1、第11章可靠性設計可靠性設計的基本概念可靠性設計的基本概念失效曲線和分布函數失效曲線和分布函數可靠性設計方法可靠性設計方法可靠性設計實例可靠性設計實例 第11章可靠性設計第一節第一節 可靠性設計的基本概念可靠性設計的基本概念一個數值是“規定時間”內，它具有一定壽命的數值概念，不能認為壽命越長越好，要有一個最經濟有效的使用壽命。另一個數值是“規定功能”，它說的是保持功能參數在一定界限值之內的能力，不能任意擴大界限值的范圍。可靠性是產品在規定條件下和規定時間內，完成規定功能的能力。這其中的兩個規定具有數值的概念。可靠性第11章可靠性設計第一節第一節 可靠性設計的基本概念可靠性設計的基本概念可靠性的

2、可靠性的數值標準數值標準可靠度可靠度1累積失效概率累積失效概率或不可靠度或不可靠度2平均壽命平均壽命3重要度重要度維修度維修度567有效度有效度4有效壽命有效壽命可靠性第11章可靠性設計第一節第一節 可靠性設計的基本概念可靠性設計的基本概念可靠度r (t )和累積失效概率f (t ) 1r (t )產品的可靠度是時間的函數，用概率來表示。如果產品的壽命為 （隨機變量），則產品在時刻的可靠度 為這個隨機事件的概率，即t( )()r t tt( )()0r tp ttt，第11章可靠性設計第一節第一節 可靠性設計的基本概念可靠性設計的基本概念2失效密度f (t ) 可靠度r (t )和累積失效概率

3、f (t ) 失效密度 的觀測值為產品在 到 的時間間隔內，單位時間內的失效頻率，即式中， 為個產品工作到時刻的失效數； 為時間間隔內產品的失效數。( )f ttttfff()( )( )( )nttntntf tn tn t f( )n t( )fnt當當 ， 時，產品在時，產品在 時刻的失效密度時刻的失效密度 ，即概，即概率密度函數為率密度函數為0t n ( )f ttff0( )d( )d ( )( )limddxtn tn tf tf tn tn tt 顯然，隨著 時間的增大而增大，隨著 時間的增大而減小 0( )( )dtf tf tt( )1( )( )dtr tf tf tt (

4、 )f t( )r t第11章可靠性設計第一節第一節 可靠性設計的基本概念可靠性設計的基本概念3失效率(t )失效率又稱為故障率，表示當產品已工作到時刻的條件下，在后續階段的單位時間內發生失效的條件概率（取 的極限值）。其數學表達式為 0t 0(|)( )limtp tttt tttt 0( ) d( )etttrt稱為可靠度函數的一般方程，當(t )為恒定值時，就是我們常用到的指數分布可靠度函數表達式 可靠度r (t )和累積失效概率f (t ) 第11章可靠性設計第一節第一節 可靠性設計的基本概念可靠性設計的基本概念4平均壽命m 平均壽命m指的是一批類型、規格相同的產品從投入運行到發生失效

5、（或故障）的平均工作時間。 對于不可修復的產品，平均壽命是指從開始使用到發生失效的平均時間，用mttf（mean time to failure）表示，對可修復的產品是相鄰兩次故障間工作時間的平均值，用mtbf（mean time between failure）表示。若只考慮首次故障，則指的是產品從開始使用到第一次發生故障的平均時間，用mttff（mean time to first failure）表示。對可修復產品，人們不僅關心mtbf，有時更關心mttff。00d ( )dd ( )dr tmttt r tt0( )dmr tt平均壽命的幾何意義是：可靠度曲線與時間軸所夾的面積 可靠度

6、r (t )和累積失效概率f (t ) 第11章可靠性設計第二節第二節 失效曲線與分布函數失效曲線與分布函數失效曲線電子產品的失效曲線電子產品的失效曲線1電子產品的失效率曲線如右圖所示。這個曲線常被形象地稱為浴盆曲線，該曲線分為三段。早期失效期：一般為產品試車跑合階段。在這一階段中，失效率由開始很高的數值急劇地降到某一穩定的數值。 正常運行期：又稱為有效壽命期。在此階段內如果發生失效，一般都是由偶然的原因而引起的，因此這一階段也稱為偶然失效期。耗損失效期：出現在產品使用的后期。其特點是失效率隨工作時間的增加而上升。 第11章可靠性設計第二節第二節 失效曲線與分布函數失效曲線與分布函數2機械零件

