1、學(xué)習(xí)-好資料2017年05月21日數(shù)學(xué)(因式分解難題)2一.填空題(共10小題)1,已知 x+y=10, xy=16,x2y+xy2 的值為.2 .兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成2 (x-1) (x-9);另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)分解成 2 (x-2) (x- 4), 請你將原多項(xiàng)式因式分解正確的結(jié)果寫出來：.3 .若多項(xiàng)式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，則 m的值是 .4 .分解因式：4x2-4x- 3=.5 .利用因式分解計(jì)算：2022+202X 196+982=.6 . ABC三邊 a, b, c滿足 a2+b2+c?=ab+bc+ca,則

2、ABC的形狀是.7 .計(jì)算：12 22+32 42+52 62+1002+1012=.8 .定義運(yùn)算ab= (1-a) b,下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的四個(gè)結(jié)論：2* ( - 2) =3 a*b=b*a若 a+b=0,則(a*a) + (b*b) =2ab若 ab=0,則 a=1 或 b=0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是(填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)).9 .如果 1+a+a2+a3=0,代數(shù)式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=.10 .若多項(xiàng)式x2-6x- b可化為(x+a) 2-1,則b的值是.二.解答題(共20小題)11.已知n為整數(shù)，試說明(n+7) 2 - (n-3) 2的值一定

3、能被20整除.12 .因式分解：4x2y 4xy+y.13 .因式分解更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料(2) (x-y) 2+4xy.14 .先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若 m2+2mn+2n26n+9=0,求 m和 n 的值.解：: m2+2mn+2n2 6n+9=0m2+2mn+n2+n2- 6n+9=0(m+n) 2+ (n - 3) 2=0 m+n=0, n 3=0 .m= -3, n=3問題：(1)若 x2+2y2 2xy+4y+4=0,求 Xy 的值.(2)已知AABC的三邊長a, b, c都是正整數(shù)，且滿足 a2+b2-6a-6b+18+| 3 -c| =0,請問ABC是怎樣形狀

4、的三角形？15 .如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差， 那么稱這個(gè)正整數(shù)為 和 諧數(shù)”.如4=22- 02, 12=42- 22, 20=62-42,因此4, 12, 20這三個(gè)數(shù)都是和 諧數(shù).(1) 36和2016這兩個(gè)數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k (其中k取非負(fù)整數(shù))，由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù) 構(gòu)造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？(3)介于1到200之間的所有 和諧數(shù)”之和為.16 .如圖1,有若干張邊長為a的小正方形、長為b寬為a的長方形以及 邊長為b的大正方形的紙片.(1)如果現(xiàn)有小正方形1張，大正方形2張，長方形3張，請你將它們拼成一個(gè)大長方形 (在圖2虛

5、線框中畫出圖形)，并運(yùn)用面積之間的關(guān)系，將 多項(xiàng)式a2+3ab+2b2分解因式.(2)已知小正方形與大正方形的面積之和為169,長方形的周長為34,求長方形的面積.(3)現(xiàn)有三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張， 把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形(按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接)，求可以拼成多少種邊長不同的正方形.17 . (1)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖 1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個(gè)新的長方形，如圖2.用兩種不同的方法，計(jì)算圖2中長方形的面積;由此，你可以得出的一個(gè)等式為： (2)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖 3所示.請你用拼圖等方法推出一個(gè)完全平方公式，

6、畫出你的拼圖；請你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫出你的拼圖.18 .已知 a+b=1, ab=一 1,設(shè) s1=a+b, S2=a2+b2, S3=a3+b3,，Sn=an+bn更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料x+3n(2)請閱讀下面計(jì)算S3的過程：=(/ +獷(7)+百+1占)-宙1+口%)=g-4匯紹+(/4玳»-白帥十©=g+5°一口可。+切一因?yàn)?a+b=1, ab=- 1,所以 S3=a3+b3= (a+b) (a2+b2) - ab (a+b) =1XS2- (-1) =S2+1=你讀懂了嗎？請你先填空完成(2)中S3的計(jì)算結(jié)果，再用

7、你學(xué)到的方法計(jì)算S4.(3)試寫出Sn 2, Sn-1, Sn三者之間的關(guān)系式；(4)根據(jù)(3)得出的結(jié)論，計(jì)算生.19 . (1)利用因式分解簡算：9.82+0.4X9.8+0.04(2)分解因式：4a (a- 1) 2 (1 - a)20 .閱讀材料：若 m2-2mn+2n2-8n+16=0,求 m、n 的值.解：m2- 2mn+2n2- 8n+16=0,(m2 2mn+n2) + (n2 8n+16) =0(m-n) 2+ (n-4) 2=0,( m - n) 2=0, (n-4) 2=0, . n=4, m=4.根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知 x2+2xy+2y2+2y+1=

