1、第六節第六節 一、近似計算一、近似計算 二、歐拉公式二、歐拉公式函數冪級數展開式的應用函數冪級數展開式的應用 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第九章 一、近似計算一、近似計算mxxm1)1 (2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1()11(x例例1. 計算5240.104 32r8231!254112331!3594116431!451494181181131256)31511(3240459926. 200741. 03的近似值, 精確到282811811131!254134105 . 013431518231!254112331!35941解解: 553243240514)

2、1(331機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )11(432)1ln(432xxxxxx例例2. 計算2ln的近似值 ,使準確到.104解解: 已知)11(432)1ln(432xxxxxx故)1ln()1ln(11lnxxxx5351312xxx令211xx得7533171315131313122ln)11(x,31x于是有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 9431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931. 01131111133113193414102 . 0787321在上述展開式中取前四項, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

3、 說明說明: 在展開式xx11ln中,令121nx53)121(51)121(3112121lnnnnnn得) 1ln( n具此遞推公式可求出任意正整數的對數 . 如53)91(51)91(319122ln25ln6094. 1 ( n為自然數) , 53)121(51)121(311212lnnnnn5351312xxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 753)20(!71)20(!51)20(!312020sin例例3. 利用,!3sin3xxx求9sin誤差. 解解: 先把角度化為弧度9(弧度)52)20(!51r5)2 . 0(120151031!3sin3xxx!55x!77x00

4、0646. 0157080. 03)20(!312020sin誤差不超過 510的近似值 , 并估計91802015643. 0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( 取 例例4. 計算積分xexd21201的近似值, 精確到)56419. 01解解:12xe!) 1(20nxnnn)(xxexd22210 xd 2210!) 1(20nxnnn0!) 1(2nnnxxnd2021.104! 1)(2x!2)(22x!3)(32x0 !) 1(2nnn1221n) 12(n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 !3721!252132111642xdex22102!3721!2521321116

5、42nnnnr22) 12( !1141042102) 12( !nnn則 n 應滿足4nxexd22120則所求積分近似值為欲使截斷誤差5205. 0,4n取機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 計算積分xxxdsin10的近似值, 精確到.104解解: 由于, 1sinlim0 xxx故所給積分不是廣義積分.若定義被積函數在 x = 0 處的值為 1, 則它在積分區間! ) 12() 1(!7!5!31sin2642nxxxxxxnnxxxdsin101!331!551! ) 12() 12() 1(nnn3r00167. 005556. 01上連續, 且有冪級數展開式 :!771

6、4103 . 03528019461. 0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、歐拉二、歐拉(Euler)公式公式)(1nnnviu 則稱 收斂收斂 , 且其和為)(1nnnviu 絕對收斂,1nnu)(1nnnviu 收斂 .,1uunn,1vvnn若nnnviu 1. viu 221nnnvu 收斂,若對復數項級數,22nnnvuu22nnnvuv1nnv絕對收斂則稱 絕對收斂絕對收斂. 由于, 故知 歐拉 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義: 復變量yixz的指數函數為)(!1!2112zznzzenz易證它在整個復平面上絕對收斂 .當 y = 0 時, 它與實指數函數xe當 x

7、= 0 時,nyiyinyiyiyie)(!1)(!31)(!21132nnynyy242! )2() 1(!41!211iycos12153! ) 12() 1(!51!31nnynyyyyi sin的冪級數展式一致.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xixexisincosxixexisincos（歐拉公式）2cosxixieex（也稱歐拉公式）利用歐拉公式可得復數的指數形式rxxyyoyixzyixzsincosirier則ieexxixi2sin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 據此可得ni)sin(cosninsincos(德莫弗公式德莫弗公式)利用冪級數的乘法, 不難驗證2121zzzzeee特別有yixe)sin(cosyiyex),(Ryxyixeyixee )sin(cosyiyexxerxxyyoyixz作業作業 P229 1(2) , (4) ; 2 (2)第六節 目錄 上頁 下頁 返回 結束 歐拉歐拉 (1707 1783)瑞士數學家. 他寫了大量數學經典著作, 如無窮小分析引論 , 微 還寫了大量力學, 幾何學, 變分法教材. 他在工作期間幾乎每年都完成 800 頁創造性的論文. 他的最