7、的失效率曲線機械零件的失效率曲線 典型的機械零件失效率曲線 機械零件的失效率曲線不同于機械零件的失效率曲線不同于電子產品。一般情況下，它沒電子產品。一般情況下，它沒有電子產品那么長的有效壽命有電子產品那么長的有效壽命期，而且失效率不等于常數。期，而且失效率不等于常數。因為機械零件主要失效形式如因為機械零件主要失效形式如疲勞、磨損、腐蝕及蠕變等，疲勞、磨損、腐蝕及蠕變等，都屬于典型的損傷累積失效，都屬于典型的損傷累積失效，而且影響失效的偶然因素很復而且影響失效的偶然因素很復雜，所以，隨著時間的推移，雜，所以，隨著時間的推移，失效率是遞增的。失效率是遞增的。失效曲線第11章可靠性設計第二節第二節

8、失效曲線與分布函數失效曲線與分布函數分布函數離散型隨機變量的分布離散型隨機變量的分布二項分布二項分布泊松分布泊松分布連續型隨機變量的分布連續型隨機變量的分布指數分布指數分布正態分布正態分布對數正態分布對數正態分布韋布爾分布韋布爾分布第11章可靠性設計第二節第二節 失效曲線與分布函數失效曲線與分布函數離散型隨機變量的分布1二項分布適用于描述只有兩種狀態的事物，如檢驗產品是合格還是不二項分布適用于描述只有兩種狀態的事物，如檢驗產品是合格還是不合格，判定一個產品或系統是正常工作還是失效等。合格，判定一個產品或系統是正常工作還是失效等。對于具有相同可靠度的對于具有相同可靠度的n臺設備：臺設備：可分解為

9、可分解為()1nrf122!(2)!2!nnnnrnrfrfn!1!()!n rrnnrffr nr由此可以推算出，二項分布的可靠度函數為由此可以推算出，二項分布的可靠度函數為1( )riniinir rcrf對照書例對照書例11-2，進，進一步理解一步理解第11章可靠性設計第二節第二節 失效曲線與分布函數失效曲線與分布函數2在可靠性工程中，常會遇到試驗次數在可靠性工程中，常會遇到試驗次數n很大，每次試驗很大，每次試驗失效概率失效概率f很小，而很小，而nf為常數的情況。這時若仍然用二為常數的情況。這時若仍然用二項分布進行計算是非常復雜的，采用泊松分布可使計算項分布進行計算是非常復雜的，采用泊松

10、分布可使計算得以簡化。這樣的情況下，得以簡化。這樣的情況下，n次試驗出現次試驗出現r次失效的概率次失效的概率將接近一個極限，這個極限稱為泊松分布，其表達式為將接近一個極限，這個極限稱為泊松分布，其表達式為 ()()e!rn fn fprrnft 為平均失效數，這里為平均失效數，這里 為失效率，為時間，為失效率，為時間，因此乘積因此乘積 為在時間為在時間 內發生的平均失效數。內發生的平均失效數。相應地，泊松分布的可靠度函數為：相應地，泊松分布的可靠度函數為：ttt1()( )e!rinfinfr ri泊松分布是二項分布的近似表達式泊松分布是二項分布的近似表達式 。離散型隨機變量的分布第11章可靠

11、性設計第二節第二節 失效曲線與分布函數失效曲線與分布函數連續型隨機變量的分布1指數分布是可靠性工程中最常用的分布類型之一。指數分布是可靠性工程中最常用的分布類型之一。當產品工作進入浴盆曲線的偶然失效期后，失效率當產品工作進入浴盆曲線的偶然失效期后，失效率接近為常數，此時，可靠度函數、失效概率函數、接近為常數，此時，可靠度函數、失效概率函數、失效概率密度函數都是指數分布。相應地各函數的失效概率密度函數都是指數分布。相應地各函數的表達式為：表達式為： 0( )exp( )de( )e( )1( )1ettttr tttf tf tr t00011( )de de d()ttmrt ttt此時產品的

12、平均壽命此時產品的平均壽命m為：為：第11章可靠性設計第二節第二節 失效曲線與分布函數失效曲線與分布函數連續型隨機變量的分布2正態分布（也稱為高斯分布）是數理統計中的經典分布，應用正態分布（也稱為高斯分布）是數理統計中的經典分布，應用范圍極廣，幾乎滲透到每一個工程技術領域。范圍極廣，幾乎滲透到每一個工程技術領域。設連續型隨機變量的分布密度函數為設連續型隨機變量的分布密度函數為 211( )exp22xfxx 于是，失效概率和可靠度分別為于是，失效概率和可靠度分別為 211expd22( )xxxfx2111expd22( )( )xxxrfxx 第11章可靠性設計第二節第二節 失效曲線與分布函