8、0,求 x y 的值.(2)已知 ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足 a2+b2- 6a-8b+25=0, 求 ABC的最大邊c的值.(3)已知 a - b=4, ab+c2- 6c+13=0,貝 a - b+c=.21 .仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項(xiàng)式x2-4x+m有一個(gè)因式是(x+3),求另一個(gè)因式以及 m 的化解：設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得 x2- 4x+m= (x+3) (x+n),貝U x2 4x+m=x2+ (n+3) 更多精品文檔n+3= 4m=3n解得：n= - 7, m= -21丁另一個(gè)因式為(x-7), m的值為-21.問題：(1)若二次三項(xiàng)式x

9、2-5x+6可分解為(x- 2) (x+a),貝U a=；(2)若二次三項(xiàng)式2x2+bx-5可分解為(2x-1) (x+5),貝U b=;(3)仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項(xiàng)式2x2+5x- k有一個(gè)因式是(2x-3),求另一個(gè)因式以及k的值.22 .分解因式：(1) 2x2 - x;(2) 16x2- 1;(3) 6xy29x2y y3;(4) 4+12 (x-y) +9 (x-y) 2.23 .已知a, b, c是三角形的三邊，且滿足(a+b+c) 2=3 (a2+b2+c2),試確定 三角形的形狀.24 .分解因式(1) 2x4 - 4x2y2+2y4(2) 2a3-4a2b+2

10、ab2.25.圖是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四 塊小長方形，然后按圖的形狀拼成一個(gè)正方形.(1)圖中的陰影部分的面積為 ；(2)觀察圖請你寫出三個(gè)代數(shù)式(m+n) 2、(m-n) 2、mn之間的等量關(guān) 系是.(3)若 x+y=7, xy=10,貝U (x y) 2=(4)實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料如圖，它表小了 .(5)試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示(m+n) (m+3n) =m2+4mn+3n2.26.已知 a、b、c滿足 ab=8, ab+c2+16=0,求 2a+b+c 的值.27.已知：一 個(gè)長 方體的長、

11、寬、高分別 為正整數(shù)a、b、c,且滿足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,求：這個(gè)長方體的體積.28 . (x2-4x) 2- 2 (x2 -4x) - 15.29 .閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題:1+x+x (x+1) +x (x+1) 2 =(1+x) 1 +x+x (x+1)=(1+x) 2 (1+x)=(1+x) 3(1)上述分解因式的方法是 ,共應(yīng)用了一次.(2)若分解 1+x+x (x+1 ) +x (x+1 ) 2+- +x (x+1 ) 2004,則需應(yīng)用上述方法 次， 結(jié)果是(3)分解因式：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+- +x (x

12、+1) n (n 為正整數(shù)).30 .對于多項(xiàng)式x3-5x2+x+10,如果我們把x=2代入此多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式x3 -5x2+x+10=0,這時(shí)可以斷定多項(xiàng)式中有因式(x- 2)(注：把x=a代入多項(xiàng) 式能使多項(xiàng)式的值為0,則多項(xiàng)式含有因式(x-a),于是我們可以把多項(xiàng)式 寫成：x3 - 5x2+x+10= (x 2) (x2+mx+n),學(xué)習(xí) 好資料( 1 )求子中m 、 n 的值；(2)以上這種因式分解的方法叫試根法，用試根法分解多項(xiàng)式x3-2x2- 13x-10的因式.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料2017年05月21日數(shù)學(xué)(因式分解難題)2參考答案與試題解析1 .填空題(共10小題)1.

13、(2016秋？望謨縣期末)已知x+y=10, xy=16,貝U x【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法將 2 (x-1) (x-9)展開得到二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)； 將2 (x-2) (x-4)展開得到二次項(xiàng)、一次項(xiàng).從而得到原多項(xiàng)式，再對該 多項(xiàng)式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式.【解答】 解：二匕(x- 1) (x-9) =2x2-20x+18; (x- 2) (x-4) =2x2- 12x+16;原多項(xiàng)式為2x2- 12x+18.2x2- 12x+18=2 (x2-6x+9) =2 (x-3) 2.【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)錯(cuò)誤解法得到原多項(xiàng)式是解答本題的關(guān)鍵. 二次三項(xiàng)式分解因式， 看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，但二次項(xiàng)、常

14、數(shù)項(xiàng)正確；看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，但二次項(xiàng)、一次y+xy2的值為 160 . 【分析】首先提取公因式xy,進(jìn)而將已知代入求出即可.【解答】解：= x+y=10, xy=16, x2y+xy2=xy (x+y) =10X16=160.故答案為：160.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵.2. (2016秋？新賓縣期末)兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因 看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成2 (x-1) (x-9);另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)分 解成2 (x-2) (x-4),請你將原多項(xiàng)式因式分解正確的結(jié)果寫出來：2 (x-3) 2 .更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料 項(xiàng)正確.3.

