少? ? 函數微分學的應用PPT課件解解 設設 xAD (km),(km),則則 xDB100, ,2220 xCD 由由于于鐵鐵路路每每 k km m 貨貨物物運運費費與與公公路路每每 k km

35、m 貨貨物物運運費費之之比比為為3 3：5 5，因因此此，不不妨妨設設鐵鐵路路上上每每k km m 運運費費為為k3, ,則則公公路路上上每每 k km m運運費費為為k5, ,并并設設從從 B 到到 C 點點需需要要的的總總運運費費為為 y, ,則則 )100(320522xkxky 0( x )100. . 由此可見，由此可見，x過大或過小，總運費過大或過小，總運費 y均不會變小，均不會變小，故有一個合適的故有一個合適的 x使總運費使總運費 y達到最小值達到最小值 C BAD 函數微分學的應用PPT課件又又因因為為 340052xxky 令令0 y, ,即即2530400 xx, ,得得1

36、5x為函數為函數 y在在其定義域內的惟一駐點，故知其定義域內的惟一駐點，故知 y在在15x處取得最小處取得最小值，即值，即D點應選在距點應選在距 A為為 15 kmkm 處，運費處，運費最少最少 函數微分學的應用PPT課件 1 1. . 畫畫圖圖說說明明閉閉區區間間上上連連續續函函數數)(xf的的極極值值與與最最值值之之間間的的關關系系 2 2. . 可可能能極極值值點點有有哪哪幾幾種種？如如何何判判斷斷可可能能極極值值點點是是否否為為極極值值點點. . 思思考考題題 函數微分學的應用PPT課件 一、曲率的概念一、曲率的概念 二、曲率的計算二、曲率的計算* *第四節第四節 曲曲 率率 函數微分

37、學的應用PPT課件設設和和 , ,是曲線是曲線)(xfy 上兩個點，假如曲線在上兩個點，假如曲線在點和點和點的切線與點的切線與 x 軸的夾角分別為軸的夾角分別為 和和 ，那，那么， 當點從么， 當點從沿曲線沿曲線)(xfy 變到變到 時，時， 角度改變了角度改變了 ，而改變這個角度所經過的路程則是弧長而改變這個角度所經過的路程則是弧長s AB，我們，我們自然就用比值自然就用比值s來刻畫曲線段來刻畫曲線段 AB上的彎曲程度，稱上的彎曲程度，稱為平均曲率為了刻畫曲線在某點處的曲率，我們有如為平均曲率為了刻畫曲線在某點處的曲率，我們有如下定義下定義 定義定義 稱稱sskxddlim0為曲線在點為曲線

38、在點 A的曲率的曲率 一、曲率的概念一、曲率的概念函數微分學的應用PPT課件例例 1 1 求求半半徑徑為為R的的圓圓的的平平均均曲曲率率及及曲曲率率. . 解解 在圖中，由于在圖中，由于BOA 等于等于 ， 又等于又等于Rs，所以，所以RsRss1 為弧為弧 AB 段的平均曲率，段的平均曲率， 當當 時，有時，有0s， 所以圓上任意一點所以圓上任意一點 A 的曲率的曲率 RRsakss11limlim00 . O xyOABa+aaa函數微分學的應用PPT課件可見可見, ,圓上任一點處的曲率都等于圓半徑的倒數圓上任一點處的曲率都等于圓半徑的倒數. .因而圓的半徑愈大因而圓的半徑愈大, ,曲率愈

39、小曲率愈小; ;半徑愈小半徑愈小, ,曲率愈大曲率愈大. .這這表明曲率確實反映了曲線的彎曲程度表明曲率確實反映了曲線的彎曲程度. . 由于圓的半徑等于圓的曲率的倒數由于圓的半徑等于圓的曲率的倒數, ,所以對于一般所以對于一般的曲線的曲線, ,我們把它在各點的曲率的倒數稱為它在該點的我們把它在各點的曲率的倒數稱為它在該點的曲率半徑曲率半徑, ,記為記為R, ,因此因此, ,kR1( (如果如果0k, ,則說明曲率則說明曲率半徑為半徑為) ). . 函數微分學的應用PPT課件以以s表示這條曲線由基點表示這條曲線由基點0M到點到點M的一段弧的一段弧0M M的長的長度（當度（當M在在0M右邊時規定右

