1、7.5 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式 通過上節(jié)的學(xué)習(xí)知道通過上節(jié)的學(xué)習(xí)知道:任何一個(gè)冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間任何一個(gè)冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)內(nèi), ,均可表示成一個(gè)函數(shù)均可表示成一個(gè)函數(shù)( (即和函數(shù)即和函數(shù)).).20120nnnnna xaa xa xa x ( )S x xD 本節(jié)要解決的問題是本節(jié)要解決的問題是:給定函數(shù)給定函數(shù) f (x),能否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)展能否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)展成冪級(jí)數(shù)成冪級(jí)數(shù). 即能否找到冪級(jí)數(shù)即能否找到冪級(jí)數(shù),在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂,且其和函數(shù)就是且其和函數(shù)就是給定的函數(shù)給定的函數(shù)f (x).( )f x20120nnnnna xaa xa xa x 若能找到

2、這樣的冪級(jí)數(shù)若能找到這樣的冪級(jí)數(shù),我們說我們說,函數(shù)函數(shù)f (x)在該區(qū)間內(nèi)能展成冪級(jí)數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展成冪級(jí)數(shù).將已知函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)將已知函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù),需解決以下兩個(gè)問題：需解決以下兩個(gè)問題： (2) 函數(shù)函數(shù)(x)滿足什么條件才能展開成冪級(jí)數(shù)滿足什么條件才能展開成冪級(jí)數(shù)?(1) 如果函數(shù)可以展開成冪級(jí)數(shù)如果函數(shù)可以展開成冪級(jí)數(shù),應(yīng)如何確定冪級(jí)數(shù)的應(yīng)如何確定冪級(jí)數(shù)的系數(shù)系數(shù)?(0,1,)nan 稱此冪級(jí)數(shù)為該函數(shù)的稱此冪級(jí)數(shù)為該函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式冪級(jí)數(shù)展開式. .0nnna x 定義定義 若一個(gè)函數(shù)若一個(gè)函數(shù)(x)能表示成一個(gè)冪級(jí)數(shù)能表示成一個(gè)冪級(jí)數(shù) , ,泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)0000( )

3、,( )( )() ,nnnf xxf xxxf xaxx 定定理理 設(shè)設(shè)在在點(diǎn)點(diǎn) 的的附附近近有有任任意意階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 且且在在處處的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開式式為為則則必必有有(0)00( )0,01,()().1()!nnaffnxxxf 其其中中 ！證明：證明：2010200( )()()()nnf xaaxxaxxaxx 21120300( )2()3()()nnfxaaxxaxxnaxx 22300( )23 2()(1)()nnfxaaxxnnaxx ( )( )!nnfxn a0 xx 將將代代入入各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得：00()f xa 01()fxa 02()2fxa ( )0

4、()!nnfxn a ( )0()!nnfxan0,1,2,n 0000( ),( )( )() ,nnnf xxf xxxf xaxx 定定理理 設(shè)設(shè)在在點(diǎn)點(diǎn) 的的附附近近有有任任意意階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 且且在在處處的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開式式為為則則必必有有(0)00( )0,01,()().1()!nnaffnxxxf 其其中中 ！ 注：此定理給出了在函數(shù)可以展成冪級(jí)數(shù)的前提下注：此定理給出了在函數(shù)可以展成冪級(jí)數(shù)的前提下,求函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的方法求函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的方法,還說明了冪級(jí)數(shù)展開式的還說明了冪級(jí)數(shù)展開式的唯一性唯一性.針對(duì)函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)時(shí)所選擇的點(diǎn)給出下面定義：針對(duì)函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)時(shí)所

5、選擇的點(diǎn)給出下面定義：0( )( )00000000( ),()11()()()()()()!1!nnnnnf xxfxfxxxf xxxfxxxnn 定定義義 設(shè)設(shè)在在點(diǎn)點(diǎn) 的的附附近近有有任任意意階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 則則稱稱冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)0( )f xxx 為為在在處處的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). .( )( )00000000()11()()()()()()!1!nnnnnfxfxxxf xxxfxxxnn 00,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 稱稱( )( )01(0)1(0)(0)(0)!1!nnnnnffxfxfxnn ( )f x為為的的馬馬克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). .( )( )0f xxaf xx 注注1 1