15、 (2015春？昌邑市期末)若多項(xiàng)式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，則m的值是 ± 4 .【分析】利用完全平方公式(a+b) 2= (a-b) 2+4ab、(a-b) 2= (a+b) 2-4ab 計(jì)算即可.【解答】解：x2+mx+4= (x±2) 2,即 x2+mx+4=x2±4x+4, m=±4.故答案為：± 4.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，熟記有關(guān)完全平方的幾個(gè)變形公式 是解題關(guān)鍵.4. (2015秋？利川市期末)分解因式：4x2-4x-3=(2x-3) (2x+1).【分析】ax2+bx+c (aw0)型的式子的因式分

16、解，這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)ai, a2的積ai?a2,把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)ci, C2 的積ci?C2,并使aiC2+a2Ci正好是一次項(xiàng)b,那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c= (aix+ci) (a2x+c2),進(jìn)而得出答案.【解答】解：4x2 - 4x- 3= (2x-3) (2x+i).故答案為：(2x-3) (2x+i).【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確分解各項(xiàng)系數(shù)是解題關(guān)鍵.5. (20i5春?東陽市期末)利用因式分解計(jì)算：2022+202X i96+982= 90000【分析】通過觀察，顯然符合完全平方公式.【解答】解：原式=2022+

17、2x202x98+982學(xué)習(xí)-好資料=3002=90000.【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用公式法可以簡便計(jì)算一些式子的值.6. (2015秋？浮梁縣校級(jí)期末) ABC三邊a, b, c滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca, 則 ABC的形狀是 等邊三角形 .【分析】分析題目所給的式子，將等號(hào)兩邊均乘以 2,再化簡得(a- b) 2+ (a-c) 2+ (b-c) 2=0,得出：a=b=c,即選出答案.【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等號(hào)兩邊均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,即 a2 2ab+b2+a2 2ac+c2+b2 2bc+c2=0,即(a-b) 2+ (a-

18、 c) 2+ (b-c) 2=0,解得：a=b=c,所以， ABC是等邊三角形.故答案為：等邊三角形.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解的應(yīng)用；利用等邊三角形的判定，化簡式子得 a=b=c,由三邊相等判定 ABC是等邊三角形.7. (2015秋？鄂托克旗校級(jí)期末)計(jì)算：12- 22+32-42+52- 62十 1002+1012=5151.【分析】通過觀察，原式變?yōu)?+ (32- 22) + (52- 42) + (1012- 1002),進(jìn)一 步運(yùn)用高斯求和公式即可解決.【解答】解：12 22+32 42+52 62+ 1002+1012=1+ (32 22) + (52- 42) + ( 1012

19、- 1002)=1+ (3+2) + (5+4) + (7+6) + (101+100)=(1+101) X 101+2更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料=5151.故答案為：5151.【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用，分組分解，利用平方差公式解決問題.8. (2015秋？樂至縣期末)定義運(yùn)算ab= (1-a) b,下面給出了關(guān)于這種運(yùn) 算的四個(gè)結(jié)論：2* ( - 2) =3 a*b=b*a若 a+b=0,則(a*a) + (b*b) =2ab若 ab=0,則 a=1 或 b=0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是(填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)).【分析】根據(jù)題中的新定義計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷.【解答】解：2

20、* (-2) = (1-2) X (-2) =2,本選項(xiàng)錯(cuò)誤；a*b= (1-a) b, ba= (1-b) a,故a*b不一定等于b*a,本選項(xiàng)錯(cuò)誤；若 a+b=0,貝 ( aa) + (bb) = (1 a) a+ (1b) b=a- a2+b- b2=- a2-b2= - 2a2=2ab,本選項(xiàng)正確；若ab=0,即(1 - a) b=0,則a=1或b=0,本選項(xiàng)正確，其中正確的有.故答案為.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新 定義是解本題的關(guān)鍵.9. (2015 春？張掖校級(jí)期末)如果 1+a+a2+a3=0,代數(shù)式 a+a2+a3+a4+a5 +a6+

