1、近世代數課后習題參考答案第一章 基本概念1集合1. BA,但B不是A的真子集，這個情況什么時候才能出現？解？只有在A二B時,才能出現題中說述情況證明 如下當A = B ,但B不是A的真子集，可知凡是屬于 A而a “ B，顯然矛盾；若B A,但B不是A的真子集，可知凡屬于A的元不可能屬于B,故A = B2.假定 A 二 B , A B =?,A n B=?解？此時,A n B=A,這是因為 A n B=A 及由 A B 得 A 二A n B=A,故 A B 二 A,A B B ,及由 A B 得 A BB,故 A B=B,2映射1. A=1,2,3,100：,找一個A A到A的映射.解？此時】（

2、印，a2） = 1a1,a2A2（aa2）F易證12都是A A到A的映射2在你為習題1所找到的映射之下，是不是A的每一個元都是 A A到A的一個元的的象？ 解？容易說明在之下，有A的元不是A A的任何元的象；容易驗證在 2之下，A的每個 元都是A A的象.3代數運算1. A=所有不等于零的偶數.找到一個集合D ,使得普通除法是A A到D的代數運算；是不是找的到這樣的 D ?解?取 D為全體有理數集，易見普通除法是 A A到D的代數運算；同時說明這樣的 D不 只一個.2. A a,b,c/.規定A的兩個不同的代數運算.解？a b ca a b ca b cb b c aacc a bbc4結合律

3、a1. A=所有不等于零的實數.是普通除法:a b這個代數運算適合不適合結合律b解？這個代數運算不適合結合律：1(1 1) 2,1 (1 2)=2,從而(1 1) 2 =1 (1 2).22. A=所有實數. :(a,b) > a 2a b這個代數運算適合不適合結合律解？這個代數運算不適合結合律(ab)c = a2b 2c,a (b c) = a2b 4c(ab)c = a(b c) 除非 c = 0.3. A = a,b,c,由表abca a b cbbcaccab所給的代數運算適合不適合結合律？解？經過27個結合等式后可以得出所給的代數運算適合結合律.5交換律1.A=所有實數. 是普

4、通減法：a七二a - b.這個代數運算適合不適合交換律解？ 一般地a - b = b - a 除非a =b .2. A a,b,c,d,由表cdabaabcdbbdacccabdddcab所給出代數運算適合不適合交換律解？ c d=d, d c=a從而c V =d c 故所給的代數運算不適合交換律6分配律假定：二一是A的兩個代數運算，并且二適合結合律，:，二適合兩個分配律證明（d ： bj 二（d ： b2）二（a2 ： bj 二（a2 ： b）-（a i d）二（a2 ： bj 二（a p）二（a2 ： b2）證?（a bj 二（a b2）二（a2 ： b|）二（a2 ： b2）=（印二 a

5、?） ： bj 二（al 二 a?） ： d=（印二 a2） ： （d 二 b2）= a 佝二 b2）二a2 ： （R 二 p）=（al ： bj 二（a2 ： d）二（a b2）二（a2 ： b2）7映射、變換1. A=所有0的實數, A=所有實數找一個A與A間的意義映射.證 :aa=loga因為a是大于零的實數，所以log a是實數即 a A而a A，而且a = b=log a二log b .因此是A到A的映射.又給了一個 A的任意元a ,一定有一個 A的元a，滿足log a = a，因此是A到A的滿射. a r a = log a b b = l o ®若a=b,貝V log

6、a = log b.即卩a=b=a=b因此 '又是A到A的單射 總之， 是A到A的一一映射.2. A=所有一 0的實數, A=所有實數a,0乞a乞1.找一個A到A的滿射.證 ©:aTa = sina ,容易驗證巾是A到A的滿射.3. 假定是A與A間的一個映射，a是A的一個元.4（A）二?（a）二？若 '是A的一個一一變換，這兩個問題的回答又該是什么？解？（a） =a ,'"a） =a未必有意義；當是A的變換時，T （a）二 a, （a）二 a8 同態1. A=所有實數的同態滿射？x, A的代數運算是普通乘法.以下映射是不是A到A的一個子集A2a)XT

7、 x b)XT 2xc)xt x d)XT x證？ a)顯然A =所有一 0的實數.又由于 xyxy =耳“可知xt x是A到A的同態滿射.b) 由于xy 2xy = (2x)(2y)(除非xy =0)所以x > 2x不是A到A的同態滿 射2 2 2 2c) 由于xy > (xy) =(x) (y),易知x > x是A到A的同態滿射這里A=所有-0的實數.d) 一般來說，-xy =(-x)(-y),:所以x-X不是A到A的同態滿射2假定A和A對于代數運算：和：來說同態，A和A對于代數運算:和：來說同態， 證明 A和A對于代數運算?和:來說同態。證：用1: a； a 表示A到A

8、的同態滿射，'2 a； a 表示A到A的同 態滿射令二 a >2 (a)i,容易驗證是A到A的滿射a 2 (ab)二 2(a： b)=a： b所以是A和A的關于代數運算:匸來說的同態滿射。9同構、自同構1. A= a, b, c，代數運算:-由下表給定abcacc cbccccccc找出所有A的一一變換對于代數運算:來說，這些一一變換是否是A的子同構證：所有A的一-變換有6個M : a >ab-bc c2: a >bb-ac c3 ： abb >cca4: a-cb >ba5 :a >cb >ac >b飛:a-ab >cc >

9、b容易驗證1及2是A的子同構.2. A=所有有理數,找一個A的對于普通加法來說的子同構(映射X x除外)證 :x > 2x,對普通加法來說是 A的一個子同構，驗證這一點是容易的3. A =所有有理數; A的代數運算是普通加法.A丸所有=0的有理數A的代數運算是普通乘法.證明 對于給的代數運算來說，A與A間沒有同構映射存在(現決定0在一個同構映射之下的象)證：設A與A間有同構映射 '存在，先看在 '之下0的象0- ao再看在 '之下某一元 a的象ar a ,那么 0 a aoa . 但0 a = a.所以aoa = a a = 0,故必 ao =1,即 0 1對A來說，在 '之下設有x=0A , x 1 由于是一同構映射，于是x x =2x1 =(-1)(-1) 但又知，0 > 1,故2x=0,從而x=0,與x=0矛盾.>10等價關系與集合的分類1. A=所有實數, A的元間的關系 以及一是不是等價關系？解？>不是等價關系，因為a不大于a - 不是等價關系，因為2一1但1不大于等于2.2.有人說:假如一個關系 R適合對稱和推移律，那么它也適合反射律.他的推論方法是：因為R適合對稱律aRb