13、數失效曲線與分布函數連續型隨機變量的分布正態分布的均值正態分布的均值 確定了曲線的位置，標準差確定了曲線的位置，標準差 確定了曲線的形確定了曲線的形狀，如圖所示。狀，如圖所示。 曲線與橫坐標圍成的面積恒等于曲線與橫坐標圍成的面積恒等于1 ( )f x(0,1)n標準正態分布標準正態分布 為為0， 為為1。其分布如。其分布如圖右圖所示。圖右圖所示。正態分布曲線 標準正態分布 對照書例對照書例11-3，重溫，重溫一下！一下！第11章可靠性設計第二節第二節 失效曲線與分布函數失效曲線與分布函數連續型隨機變量的分布3若隨機變量本身并不服從正態分布，但對其取對數后，若隨機變量本身并不服從正態分布，但對其

14、取對數后， 服從正服從正態分布，則稱態分布，則稱x為服從對數正態分布的隨機變量。對數正態分布常為服從對數正態分布的隨機變量。對數正態分布常用來描述某些非負的隨機變量（如壽命）的分布規律。用來描述某些非負的隨機變量（如壽命）的分布規律。ln x211 ln( )exp,022xf xxx2011 ln( )expd22xxf xxx分別是分布密度函數和分布函數。分別是分布密度函數和分布函數。也可利用下式將其轉化為標準正也可利用下式將其轉化為標準正態分布。態分布。222lnln22011ln( )ede d( )22xxzxxf xxzzxxx對數正態分布的密度函數和失效率函數曲線 對數正態分布實

15、際上對數正態分布實際上是一種偏態分布，能是一種偏態分布，能較好地符合一般零部較好地符合一般零部件失效過程的時間分件失效過程的時間分布。布。 第11章可靠性設計第二節第二節 失效曲線與分布函數失效曲線與分布函數連續型隨機變量的分布3 韋布爾分布是瑞典人韋布爾構造的一種分布函數。凡屬于局部失效（如某一最薄弱環節失效）而導致整體機能失效的模型（串聯模型），一般都能采用這種分布函數來描述，因此在可靠性工程中應用十分廣泛。韋布爾分布的分布函數 和概率密度函數 分別為 ( )f t( )( )f tf t當時 ， 。韋布爾分布是具有三個參數的連續分布。其中， 稱為形狀參數， 稱為位置參數， 稱為尺度參數。

16、tr( )( )0f tf tmr第11章可靠性設計第三節第三節 可靠性設計方法可靠性設計方法概率設計常規的機械設計方法常規的機械設計方法在常規的機械設計中，通常采用安全系數法或許用應力法。隨著產品日趨復雜，對可靠性要求越來越高，常規的設計方法在實際運用便會遇到一些問題：首先，大量的實驗表明，現實的設計變量如負荷、極限應力以及材料硬度、尺寸等大都是隨機變量，都呈現或大或小的離散性，都應該依概率取值。不考慮這一點，設計出來的結果難免與實際脫節。其次，常規設計方法的關鍵是選取安全系數。在選取安全系數時，常常沒有確切的選擇尺度，其結果是使設計極易受局部經驗的影響。實際上，不考慮變量離散性的安全系數是

17、不能正確反映設計的安全裕度的。為使設計更符合實際，有必要在常規設計的基礎上進行概率設計。第11章可靠性設計第三節第三節 可靠性設計方法可靠性設計方法概率設計概率設計的基本觀點概率設計的基本觀點1）認為零件的強度是服從于概率密度為）認為零件的強度是服從于概率密度為 的隨機變量，加在零件上的隨機變量，加在零件上的應力是服從概率密度為的應力是服從概率密度為 的隨機變量。的隨機變量。r( )f rs( )f s( )()r tp rs2）零件的強度隨時間推移而退化，即強）零件的強度隨時間推移而退化，即強度的均值隨時間的推移而減小，而均方差度的均值隨時間的推移而減小，而均方差隨時間推移而增大，如圖所示。

18、加在零件隨時間推移而增大，如圖所示。加在零件上的應力對時間而言是穩態的，即其概率上的應力對時間而言是穩態的，即其概率密度上不隨時間推移而變化。密度上不隨時間推移而變化。3）當零件強度大于加在零件上的應力時，）當零件強度大于加在零件上的應力時，零件是可靠的，其可靠度表示為零件是可靠的，其可靠度表示為第11章可靠性設計第三節第三節 可靠性設計方法可靠性設計方法概率設計常規設計與概率設計的不同常規設計與概率設計的不同u設計變量的性質不同。常規設計的設計變量是確定數值的單值變量，而概率設計中所涉及的變量為具有多值的隨機變量，要以統計數據為基礎，它們都服從一定的概率分布。u設計變量運算方法不同。常規設計