21、a7+a8= 0【分析】4項(xiàng)為一組，分成2組，再進(jìn)一步分解因式求得答案即可.【解答】解：= 1+a+a2+a3=0,更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料a+a2+a3+a4+a5+a6+a7 +a8,=a (1+a+a2+a3) +a5 (1+a+a2+a3),=0+0,=0.故答案是：0.【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用因式分解法求代數(shù)式的值，注意合理分組解決問題.10. (2015春？昆山市期末)若多項(xiàng)式x2- 6x- b可化為(x+a) 2- 1,則b的 值是 -8 .【分析】利用配方法進(jìn)而將原式變形得出即可.【解答】 解：x2 - 6x- b=(x3) 2 - 9- b= (x+a) 2- 1,a=- 3,

22、- 9- b= - 1,解得：a= - 3, b= - 8.故答案為：-8.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)題意正確配方是解題關(guān)鍵.2 .解答題(共20小題)11.已知n為整數(shù)，試說明(n+7) 2 - (n-3) 2的值一定能被20整除.【分析】用平方差公式展開(n+7) 2- (n-3) 2,看因式中有沒有20即可.【解答】 解：(n+7) 2 (n-3) 2= (n+7+n3) (n+7- n+3) =20 (n+2),. (n+7) 2 - (n-3) 2的值一定能被20整除.【點(diǎn)評(píng)】主要考查利用平方差公式分解因式.公式：a2-b2= (a+b) (a-b).12. (2016

23、秋？農(nóng)安縣校級(jí)期末)因式分解：4x2y- 4xy+y.【分析】先提取公因式y(tǒng),再對余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解.【解答】解：4x2y - 4xy+y更多精品文檔學(xué)習(xí) 好資料=y (4x2 - 4x+1)=y (2x- 1) 2.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止13 ( 2015 秋 ?成都校級(jí)期末)因式分解(1) a3 - ab2(2) (x-y) 2+4xy.【分析】(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可；( 2)原式利用完全平方公式分解即可【解答】解：(1)

24、原式二a (a2b2) =a (a+b) (ab);(3) 原式=* - 2xy+y2+4xy=*+2xy+y2= (x+y) 2.【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵14 ( 2015 春 ?甘肅校級(jí)期末)先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若 m2+2mn+2n26n+9=0,求 m和 n 的值.解：: m2+2mn+2n2 6n+9=0m2+2mn+n2+n2- 6n+9=0(m+n) 2+ (n - 3) 2=0 m+n=0, n 3=0 .m= -3, n=3問題：(1)若 x2+2y2 2xy+4y+4=0,求 xy 的值.(2)已

25、知AABC的三邊長a, b, c都是正整數(shù)，且滿足 a2+b2-6a-6b+18+| 3學(xué)習(xí)-好資料-c| =0,請問ABC是怎樣形狀的三角形？【分析】(1)首先把 x2+2y2 2xy+4y+4=0,配方彳4至U ( x-y) 2+ (y+2) 2=0, 再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到x=y=-2,代入求得數(shù)值即可；(2)先把 a2+b2 6a 6b+18+|3 c| =0,配方彳4至U ( a- 3) 2+ (b-3) 2+|3 一c|=0,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a=b=c=3,得出三角形的形狀即可.【解答】解：(1)x2+2y2 - 2xy+4y+4=0x2+y2 - 2xy+y2+4y+4=0,

26、(x-y) 2+ (y+2) 2=0x=y= 2(2) v a2+b2- 6a - 6b+18+| 3- c| =0,a2 - 6a+9+b2 - 6b+9+| 3 - c| =0,(a-3) 2+ (b-3) 2+|3-c| =0 a=b=c=3三角形ABC是等邊三角形.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用：通過配方，把已知條件變形為幾個(gè)非負(fù)數(shù) 的和的形式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到幾個(gè)等量關(guān)系， 建立方程求得數(shù)值解 決問題.15. (2015秋？太和縣期末)如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差， 那么稱這個(gè)正整數(shù)為 和諧數(shù)”.如4=22 - 02, 12=42-22, 20=62 - 42,