40、邊時規定0s, ,當當M在在0M左邊時規定左邊時規定0s）, ,弧長弧長 s是是 x的函數，的函數， 設函數設函數)(xfy 在在),(ba內具有連續導數，內具有連續導數， 0 x為為),(ba內一個定點；內一個定點；x, ,xx為為),(ba內兩個鄰近的點；內兩個鄰近的點；0M，M，M分別為曲線分別為曲線)(xfy 上與上與 0 x, , x, , xx對應的點對應的點. . Ox yabM0MMxyxxx0 x二、曲率的計算二、曲率的計算函數微分學的應用PPT課件設對應于設對應于 x的增量的增量 x，弧長，弧長 s的增量為的增量為 s， 則則00sM MM M. .于是有于是有0lim0M

41、Mx我們還我們還可以證明：可以證明：1lim0MMsx這就是說這就是說 s與與MM是是 0s時的兩個等價無窮小量，因此時的兩個等價無窮小量，因此 00220dlimlimd()()limxxxssMMxxxxyx 21y, 所以所以 xysd1d2. . 函數微分學的應用PPT課件又又因因為為曲曲線線)(xfy 在在點點 M處處的的切切線線斜斜率率為為tany 所所以以，arctan y 2dd1yxy, , 因此因此 223/22dd1d(1)1dyxyyksyyx 這就是曲線這就是曲線)(xfy 的曲率計算公式的曲率計算公式 函數微分學的應用PPT課件例例 2 2 求求直直線線baxy的的

42、曲曲率率 解解 因因為為ay , ,0 y, ,所所以以 0k, ,即即直直線線的的彎彎曲曲程程度度為為 0（直直線線不不彎彎曲曲） 例例 3 3 一飛機沿拋物線路徑一飛機沿拋物線路徑40002xy 做俯沖飛行， 在做俯沖飛行， 在原點原點O處的速度為處的速度為400v m/s m/s 飛行員體重飛行員體重 7070 kg kg，求俯，求俯沖到原點時，飛行員對座椅的壓力沖到原點時，飛行員對座椅的壓力 解解 在在O點飛行員受到兩個力作用，即重力點飛行員受到兩個力作用，即重力 P和座椅對飛行員的反力和座椅對飛行員的反力 Q， 他們的合力， 他們的合力P-Q為飛行員為飛行員隨飛機俯沖到隨飛機俯沖到O

43、點時， 所需的向心力點時， 所需的向心力 F, ,即即FP-Q或或FQ P，物體做勻速圓周運動時，物體做勻速圓周運動時，向心力為，向心力為 2mRv（R為圓半徑）為圓半徑） 函數微分學的應用PPT課件O 點可看成是曲線在這點的曲率圓上點可看成是曲線在這點的曲率圓上的點，所以在這點向心力為的點，所以在這點向心力為 2mFRv（R為為 O點的曲率半點的曲率半徑） ，徑） ， 因為因為 020000 xxy, ,20001 y 故曲線在故曲線在 O O 點的曲率點的曲率20001k, ,曲率半徑曲率半徑 R R=2000=2000 m m，所以，所以 N5600N2000)400(702F )560

44、08 . 970(QN N6286 N N 因因為為飛飛行行員員對對座座椅椅的的壓壓力力和和座座椅椅對對飛飛行行員員的的反反力力大大小小相相等等，方方向向相相反反，所所以以，飛飛行行員員對對座座椅椅的的壓壓力力為為6 62 28 86 6 N N. . yPOxQ函數微分學的應用PPT課件 1 1. . 對對圓圓來來說說，其其半半徑徑與與其其曲曲率率半半徑徑相相等等嗎嗎？ 為為什什么么？ 2 2. .是是否否存存在在負負曲曲率率，為為什什么么？ 思思考考題題 函數微分學的應用PPT課件 一、曲線的凹向及其判別法一、曲線的凹向及其判別法 二、拐點及其求法二、拐點及其求法 三、曲線的漸近線三、曲線

