1、第一章 平穩(wěn)時間序列模型及其特征第一節(jié) 模型類型及其表示一、自回歸模型( AR)由于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)慣性的作用，經(jīng)濟(jì)時間序列往往存在著前后依存關(guān) 系。最簡單的一種前后依存關(guān)系就是變量當(dāng)前的取值主要與其前一時 期的取值狀況有關(guān)。 用數(shù)學(xué)模型來描述這種關(guān)系就是如下的一階自回 歸模型：Xt= © X-1 +£ t(2.1.1 )常記作AR(1)。其中 Xt 為零均值(即已中心化處理)平穩(wěn)序列， ©為Xt對Xt -1的依賴程度，£ t為隨機(jī)擾動項(xiàng)序列(外部沖擊)。如果 Xt 與過去時期直到 Xt-p 的取值相關(guān)，則需要使用包含 Xti ,X-p在內(nèi)的p階自回歸模型來加以

2、刻畫。P階自回歸模型的一 般形式為：Xt= © i Xt-1+ © 2 Xt-2+ + © p Xt-p+ £ t(2.1.2 )為了簡便運(yùn)算和行文方便，我們引入滯后算子來簡記模型。設(shè) B 為滯后算子，即 BXt =Xt-1 , 則 B(Bk-1Xt)=BkXt=Xt-k B(C)=C(C 為常數(shù))。 利用這些記號， (2.1.2 )式可化為：Xt= © 1BX+ © 2Xt+ © 3BX+ + © pBXt+ £ t從而有：1- © 1B- © 2B-© pBp)Xt =&

3、#163; t記算子多項(xiàng)式© (B) = ( 1- © 1B- © 2B- © pB),則模型可以表示成© (B) X=£ t(2.1.3)例如，二 階自回歸模型Xt=0.7Xt-i +0.3Xt-2+0.3Xt-3 + £ t可寫成(1-0.7B-0.3B 2) Xt= £ t二、滑動平均模型( MA)有時，序列Xt的記憶是關(guān)于過去外部沖擊值的記憶，在這種情況下，Xt可以表示成過去沖擊值和現(xiàn)在沖擊值的線性組合，即Xt = £ t- 0 1 £ t-1 - 0 2 £ t-2 - 0

4、q £ t-q(2.1.4)此模型常稱為序列 Xt 的滑動平均模型，記為 MA(q)， 其中 q 為滑動 平均的階數(shù)，0 1, 020 q為參滑動平均的權(quán)數(shù)。相應(yīng)的序列 X稱為 滑動平均序列。使用滯后算子記號， (2.1.4 )可寫成Xt=(1-0 1B-0 2B2- - 0 qBq)qt=0 (B) £ t (2.1.5)三、自回歸滑動平均模型如果序列 Xt的當(dāng)前值不僅與自身的過去值有關(guān)，而且還與其 以前進(jìn)入系統(tǒng)的外部沖擊存在一定依存關(guān)系， 則在用模型刻畫這種動 態(tài)特征時，模型中既包括自身的滯后項(xiàng)，也包括過去的外部沖擊，這 種模型叫做自回歸滑動平均模型，其一般結(jié)構(gòu)為：Xt

5、=© 1Xt-1 +© 2Xt-2 + +© pXt-p +£ t-0 1£ t-1 - 0 2£ t-2 - 0 q£ t-q(2.1.6)簡記為 ARMA(p, q) 。利用滯后算子，此模型可寫為第二節(jié)線性時間序列模型的平穩(wěn)性、可逆性和傳遞性首先介紹兩個概念。 序列的傳遞形式：設(shè) Yt為隨機(jī)序列，£ t 為白噪聲，若 Yt可表示為：Yt= £ t + G £ t-1 +G £ t-2 +G £ t-k +=G(B)£ t且近|Gk|£°