27、因此4, 12, 20這三個(gè)數(shù)都是和諧數(shù).(1) 36和2016這兩個(gè)數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k (其中k取非負(fù)整數(shù))，由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù) 構(gòu)造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料(3)介于1到200之間的所有 和諧數(shù)”之和為2500【分析】(1)禾1J用36=102- 82; 2016=5052-5032說明36是 和諧數(shù)”，2016 不是和諧數(shù)”；(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2n, 2n+2 (n為自然數(shù)),則和諧數(shù)”42n+2) 2- (2n) 2,利用平方差公式展開得到(2n+2+2n) (2n+2-2n) =4 (2n+1),然后利用整 除性

28、可說明 和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù)；(3)介于1到200之間的所有 和諧數(shù)”中，最小的為：22 - 02=4,最大的為： 502 482=196,將它們?nèi)看醭霾浑y求出他們的和.【解答】解：(1) 36是 和諧數(shù)”，2016不是 和諧數(shù)”.理由如下：36=102- 82; 2016=5052- 5032;(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k (n為自然數(shù))，V (2k+2) 2- (2k) 2= (2k+2+2k) (2k+2-2k)=(4k+2) x 2=4 (2k+1),4 (2k+1)能被4整除,和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù)；(3)介于1至IJ 200之間的所有 和諧數(shù)”之和，S= (22 - 0

29、2) + (42 22) + (62 42) + (502-482) =502=2500.故答案是：2500.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解把所求的代數(shù)式進(jìn)行變形， 從而達(dá)到使計(jì)算簡化.16. (2015春?興化市校級(jí)期末)如圖1,有若干張邊長為a的小正方形、長 為b寬為a的長方形以及邊長為b的大正方形的紙片.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料圉1圖2（1）如果現(xiàn)有小正方形1張，大正方形2張，長方形3張，請你將它們 拼成一個(gè)大長方形 （在圖2虛線框中畫出圖形），并運(yùn)用面積之間的關(guān)系，將 多項(xiàng)式a2+3ab+2b2分解因式.（2）已知小正方形與大正方形的面積之和為 169,長方形的周長為3

30、4, 求長方形的面積.（3）現(xiàn)有三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張， 把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接），求可以拼成多少種邊長不同的正方形.【分析】（1）根據(jù)小正方形1張，大正方形2張，長方形3張，直接畫 出圖形，利用圖形分解因式即可；（2）由長方形的周長為34,得出a+b=17,由題意可知：小正方形與大正 方形的面積之和為a2+b2=169,將a+b=17兩邊同時(shí)平方，可求得ab的值，從 而可求得長方形的面積；（3）設(shè)正方形的邊長為（na+mb）,其中（n、m為正整數(shù)）由完全平方公式 可知：（na+mb） 2=n2a2+2nmab+m2b2

31、,因?yàn)楝F(xiàn)有三種紙片各 8張，n2<8, m2<8, 2mn< 8 （n、m為正整數(shù)）從而可知 n02, m<2,從而可得 出答案.【解答】解：（1）如圖：更多精品文檔（2） .長方形的周長為34, a+b=17.,小正方形與大正方形的面積之和為169, a2+b2=169.將a+b=17兩邊同時(shí)平方得：（a+b） 2=172,整理得：a2+2ab+b2=289, .-2ab=289- 169,ab=60.，長方形的面積為60.（3）設(shè)正方形的邊長為（na+mb）,其中（n、m為正整數(shù)）正方形的面積=（na+mb） 2=n2a2+2nmab+m2b2.現(xiàn)有三種紙片各8張，

32、n2<8, m2<8, 2mn<8 （n、m 為正整數(shù)）n<2, m<2.共有以下四種情況；n=1, m=1,正方形的邊長為a+b;n=1, m=2,正方形的邊長為a+2b;n=2, m=1,正方形的邊長為2a+b;n=2, m=2,正方形的邊長為2a+2b.【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解的運(yùn)用，要注意結(jié)合圖形解決問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)習(xí)-好資料靈活運(yùn)用完全平方公式.17. (2014秋？萊城區(qū)校級(jí)期中)(1)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個(gè)新的長方形，如圖2.口匚mi更多精品文檔用兩種不同的方法，計(jì)算圖2中長方形的面積；由此，你可以得

33、出的一個(gè)等式為：a2+2a+1=(a+1) 2 .(2)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖 3所示.請你用拼圖等方法推出一個(gè)完全平方公式，畫出你的拼圖；請你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫出你的拼圖.【分析】(1)要能根據(jù)所給拼圖運(yùn)用不同的計(jì)算面積的方法，來推導(dǎo)公式;(2)要能根據(jù)等式畫出合適的拼圖.【解答】解：(1)長方形的面積=a2+2a+1 ；長方形的面積=(a+1) 2；a2+2a+1= (a+1) 2；(2)如圖，可推導(dǎo)出(a+b) 2=a2+2ab+b2;2a2+5ab+2b2= (2a+b) (a+2b).【點(diǎn)評(píng)】本題考查運(yùn)用正方形或長方形的面積計(jì)算推導(dǎo)相關(guān)