6、：若若在在點(diǎn)點(diǎn)處處能能展展成成冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,則則冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)必必為為泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù); ;若若在在點(diǎn)點(diǎn)處處能能展展成成冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,則則冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)必必為為馬馬克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù); ;0( ),( )( ).f xxf xf x注注2 2：定定義義表表明明：任任給給一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)只只要要在在點(diǎn)點(diǎn)處處有有任任意意階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,就就可可以以寫寫出出相相應(yīng)應(yīng)的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)或或馬馬克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,但但在在函函數(shù)數(shù)與與級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)之之間間并并沒沒有有建建立立等等式式關(guān)關(guān)系系, ,這這是是因因?yàn)闉榈牡奶┨├绽占?jí)級(jí)數(shù)數(shù)或或馬馬克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)未未必必收收斂斂, ,且且收收斂斂

7、時(shí)時(shí)也也未未必必收收斂斂于于1( ),1( ).f xxf x 的的馬馬克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 并并討討論論該該級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在收收斂斂域域內(nèi)內(nèi)是是否否收收斂斂于于例例：求求解解：21( )(1)fxx 32( )(1)fxx ( )11!( )( 1)(1)nnnnfxx (0)1f(0)1f ( )(0)!nfn ( )f x于于是是的的馬馬克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為( )( )01(0)1(0)(0)(0)!1!nnnnnffxfxfxnn 1nxx 1( 1,1)( ).1f xx 易易知知該該級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于( )f x( )000()()!nnnfxxxn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)0( )f

8、xxx 為為在在處處的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)( )0(0)!nnnfxn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)( )f x為為的的馬馬克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)兩個(gè)級(jí)數(shù)未必收斂于兩個(gè)級(jí)數(shù)未必收斂于f(x). (2) 函數(shù)函數(shù)(x)滿足什么條件時(shí)滿足什么條件時(shí),它的泰勒級(jí)數(shù)才能在收它的泰勒級(jí)數(shù)才能在收斂域內(nèi)收斂于斂域內(nèi)收斂于f (x)本身本身?二二. 泰勒公式泰勒公式0( ),f xxxx 定定理理( (泰泰勒勒中中值值定定理理) ) 若若在在點(diǎn)點(diǎn)的的附附近近有有n n+ +1 1階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)則則對(duì)對(duì)該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意有有200000( )00()( )()()()()2!()()( )( )!nnnfxf xf xfxxxx

9、xfxxxRxn (1)100( ),( )(),.(1)!nnnfRxxxxxn 其其中中為為拉拉格格朗朗日日型型余余項(xiàng)項(xiàng)在在與與 之之間間 0( )( ).f xxx 式式稱稱為為在在處處的的泰泰勒勒公公式式0000( )( )()( )(),nf xf xfxxxx 注注1 1：當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， 式式變變?cè)谠谂c與間間. .為為之之 ( ).nRx即即拉拉格格朗朗日日公公式式, ,所所以以泰泰勒勒公公式式是是拉拉格格朗朗日日公公式式的的推推稱稱為為拉拉格格朗朗廣廣, ,相相應(yīng)應(yīng)余余項(xiàng)項(xiàng)日日型型余余項(xiàng)項(xiàng)的的20( )(1)10(0)20,( )( )(0)(0)2!(0)( ),!(1)!nnnn

10、fxf xffxxffxxxxnn 注注 ：當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)式式變變?yōu)闉樵谠谂c與 之之間間. . ( ).f x稱稱為為的的馬馬克克勞勞林林公公式式0( ),( )f xxxf x 定定理理 若若在在點(diǎn)點(diǎn)的的附附近近有有任任意意階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 則則的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)lim( )0nnRx ，( )000()()( )!nnnfxxxf xn 在在該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于的的充充要要條條件件是是(1)100( ),( )(),.(1)!nnnfRxxxxxn 其其中中在在與與 之之間間 ( )f x證證明明：的的泰泰勒勒公公式式為為200000( )00()( )()()()()2!()()( )!