45、的漸近線 四、四、函數作圖的一般步驟函數作圖的一般步驟 第五節第五節 函數圖形的描繪函數圖形的描繪函數微分學的應用PPT課件定定義義 1 1 若若在在某某區區間間()a,b內內曲曲線線段段總總位位于于其其上上任任意意一一點點處處切切線線的的上上方方，則則稱稱曲曲線線段段在在 ()a,b內內是是向向上上凹凹的的（簡簡稱稱上上凹凹， 也也稱稱凹凹的的） ； 若若曲曲線線段段總總位位于于其其上上任任一一點點處處切切線線的的下下方方，則則稱稱該該曲曲線線段段),(ba內內是是向向下下凹凹的的（簡簡稱稱下下凹凹，也也稱稱凸凸的的） 從從圖圖可可以以看看出出曲曲線線段段AB是是下下凹凹的的；曲曲線線段段

46、BC是是上上凹凹的的 定定理理 1 1 設設函函數數 y= =)(xf在在開開區區間間()a,b內內具具有有二二階階導導數數 ( (1 1) )若若在在()a,b內內0)( xf, ,則則曲曲線線)(xfy 在在),(ba內內是是向向上上凹凹的的； yOx ABCabc 一、曲線的凹向及其判別法一、曲線的凹向及其判別法函數微分學的應用PPT課件(2)(2)若在若在),(ba內內0)( xf, ,則曲線則曲線)(xfy 在在),(ba上是上是向下凹的向下凹的. 若把定理若把定理1 1中的區間改為無窮區間， 結論仍然成立中的區間改為無窮區間， 結論仍然成立 例例 1 1 判判定定曲曲線線xyln的

47、的凹凹向向 解解 函函數數xyln的的定定義義域域為為), 0( , , xy1, , 21xy , ,當當0 x時時，0 y， 故故曲曲線線xyln在在), 0( 內內是是向向下下凹凹的的 函數微分學的應用PPT課件定定義義 2 2 若若連連續續曲曲線線 y= =)(xf上上的的點點 P是是曲曲線線向向上上凹凹與與向向下下凹凹的的分分界界點點，則則稱稱 P是是曲曲線線)(xfy 的的拐拐點點 由于拐點是曲線凹向的分界點， 所以拐點左右兩側由于拐點是曲線凹向的分界點， 所以拐點左右兩側近旁近旁)(xf 必然異號因此，曲線拐點的橫坐標必然異號因此，曲線拐點的橫坐標 0 x，只可能是使只可能是使0

48、)( xf的點或的點或)(xf 不存在的點從而可不存在的點從而可得求得求),(ba內連續函數內連續函數 y= =)(xf拐點的步驟：拐點的步驟： ( (1 1) ) 先先求求出出)(xf ，找找出出在在),(ba內內使使0)( xf的的點點和和)(xf 不不存存在在的的點點； (2) (2) 用上述各點按照從小到大依次將用上述各點按照從小到大依次將),(ba分成小分成小區間區間, ,再在每個小區間上考察再在每個小區間上考察)(xf 的符號；的符號； 二、拐點及其求法二、拐點及其求法函數微分學的應用PPT課件( (3 3) ) 若若)(xf 在在某某點點 ix兩兩側側近近旁旁異異號號， 則則(,

49、()iixf x是是曲曲線線y= =)(xf的的拐拐點點，否否則則不不是是 例例 2 2 曲線曲線3xy 的定義域為的定義域為),(，畫其草圖，畫其草圖 解解 因因為為3xy 的的定定義義域域為為),(，且且23xy , , xy6 , , 令令0 y，得得0 x 用用0 x將將),(分分成成兩兩個個 小小區區間間：)0 ,( 和和), 0( . . 當當)0 ,(x時時，0 y, , 曲曲線線3xy 下下凹凹 當當), 0( x時時，0 y, , 曲曲線線3xy 上上凹凹 所所以以，點點)0 , 0(為為曲曲線線3xy 的的拐拐點點 yxO11-1-1函數微分學的應用PPT課件定義定義 3