34、的一些等式；運(yùn)用圖形的面積計(jì)算的不同方法得到多項(xiàng)式的因式分解.學(xué)習(xí)-好資料18. (2013秋？海淀區(qū)校級(jí)期末)已知 a+b=1, ab=- 1,設(shè) si=a+b, S2=a2+b ;( a2+b2) (a+b) =a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab (a+b),S3=ai.3X 1=a3+b3- 1, . a3+b3=4,即 S3=4; S4= (a2+b2) 2 - 2 (ab) 2=7,+b3,，Sn=aTl+bn(1 )計(jì)算S2 ；(2)請閱讀下面計(jì)算S3的過程：a S =，十遍 +(儲(chǔ)曰一/+S% 杪=(口' +力)+。= +白謫-07+1切=d4占工»-

35、白=+F)-nH+與.因?yàn)?a+b=1, ab=- 1,所以 S3=a3+b3= (a+b) (a2+b2) - ab (a+b) =1xa (1) =s?+1= 4你讀懂了嗎？請你先填空完成(2)中S3的計(jì)算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計(jì)算S4.(3)試寫出Sn 2, Sn-1, Sn三者之間的關(guān)系式；(4)根據(jù)(3)得出的結(jié)論，計(jì)算S3.【分析】(1) (2)利用完全平方公式進(jìn)行化簡，然后代入 a+b, ab的值，即可 推出結(jié)論；(3)根據(jù)(1)所推出的結(jié)論，即可推出sn 2+sn 1=sn；(4)根據(jù)(3)的結(jié)論，即可推出a二 S4=7;+b6=S=&+8=2&+9.【解答】解

36、：(1) S?=a2+b2= (a+b) 2-2ab=3;學(xué)習(xí) 好資料(3) .w=3, S3=4, Sf7,.二 S2+S3=Si,§2+1=$；(3) V Sn 2+Sn 1=S1 , &=3, Ss=4, 8=7,.二 S5=4+7=11, S6=7+11=18.【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查整式的混合運(yùn)算、完全平方公式的運(yùn)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意才t出S2=3, S3=4, 8=7,分析歸納出規(guī)律：Sn-2+S-i=$.19. (2013春？重慶校級(jí)期末)(1)利用因式分解簡算：9.82+0.4X9.8+0.04 (2)分解因式：4a (a- 1) 2 (1 - a)【分析】 (

37、 1)利用完全平方公式因式分解計(jì)算即可；( 2)先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可【解答】解：(1)原式=9.82+2X0.2X9.8+0.22=( 9.8+0.2) 2=100；(2) 4a (a- 1) 2- (1 - a)=(a- 1) (4a2-4a+1)=(a- 1) (2a- 1) 2.【點(diǎn)評(píng)】 此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用，掌握平方差公式和完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵20. (2013春？惠山區(qū)校級(jí)期末)閱讀材料：若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m、 n 的值解：m2- 2mn+2n2- 8n+16=0,(m2 2mn+n2) + (n2 8n+16) =

38、0更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料(m-n) 2+ (n-4) 2=0,( m - n) 2=0, (n-4) 2=0, . n=4, m=4.根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0,求 x y 的值.(2)已知 ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足 a2+b2- 6a-8b+25=0, 求 ABC的最大邊c的值.(3)已知 a - b=4, ab+c26c+13=0,貝 a - b+c= 7 .【分析】(1)將多項(xiàng)式第三項(xiàng)分項(xiàng)后，結(jié)合并利用完全平方公式化簡， 根據(jù)兩 個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0,兩非負(fù)數(shù)分別為0求出x與y的值，即可求出x-y的值;(2)將已知等式25

39、分為9+16,重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡，根據(jù) 兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0,兩非負(fù)數(shù)分別為0求出a與b的值，根據(jù)邊長為正整數(shù) 且三角形三邊關(guān)系即可求出c的長；(3)由a-b=4,得到a=b+4,代入已知的等式中重新結(jié)合后，利用完全平方 公式化簡，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為 0,兩非負(fù)數(shù)分別為0求出b與c的值，進(jìn) 而求出a的值，即可求出a-b+c的值.【解答】解：(1) , x2 +2xy+2y2+2y+1=0(x2+2xy+y2) + (y2+2y+1) =0(x+y) 2+ (y+1) 2=0. .x+y=0 y+1=0解得 x=1, y=- 1x - y=2;(2) va2+b2-6a-8b+25