6、76;，則稱 Yt具有傳遞形式，此時 Y 是平穩(wěn)的。系1數(shù)G稱為格林函數(shù)。它描述了系統(tǒng)對過去沖擊的動態(tài)記憶性強(qiáng)度。 序列的逆轉(zhuǎn)形式：若 Yt可表示為：£ t = Yt- n i Yt-i - n 2 Yt-2 -n k Yt-k -= n (B) Y t且白心| 5，則稱 Y具有逆轉(zhuǎn)形式(或可逆形式)。1MA模型1. MA模型本身就是傳遞形式。2. MA(q)總是平穩(wěn)的(由上一章的例)，MA(乂)在系數(shù)級數(shù)絕對收斂的條件下平穩(wěn)。3. MA(q濮型的可逆性條件。先以MA( 1) (Yt= £ t- 0 1 £ t-i)為例進(jìn)行分析。MA(1)的可逆性條件為：101

7、<1 o如果引入滯后算子表示 MA(1),則Y= (1- 0 iB) £ t，可逆條件 ：i等價于0(B)=1- 0 iB=0的根全在 單位圓外。對于一般的MA(q)模型，利用滯后算子表示有：Yt= (1- 0 iB- 0 2B- 0 qB1) £ t = 0 (B) £ t其可逆的充要條件是：0 (B) =0的根全在單位圓外(證明見Box-Jenkins , P79)。在可逆的情況下，服從 MA(q)模型的序列可以表示成無窮階的 AR 模型：-10 (B)Yt二 £ tMA(q)的可逆域：使0(B) =0的根全在單位圓之外的系數(shù)向量(01 , 0

8、 2, ,0 q)所形成的集合。例：求MA(2)的可逆域。解：由丫 ；2二2 2，其特征方程為:V(B) =1 - yB - v2B 2 =0該方程的兩個根為:T ' 212' ；口4 ： 2 '226由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，有當(dāng)MA(2)平穩(wěn)時，根的模人與血都必須大于1,因此必有:0112662日2 = < 1由根與系數(shù)的關(guān)系，可以推出如下式子:1 1"-(1 )(1 ).<1 ' 211=1-(1 )(1 )/. 1/. 2由于日、小是實(shí)數(shù)，1與'2必同為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。又因?yàn)閕 1 ,因此_ 11 0故-1 - 1匕 _ K

9、 =1 - (1)(1) ：: 1/ . 1 21反之，如果|時<1，且日2±缶龍1。那么從Q 2|= <1可以推出至九 1 Z. 2少有一個I扎>1，例如，假設(shè)人卜1，則根據(jù)1-(1耳丄)(1耳丄)<1可推出/. 1 /. 2d"1 )>0，由1>0可以推出1巧1 >0，從而>1。因此, 1 2 ' 1 2RB) =1 亠B2 =0的根在單位圓之外。(平穩(wěn)域?yàn)橐蝗切?AR模型1. AR(P)模型本身就是一種逆轉(zhuǎn)形式2. 平穩(wěn)性。先以AR(1)( Yt=rY-1 +)，進(jìn)行分析AR(1)平穩(wěn)的條件為-1 ：i，它等價

10、于(B)=1- iB=0的根在單位 圓外。3、在平穩(wěn)的情況下，AR(1)有傳遞形式：4O0(1-1B)丫= £ t£ 二，八；t1-%Bj仝一般地，對于 AR(P)模型：(B) Y t=£ t，序列 Yt平穩(wěn)的充要條件是：(B)=0的根全在單位圓外。此時，Yt有傳遞形式：Y =-1(B)£ tAR(P)的平穩(wěn)域：使(B)=0的根全在單位圓外的AR系數(shù)向量(1,，護(hù)p ,)的全體形成的集合。練習(xí)：求AR(1)與AR(2)的平穩(wěn)域。三、ARMA (p,q)模型1、平穩(wěn)性與傳遞形式首先考察 ARMA(1 , 1)的平穩(wěn)性：Yt 1Yt-1= £ t