50、3 若曲線若曲線C上動點上動點 P沿著曲線無限地遠離沿著曲線無限地遠離原點時，點原點時，點 P與某一固定直線與某一固定直線 L的距離趨于零，的距離趨于零， 則稱直線則稱直線 L為曲線為曲線 C的漸的漸近近線線 1 1斜斜漸漸近近線線 定理定理 2 2 若若)(xf滿足：滿足： (1) (1) kxxfx)(lim; ; (2) (2) bkxxfx)(lim, , 則曲線則曲線y= =)(xf有斜漸有斜漸近近線線bkxy yOxCMNPLay kx b( )yf x三、曲線的漸近線三、曲線的漸近線函數微分學的應用PPT課件例例 3 3 求曲線求曲線3223xxxy的漸的漸近近線線 解解 令令3

51、2)(23xxxxf, ,因因為為 132lim)(lim22xxxxxfkxx, 2)32(lim)(lim23xxxxkxxfbxx, 故故得得曲曲線線的的漸漸近近線線方方程程為為2 xy 函數微分學的應用PPT課件2 2鉛鉛直直漸漸近近線線 定定義義 4 4 若若 當當Cx 時時（有有時時僅僅當當Cx或或Cx） ，)(xf則則稱稱直直線線Cx 為為曲曲線線)(xfy 的的鉛鉛直直漸漸近近線線（也也叫叫垂垂直直漸漸近近線線） （其其中中 C為為常常數數） 所所以以當當3x和和1x時時 ，有有y，所所以以曲曲線線3223xxxy有有兩兩條條鉛鉛直直漸漸近近線線3x和和1x 例例 ) 1)(3

52、(32323xxxxxxy， 函數微分學的應用PPT課件例例 當當x時時，有有2e0 x, ,所所以以0y為為曲曲線線2exy的的水水平平漸漸近近線線. . y O x 3 3水水平平漸漸近近線線 定義定義 5 5 若當若當x時，時，Cxf)(則稱曲線則稱曲線)(xfy 有水平漸近線有水平漸近線Cy . . 函數微分學的應用PPT課件( (1 1) ) 確確定定函函數數的的定定義義域域及及值值域域； ( (2 2) ) 考考察察函函數數的的周周期期性性與與奇奇偶偶性性； (3)(3) 確定函數的單增、單減區間、極值點、凹確定函數的單增、單減區間、極值點、凹凸區間及其拐點；凸區間及其拐點； (

53、(4 4) ) 考考察察漸漸近近線線； ( (5 5) ) 考考察察與與坐坐標標軸軸的的交交點點 最后，根據上面幾方面的討論畫出函數的圖最后，根據上面幾方面的討論畫出函數的圖像像 四、函數作圖的一般步驟四、函數作圖的一般步驟函數微分學的應用PPT課件例例 4 4 描描繪繪函函數數xyx1e的的圖圖像像 解解 函函數數xxfy1e)(x的的定定義義域域為為1x的的全全體體實實數數，且且當當1x時時，有有0)(xf，即即1x時時，圖圖像像在在x軸軸下下方方，當當1x時時，有有0)(xf, ,即即1x時時，圖圖像像在在x軸軸上上方方 由于由于)(lim1xfx，所以，所以1x為曲線為曲線)(xfy

54、的的鉛直漸鉛直漸近近線線 又因為又因為01elimxxx，所以，所以，0y為該曲線的水為該曲線的水平漸平漸近近線線 函數微分學的應用PPT課件因為因為 2)1 (exxyx, , 32)1 () 1(exxyx ， 令令0 y, ,得得, 0 x又又1x時，時，y 不存在不存在 用用0 x, ,1x將將定定義義區區間間分分開開， 并并進進行行討討論論如如下下： x (,1) (1,0) 0 (0,+) y + y + + y 極小值 注注：符符號號 表表示示曲曲線線單單減減且且下下凹凹； 表表示示單單增增且且上上凹凹，其其余余類類推推 函數微分學的應用PPT課件極極小小值值0e(0)11 0f

55、. .根根據據如如上上討討論論，畫畫出出圖圖像像 y O x 1 2 1 2 -1 函數微分學的應用PPT課件例例 5 5 描描繪繪函函數數xxxfln)(的的圖圖像像 （2 2） 漸漸近近線線 因為因為)(lim0 xfx，所以，所以0 x為鉛直漸為鉛直漸近近線線 又因為又因為0lnlimxxx，所以，所以y=0=0 為水平漸為水平漸近近線；線； （3 3） 因為因為2/32ln2xxy，2/548ln3xxy 所以所以，令令0 y得得2ex389. 7令令0 y得得 38ex39.14; ; 解解 （1 1）定定義義域域), 0( ； 函數微分學的應用PPT課件（4 4） 列列表表討討論論