40、=0(a2- 6a+9) + (b2-8b+16) =0(a-3) 2+ (b- 4) 2=0 a-3=0, b-4=0解得 a=3, b=4.三角形兩邊之和 > 第三邊更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料 c<a+b, c<3+4；c<7,又c是正整數(shù)，c最大為6;(3) ab=4,即 a=b+4,代入得：(b+4) b+c2- 6c+13=0,整理得：(b2+4b+4) + (c26c+9) = (b+2) 2+ (c-3) 2=0,. b+2=0,且 c-3=0,即 b= - 2, c=3, a=2,貝U a-b+c=2- ( 2) +3=7.故答案為：7.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了

41、因式分解的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方 公式是解本題的關(guān)鍵.21. (2012秋？溫嶺市校級(jí)期末)仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項(xiàng)式x2-4x+m有一個(gè)因式是(x+3),求另一個(gè)因式以及 m 的化解：設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得 x2 4x+m= (x+3) (x+n),貝U x2 4x+m=x2+ (n+3)x+3nn+3= 4m=3n解得：n= - 7, m= - 21丁另一個(gè)因式為(x-7), m的值為-21.問題：(1)若二次三項(xiàng)式x2-5x+6可分解為(x- 2) (x+a),貝U a= - 3 ;(2)若二次三項(xiàng)式2x2+bx-5可分解為(2x-1) (x

42、+5),貝U b= 9 ;(3)仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項(xiàng)式2x2+5x- k有一個(gè)因式是(2x-3),求另一個(gè)因式以及k的值.【分析】(1)將(x-2) (x+a)展開，根據(jù)所給出的二次三項(xiàng)式即可求出a的值；更多精品文檔學(xué)習(xí) 好資料(2) (2x-1) (x+5)展開，可得出一次項(xiàng)的系數(shù)，繼而即可求出b的值；(3)設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得 2x2+5x k= (2x 3) (x+n) =2x2+ (2n3) x- 3n,可知2n-3=5, k=3n,繼而求出n和k的值及另一個(gè)因式.【解答】 解：(1) ;( x 2) (x+a) =x2+ (a 2) x- 2a=* 5x+6

43、,a - 2=- 5, 解得：a=- 3;(2) . (2x- 1) (x+5) =2W+9x-5=2x2+bx- 5,b=9;(3)設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得 2x2+5x k= (2x 3) (x+n) =2x2+ (2n3) x- 3n,貝 2n 3=5, k=3n,解得：n=4， k=12，故另一個(gè)因式為(x+4) ， k 的值為12故答案為：(1) -3; (2分)(2) 9; (2分)(3)另一個(gè)因式是x+4, k=12 (6 分) 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對題中所給解題思路的理解，同時(shí)要掌握因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同

44、表現(xiàn)形式22 ( 2012 春 ?郯城縣期末)分解因式：(1) 2x2 - x;(2) 16x2- 1;(3) 6xy2- 9x2y - y3;(4) 4+12 (x-y) +9 (x-y) 2.更多精品文檔學(xué)習(xí) 好資料【分析】(1)直接提取公因式x即可；( 2)利用平方差公式進(jìn)行因式分解；(3)先提取公因式-y,再對余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解；(4)把(x-y)看作整體，利用完全平方公式分解因式即可.【解答】解：(1) 2x2 - x=x (2x1);(5) 16x2- 1= (4x+1) (4x- 1);(6) 6xy29x2y y3,=一y (9x2 6xy+y2),=-y (

45、3x-y) 2;(7) 4+12 (x- y) +9 (x-y) 2,=2+3 (x-y) 2,=(3x-3y+2) 2.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了提公因式法與公式法分解因式，是因式分解的常用方法，難點(diǎn)在(3),提取公因式-y后，需要繼續(xù)利用完全平方公式進(jìn)行二次因式分 解23 (2012春？碑林區(qū)校級(jí)期末)已知a, b,c是三角形的三邊，且滿足(a+b+c) 2=3( a2+b2+c2) ，試確定三角形的形狀【分析】 將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題【解答】解：=(a+b+c) 2=3 (a2+b2+c2), a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, =3a2+3b2+3c2,a2+

