1、初一數學培優專題講義一有理數及其運算一、有理數的基本概念：(一)常考點，易錯點：1. 字母可以表示任意有理數，不能說 a 一定是正數，-a也不一定是負數2. 相反數等于本身的數是 ;平方等于本身的數是 ;立方等于本身的數是 等于本身的數是。3. 互為相反數的兩個數的絕對值相等。若| x|=| |，則x=;若|x|=| 4|，則x=_2 若-|x|=-|2| ，那么 x=；若-|-x|=-|2| ，那么 x=4. 互為相反數的兩個數的平方相等。如果a2 16，那么a=;若x2=( 2尸，則x=.5注意乘方中括號的作用。(2) 3的底數是 ，結果是 ； 32的底數是 ,是; n 為正整數，則(1)

2、 2n=,( 1)2n+1=_。計算：倒數;結果(1) 一=_;(2)=_;(3) '= _;(4)=_ (5)1 "=6. a的相反數是 ; a+b的相反數是; a-b的相反數是 ; -a+b-c的相反數是變式訓練：若 av b,則 I a-b I =, - I a-b I =(二)絕對值的化簡：7.絕對值即距離，貝Ua 08.絕對值的代數定義用式子可表示為：(體現分類討論的思想)' (a> 0)|a| = * (a= 0 )(av 0 )9絕對值的非負性：(1)若 |a| = 0,則 a;(2)若 |a| = a,貝U a(3)若|a| = a，則 aaa(

3、4),則；( 5) a 0，則|a|a|(6)若 |a|+|b|=0 ，貝V a_且 b _小結：要打開絕對值號，關鍵要確定絕對值號里的數的符號。例 1 . 已知：丨 a 1 | + ( b+1) 2=0,那么(a+b) 2003+a2003+b2003 的值是多少？精選即時練習：1.已知|x|=2 , |y|=3且x-y>0 ,貝U x+y的值為多少?2解方程：|x-5|=8例2.若ab<0,求 -+ +-的值.|a| |b| |ab|例 3. (1)如果 x v 2,那么 |1 - |1+ x|=; 若|m 1|=m 1,則 m1.;若 |m 1|=1 m,則 m1.(2)已知

4、a 3，且aa2例4.有理數a, b, c在數軸上對應點如圖所示，化簡|b+a|+|a+c|+|c-b|1已知a，b，c在數軸上的位置如圖所示，化簡III】-a0 cb|a |c b| |a c|+|b-a|2數a，b在數軸上對應的點如圖所示，是化簡-40-|a+b|-|b-a|+|b|-|a-|a|例 5.若-2< a< 0,化簡 |a+2|+|a-2|即時練習：1.已知x<-3,化簡|3+|2-|1+x|2.若a<0,試化簡2a |3a|3a| a|3.若abcz 0，則曲 而 山的所有可能值為精選例6.若x y 3與x y 1999互為相反數，求的值x y(三)分

5、類討論的思想: 例7.已知a, b互為相反數，c, d互為倒數，且x的絕對值是5,試求 x( a+b cd) + | ( a+b) 4 | + | 3 cd | 的值.2（四）兩個重要的非負數：a 0 :a2>0； aa2 a2例 8.若 2a 1 2 2a b 0,且 c 1 2,求 c a3 b 的值。例9.已知ab2與b1互為相反數，求代數式1111的值ab(a 1)(b1)(a2)(b 2)(a 1999)( b 1999)二、突破有理數的計算湊整優先，同號優先，相反數優先，同分母優 小減大，取負，倒過來減。例10.計算：（1）（1.5)14- 2.7541(52)(2)(6)

6、8(2)32(4)5(3)(6)52(10.21)(2)5(4)526)( 4)(8)(5)16 50 35 (2)4824(7)32 ( 3)2(2)2298)999899（二）利用運算律、裂項、逆向思維等技巧巧算：例11.計算：（巧算）(1)120041200312003120021110031002111111(2)-+ + + + 24816326445例 12.計算：（一4 ）X (3 )x(勺)-x( 13 )513513135（一） 混合運算的幾個優先原則：乘方優先，括號優先, 先，分配律優先。減法要用心：連減取負當加算;例3.卄十十十!1X3 JX5 5X71997X1999例 14. （1）（分組求和）1-2+3-4+ +2001-2002（ 2）（倒序求和）1+3+5+7+99（三）禾U用幕的性質巧算：例/-200