11、- 1 £ “Yt平穩(wěn) m I © 1 l< 1 (與AR (1)的平穩(wěn)域相同)此結(jié)論表明，ARMA (1,1)序列的平穩(wěn)性僅與自回歸系數(shù)有關(guān)，而與滑動平均系數(shù)無關(guān)。而且平穩(wěn)條件與 AR (1)的平穩(wěn)條件相同。在平穩(wěn)的條件下，Yt有上述形式的傳遞形式。一般地，服從ARMA (p,q)模型的序列 £平穩(wěn)的充要條件是：© (B) =0的根全在單位圓外。在平穩(wěn)的條件下，Yt有傳遞形式 Yt二©-1 (B) 0 (B) £t2、可逆性對于 ARMA ( 1,1)，假定可逆形式為e t= n (B) Yt二(1 n iB n 2B-n k

12、 B k ) Yt代入 ARMA ( 1 ,1)的滯后算子表示形式，采用類似前面的方法， 比較同次冥系數(shù)可得e t= Y t - ( 1 _0 1) Yt-i _0 1 (0 1 _0 1) Yt-2 - -B 1 k-1 (0 1 - 0 1)丫 t-k -根據(jù)前面的定義(可逆性定義)，應(yīng)有丨0 1 1< 1。因此，ARMA (1,1)可逆的條件是丨0 1 1< 1,它僅與滑動系 數(shù)有關(guān)，而與自回歸系數(shù)無關(guān)。而且可逆條件與 MA (1)的可逆條 件相同。一般地，服從ARMA ( p,q)模型的序列Yt,其具有可逆性的條件 是： 0(B)=0 的根全在單位圓外。在可逆的條件下,Yt

13、 的逆轉(zhuǎn)形-1式為 e t=0 -1( B)0 (B)Yt3、傳遞性與可逆性的重要意義第三節(jié)線性時間序列模型的自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)1、MA (q)模型的自相關(guān)函數(shù)設(shè) YJ服從:qYt = 0 ( B) £ t = £ t - 9 1 £ t-1 B q £ t-q= 0 j £ t-j , 0 0=j=0則 Yt的s階自協(xié)方差函數(shù)為：qY = '0 j 0 s+j cj2=|(T ( 0 0 0 s+ 0 1 0 s+什+ 0 q-s 0 q)(SW q)( 0 0= -1 )0(s>q)由上式，有 Y= T ( 1

14、+0 / + 0 qi1 +日；+托：上式表明，MA (q)模型的記憶僅有q個時段，Yt的自協(xié)方差 函數(shù)或自相關(guān)函數(shù)(ACF) q步截尾。這是MA (q)模型的典型特征MA (q)的典型特征：p s在q步截尾。 AR ( p)模型的自相關(guān)函數(shù)首先考察AR (1) (Yt= © 1Yt-1+ £ t )的自相關(guān)函數(shù)的特征。Yt的自協(xié)方差函數(shù)為：Y=Cov( Yt, Yt+s) = © 1 Y-1)故Yt的自相關(guān)函數(shù)(ACF)為：P S= y/ YOs +3&s 十+0q/q從而 Y= © i Y-1= © 1 u s-2=© 1

15、 Y自相關(guān)函數(shù)(ACF)為：p s= y/ Y= © 1當(dāng)丨© 1 |< 1 , p s >0,即自相關(guān)函數(shù)p s隨s的增大而衰 減至零。這種現(xiàn)象稱為拖尾性。對于一般的AR (p),序列的自相關(guān)函數(shù)的特征分析如下：設(shè)Yt= © 1丫t-1+ © 2丫t-2+ + © pYt-p+ £ t= © (B) Yt+ £ t則自協(xié)方差函數(shù)：Y= © 1 Y-1+ © 2 Y-2 + © p Y-p這是一個關(guān)于 s 的線性差分方程。上式兩邊同除Y，得關(guān)于自相關(guān)函數(shù)(ACF)的線性差分

16、方程。p s= © 1 p s-1+ © 2 p s-2+ + © p p s-p在AR(p)平穩(wěn)的條件下，© (B)=0有p個在單位圓外的根a 1、a2，, a p。根據(jù)線性差分方程解的有關(guān)理論，自相關(guān)函數(shù)( ACF)服從的 線性差分方程© (B) p s=0的通解為：-S-S-Sp s=C1 a 1 + C2 a 2 + + Cp a p由于| a j|> 1,因此ps將按指數(shù)衰減(實(shí)根情形)或正弦振蕩 衰減(復(fù)根情形)。這種特性稱為AR (p)的拖尾性。AR (p)的典型特征是：p s拖尾(衰減)3、ARMA (p,q)的自相關(guān)函數(shù)