46、b2 - 2ab+b2+c2 - 2bc+a2+c2 - 2ac=0,即(a-b) 2+ (b-c) 2+ (c- a) 2=0, 更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料 a-b=0, b- c=0, c- a=0,a=b=c,故 ABC為等邊三角形.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷.關(guān)鍵 是將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題.24. (2011秋？北辰區(qū)校級(jí)期末)分解因式(1) 2X4 - 4x2y2+2y4(2) 2a3 - 4a2b+2ab2.【分析】(1)原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；(2)原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可.【解答】解：(

47、1) 2x4 - 4x2y2+2y4=2 (x4 - 2x2y2+y4)=2 (x2 - y2) 2=2 (x+y) 2 (x-y) 2;(3) 2a3 - 4a2b+2ab2=2a (a2 - 2ab+b2)=2a (a- b) 2.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用， 提取公因式后利用公式 進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底.25. (2011秋?蘇州期末)圖是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛 線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖的形狀拼成一個(gè)正方形.(1)圖中的陰影部分的面積為(m-n) 2 ；(2)觀察圖請你寫出三個(gè)代數(shù)式(m+n) 2、(m-n) 2、mn之間的等量關(guān)

48、 更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料系是(m+n) 2 (m-n) 2=4巾口(3)若 x+y=7, xy=10,貝U (x y) 2= 9 .(4)實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示.如圖，它表示了(m+n) (2m+n) =2m2+3mn+n2 .m n(5)試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示(m+n) (m+3n) =m2+4mn+3n2. 【分析】(1)可直接用正方形的面積公式得到.(2)掌握完全平方公式，并掌握和與差的區(qū)別.(3)此題可參照第(2)題.(4)可利用各部分面積和=長方形面積列出恒等式.(5)可參照第(4)題畫圖.【解答】解：(1)陰影部分的邊長為(m-n),陰影部分的

49、面積為(m-n) 2；(2) (m+n) 2 (m-n) 2=4mn；(3) (x-y) 2= (x+y) 2- 4xy=72- 40=9;(4) (m+n) (2m+n) =2m2+3mn+n2；(5)答案不唯一：例如：更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是認(rèn)真觀察題中給出的圖示, 用不同的形式去表示面積，熟練掌握完全平方公式，并能進(jìn)行變形.26. （2009秋？海淀區(qū)期末）已知 a、b、c滿足 a- b=8, ab+c?+16=0,求 2a+b+c 的化【分析】本題乍看下無法代數(shù)求值，也無法進(jìn)行因式分解；但是將已知的兩個(gè) 式子進(jìn)行適當(dāng)變形后，即可找到本題的突破

50、口.由 a-b=8可得a=b+8；將其 代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0;止匕時(shí)可發(fā)現(xiàn)b2+8b+16正好符合完全平方 公式，因此可用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出 b、c的值，進(jìn)而可求得a的值；然后代值 運(yùn)算即可.【解答】解：因?yàn)閍 - b=8,所以a=b+8. （1分）又 ab+c2+16=0,所以（b+8） b+c2+16=0. （2分）即（b+4） 2+c2=0.又（b+4） 2>0, c2>0,則 b= - 4, c=0. （4 分）所以a=4, （5分）所以 2a+b+c=4. （6 分）【點(diǎn)評(píng)】本題既考查了對因式分解方法的掌握， 又考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代更多

51、精品文檔學(xué)習(xí) 好資料數(shù)式求值的方法27. （ 2010 春 ?北京期末）已知：一個(gè)長方體的長、寬、高分別為正整數(shù)a、 b、c,且?II足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,求：這個(gè)長方體的體積【分析】我們可先將a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可變?yōu)椋╝+1） （b+1） （c+1）-1,就得（1+b） （c+1） （a+1） =2007,由于 a、b、c均為正整數(shù)，所以（a+1）、 （b+1）、（c+1）也為正整數(shù)，而2007只可分解為3X3X223,可得（a+1）、（b+1）、 （c+1）的值分別為3、3、223,所以a、b、c值為2、2、222.就可求出長方 體體積abc 了.【解答】 解：原式可化為：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1 - 1=2006,a （1+b） +c （1+b） +ac （1+b） + （1+b） - 1=2006,（ 1+b） （ a+c+ac） +（ 1+b） =2007，（ 1+b） （ c+1+a+ac） =2007，（ 1+b） （ c+1） （ a+1） =2007，2007只能分解為3X3X223（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分別為 3、3、223.a、b、c也只能分別為2、2、222長方體的體積abc=888.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了三次的分解因式，做題