19、中變量運算為實數域的代數運算，得到的是確定的單值實數，但在可靠性設計中，隨機的設計變量間的運算要用概率及其分布函數的數字特征（均值和標準差）的概率運算法則進行。u設計準則的含義不同。常規設計中，判斷一個零件是否安全，應用安全系數來判斷，在計算中未考慮影響零件應力和強度的許多非確定性因素。而在概率設計中，綜合考慮了各個設計變量的統計分布特征，定量地用概率表達了所設計產品的可靠程度，因而更能反映實際情況，更科學合理。第11章可靠性設計第三節第三節 可靠性設計方法可靠性設計方法概率設計 第11章可靠性設計第三節第三節 可靠性設計方法可靠性設計方法應力-強度干涉模型 概率設計所依據的模型主要是應力-強

20、度干涉模型。當應力超過強度時就會發生失效。機械產品的“可靠度”實質上就是零件在給定的運行條件下抵抗失效的能力，也就是“應力”與“強度”相互作用的結果，或者說是“應力”與“強度”干涉的結果。令應力和強度的概率密度函數分別為和。一般情況下，應力和強度是相互獨立的隨機變量，且在機械設計中應力和強度具有相同的量綱，因此，可以把和表示在同一坐標系中。由統計分布函數的性質可知，機械工程中常用的分布函數的概率密度曲線都是以橫坐標為漸進線的，這樣繪于同一坐標系中的兩條概率密度曲線和必定有相交的區域，該區域稱為干涉區，這個區域表示產品可能發生失效。圖為應力-強度分布的干涉模型。第11章可靠性設計第三節第三節 可

21、靠性設計方法可靠性設計方法可靠度的確定方法 從干涉模型可以看到，要確定可靠度或失效概率必須研究一個隨機變量超過另一個隨機變量的概率，其推導過程如下。由應力-強度分布的干涉模型知，應力隨機變量s落在某一假定應力 附近一微區間 內的事件發生的概率100000dddd( )( )d2222sssssssp ep sssf sf sf ss 0sds強度隨機變量r大于 的事件發生的概率0s020r()()( )dsp ep rsf rr兩個事件同時發生的概率01212s0r()() ()()d( )dsp eep e p ef ssf rr在已知強度和應力的分布密度函數后，計算零件可靠度的一般方程式

22、sr()( )( )ddsrp rsf sf rrs第11章可靠性設計第三節第三節 可靠性設計方法可靠性設計方法可靠度的確定方法 令強度差：y=r-s，由于r、s是隨機變量，所以y也是隨機變量。零件的失效概率顯然等于隨機變量y小于零的概率。 當r、s服從正態分布時，其差y=r-s也服從正態分布。強度差的均值和均方差為22yrsyrs由此可推知零件的失效概率 2011(0)expd22yyyyp yy將隨機變量y標準化，令 、 ，可推知 yyytyryz21(0)()expd22rzrtp yp tzt 第11章可靠性設計第三節第三節 可靠性設計方法可靠性設計方法求得零件強度的失效概率后，零件的

23、強度可靠性通常用可靠度r來度量。根據正態分布的對稱性，r按下式計算22111(0)expdexpd2222rrzzttrp ytt 上式將強度、應力、可靠度三者聯系起來，故稱它為聯結方程； 稱為聯結系數，可表示為22rsrrszrz在已知 的條件下，利用下式計算 ，根據 值查正態分布表，即可得到可靠度值，即,rsrs rzrz(0)()rrpyz 第11章可靠性設計第四節第四節 可靠性設計實例可靠性設計實例 例題今要設計一工字鋼簡支梁，已知參數如下。跨距： ， ， ；梁上受力點至梁一端支承的距離： ， ；工字鋼強度： 試用可靠性設計方法，在保證 的條件下確定工字鋼的尺寸 30483.175 m

24、ml 3048 mml 1.058 mml1828.8 3.175 mma1828.3 m m ,1.058 m maa27011.5 n,890 npp1171.2 mpa,32.794 mpa0.99899r 工字鋼截面第11章可靠性設計第四節第四節 可靠性設計實例可靠性設計實例解：解：根據h的公差要求，取 ，則 ，按以下步驟進行：（1）給定（2）求（3）按 值正態分布函數表，求得（4）強度分布參數已給定： （5）列出應力、強度表達式： 0.01hh3() 0.0822i ch3()3()0.002466hi ci ch0.99899r10.00101fr f3.09rzu 1171.2 mpa,32.794 mpa222()2()2()()smi cmsi cmi ci c第11章可靠性設計第四節第四節 可靠性設計實例可靠性設計實例（6）計算工作應力：梁的最大彎矩發生在載荷p的作用點處，其值為11828.827011.5 1828.8 130