17、設(shè)ARMA (p,q)的形式為：Yt= © 1丫t-1+ © 2丫卜2+ © pYt-p+ £ 1 £ t-1 一B q £ t-q則Yt的s階自協(xié)方差函數(shù)為：Y = © 1 Y-l+ © 2 Y-2+ + ©P Y-p + E( Yt £ t+s) _0 lE(Yt £ t+S-1)_0qE(Yt £ t+S-q) 當(dāng)OW s<q時，£t+s，£ t+S-1，£ t+s-q中有一部分位于t 時刻以前(t+ s-i < t =3 &l

18、t; 0)，Yt與這一部分外部沖擊有關(guān)，從 而y除了受自回歸系數(shù)的影響外，還受一部分滑動平均系數(shù)的影響。 當(dāng) s>q 時，s- q>0, t+s-q>t,從而 £ t+S , £ t+S-1，,£ t+S-q 全在t時刻以后，由于Yt與未來的外部沖擊不相關(guān)，因此 y中后面 的項(xiàng)全為零。Y= © 1 Y-i+ © 2 Y-2+ + © p Y-p它只同自回歸系數(shù)有關(guān)。兩邊同除 Y，得 P s= © 1 P s-1+ © 2 P s-2+ + © p P s-p(s> q)即ARMA

19、(p,q)的自相關(guān)函數(shù)(ACF)在s>q時，與AR (p) 的自相關(guān)函數(shù)所滿足的線性差分方程完全相同。借用前面關(guān)于AR (p)的自相關(guān)函數(shù)特征的討論可知，ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)(ACF)在q以后隨s的增長按指數(shù)衰減或以正 弦振蕩衰減，即仍體現(xiàn)出拖尾特征。二、偏自相關(guān)函數(shù)從前面的自相關(guān)函數(shù)的討論中可看出，自相關(guān)函數(shù)的截尾性是MA (q)的獨(dú)有特征，但自相關(guān)函數(shù)的拖尾性卻是 AR (p)與ARMA (p,q)共有的特征，盡管ARMA (p,q)的自相關(guān)函數(shù)在q階后開始 按指數(shù)衰減或以正弦振蕩衰減，但這還不足于區(qū)別AR (p)與ARMA(p,q),因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中很難區(qū)分是否是從 q階

20、開始衰減的。因此, 還需尋找序列的其他統(tǒng)計(jì)特征。這就是偏自相關(guān)函數(shù)的特征。設(shè)Y J是一隨機(jī)序列，所謂Yt的s階偏自相關(guān)系數(shù)，是指扣出 中間s-1個項(xiàng)的影響之后，Yt與丫t+s的相關(guān)系數(shù)。為了考察偏自相關(guān) 函數(shù)的特性，我們分析如下：設(shè)Y t是一零均值平穩(wěn)序列，我們設(shè)想用Yt_i, 丫辺，Yt- s的s階自回歸模型去擬和 Yt,即建立如下模型：Yt= © siYt-i+ © S2Yt-2+ © ssYt-s+ et其中et為誤差項(xiàng)。估計(jì)模型的常用方法是最小二乘法，即選擇© si, © s2,，© sss.使模型的殘差方差Q=E (Yt" © sj Yt- j ) 2=Eet2達(dá)到最小。根據(jù)極值j乙條件應(yīng)有：Q / ：: © sj =0(j=1, 2,，s)據(jù)此，可推出©si,©s2,，© ss所滿足的方程為其中p k(k=i，s)為Yt的k階自相關(guān)系數(shù)。此方程組稱為Y ule-Walker 方程。可以證明，© ss是在給定丫t-1, 丫t-2，丫t-s+1的條件，Yt和Yt- s之間的條件相關(guān)系數(shù)，即偏相關(guān)系數(shù)。 © ss就為 Yt的偏相 關(guān)函數(shù)。要考察 Yt服從自回歸過