56、： x (0,e2) e2 (e2,e8/3) e8/3 (e8/3,+) y + y + y 極大值極大值 2e 拐點拐點48/338(e,e)3 函數微分學的應用PPT課件y O x 1 e2 e8/3 ( (5 5) ) 令令ln0 xx，得得 x= =1 1 為為曲曲線線與與 x 軸軸交交點點的的橫橫坐坐標標 ( (6 6) ) 根根據據上上述述討討論論畫畫出出曲曲線線 函數微分學的應用PPT課件1 1 若 若)(,(00 xfx為連續曲線弧為連續曲線弧)(xfy 的拐點， 問：的拐點， 問： (1) (1) )(0 xf有無可能為有無可能為)(xf的極值，為什么？的極值，為什么？ (

57、2) (2) )(0 xf 是否一定存在？為什么？畫圖說明是否一定存在？為什么？畫圖說明 2. 2. 根據下列條件，畫曲線：根據下列條件，畫曲線： (1) (1) 畫出一條曲線，使得它的一階和二階導數處畫出一條曲線，使得它的一階和二階導數處處為正；處為正； (2) (2) 畫出一條曲線，使得它的二階導數處處為負，畫出一條曲線，使得它的二階導數處處為負，但一階導數處處為正；但一階導數處處為正； (3) (3) 畫出一條曲線，使得它的二階導數處處為正，畫出一條曲線，使得它的二階導數處處為正，但一階導數處處為負；但一階導數處處為負； (4) (4) 畫出一條曲線，使得它的一階和二階導數處畫出一條曲線

58、，使得它的一階和二階導數處處為負處為負 思思考考題題 函數微分學的應用PPT課件 第六節第六節 一元函數微分學在經濟上一元函數微分學在經濟上的應用的應用 一、成本函數與收入函數一、成本函數與收入函數 二、邊際分析二、邊際分析 三、彈性與彈性分析三、彈性與彈性分析函數微分學的應用PPT課件一個企業的經營效益取決于該企業的成本支出、收一個企業的經營效益取決于該企業的成本支出、收 入以及二者關于產量變化率等因素本節重點研究導數入以及二者關于產量變化率等因素本節重點研究導數 應用于成本函數和收入函數應用于成本函數和收入函數 成成本本函函數數( )C q給給出出了了生生產產數數量量為為 q的的某某種種產

59、產品品的的總總成成本本 )(qC是單增函數是單增函數. .對一些產對一些產品來說，如汽車或電視機等，產品來說，如汽車或電視機等，產量量q只能是整數，所以只能是整數，所以)(qCC 的圖像由彼此孤立的點組成 （右的圖像由彼此孤立的點組成 （右圖一） ；對糖、煤等產品來說，圖一） ；對糖、煤等產品來說，產量產量q可以連續變化，所以可以連續變化，所以)(qCC 的圖像可能是一條連的圖像可能是一條連續曲線（右圖二） 續曲線（右圖二） O C q 圖二 O C q 圖一 一、成本函數與收入函數一、成本函數與收入函數 函數微分學的應用PPT課件總假定成本函數總假定成本函數)(qCC 對一切非負實數有意義對

60、一切非負實數有意義 由由于于任任何何企企業業在在正正式式生生產產之之前前，都都要要先先期期投投入入，即即企企業業的的產產量量0q時時，成成本本0)0(CC一一般般不不為為零零，通通常常成成為為固固定定成成本本，幾幾何何上上，固固定定成成本本 C0 0就就是是成成本本函函數數曲曲線線在在 C 軸軸上上的的截截距距 一般來說，成本函數最初一段時間增長速度很快，然一般來說，成本函數最初一段時間增長速度很快，然后逐漸慢下來（即成本函數后逐漸慢下來（即成本函數)(qCC 的曲線的斜率由大到的曲線的斜率由大到小變化，曲線下凹） ，因為生產產品數量較大時要比數量小變化，曲線下凹） ，因為生產產品數量較大時要