11、nnnfxf xf xfxxxxxfxxxRxn 思路思路1( )( )nnSxRx 1( )( )( )nnRxf xSx lim( )0nnRx 1lim( )( )nnf xSx 1( )lim( )nnf xSx 0 1lim( )( )nnSxf x ( )( ),f xf x注注：若若的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在收收斂斂域域內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于即即等等式式( )0000()( )(),( )!nnnfxf xxxf xxxn 成成立立 稱稱右右側(cè)側(cè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為在在處處的的泰泰勒勒展展開開式式；( )0(0)( ),( )!nnnff xxf xn 成成立立 稱稱右右側(cè)側(cè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為的的馬馬

12、克克勞勞林林展展開開式式. .( )( ),f xf x若若的的馬馬克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在收收斂斂域域內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于即即等等式式( )f x泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒公式泰勒公式泰勒展開式泰勒展開式( )f x泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒公式泰勒公式泰勒展開式泰勒展開式( )f x( )000()()!nnnfxxxn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)0( )f xxx 為為在在處處的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)( )0(0)!nnnfxn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)( )f x為為的的馬馬克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)兩個(gè)級(jí)數(shù)未必收斂于兩個(gè)級(jí)數(shù)未必收斂于f(x).( )20000000()()()()()()()( )2!nnnfxfxf xfxxxxxxxRx

13、n 0( )f xxx 為為在在處處的的泰泰勒勒公公式式( )(1)21(0)(0)( )(0)(0)2!(1)!nnnnfffffxxxxnn ( )f x為為的的馬馬克克勞勞林林公公式式( )f x ( )f x 三三. .初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式計(jì)算步驟為計(jì)算步驟為: :( )01.( )( ),( ),( ),( ).nf xfxfxfxxxf x 求求出出的的各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)如如果果在在處處的的某某階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在, ,停停止止進(jìn)進(jìn)行行. .此此時(shí)時(shí)不不能能展展成成冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)0( )00002.( )()(),(),(),.nf xxxf xfxfxfx

14、 求求出出的的各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在處處的的值值：，3.( )f x寫寫出出的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)( )000()() ,.!nnnfxxxn 并并求求出出收收斂斂半半徑徑R R和和收收斂斂域域4.(,),lim( )0?0,( )nnxR RRxf x 考考查查當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)若若余余項(xiàng)項(xiàng)極極限限為為則則在在收收斂斂域域內(nèi)內(nèi)的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開式式為為( )000()( )() ,.!nnnfxf xxxxn 收收斂斂域域( )0()!nnfxan 1.直接展開法直接展開法 利用式利用式 計(jì)算展開式的方法稱為直接展開法計(jì)算展開式的方法稱為直接展開法.( )xf xe 例例：求求的的馬馬克克勞勞林林展

15、展開開式式. .解解：( )1.( )( )( )nxfxfxfxe ( )02.(0)(0)(0)1nfffe 3. ( )xf xe 的的馬馬克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為( )0(0)!nnnfxn 0!nnxn 收收斂斂半半徑徑為為R, =+=+ 收收斂斂域域?yàn)闉? (- - , ,+ + ) ). .4.( )nRx (1)1( )(1)!nnfxn 1(1)!nexn 0!nnxn 收收斂斂, ,10(1)!nnxn 收收斂斂. .1,lim(1)!nnxn 于于是是=0,=0,1lim( )lim0.(1)!nnnneRxxn 所所以以 ( )xf xe 因因此此0!nnxn 21.2

16、!nxxxn.xR 3521111sin( 1),3!5!(21)!nnxxxxxxRn ( )sinf xx 例例：求求的的馬馬克克勞勞林林展展開開式式. .解解：( )1.( )sin()2nfxxn ( )2.(0)nf 3. ( )sinf xx 的的馬馬克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為( )0(0)!nnnfxn 210( 1)(21)!nnnxn 收收斂斂半半徑徑為為R, =+=+ 收收斂斂域域?yàn)闉? (- - , ,+ + ) ). .sin()2n 2nm 021nm ( 1)m 0!nxnxen 21.2!nxxxn.xR 3521111sin( 1),3!5!(21)!nnxxxx

17、xxRn 211,( 1,1)1nxxxxx 2.間接展開法間接展開法 242111cossin1( 1),2!4!(2 )!nnxxxxxxRn 11x 11()x 21( 1),( 1,1)nnxxxx 211x 2421( 1),( 1,1)nnxxxx ln(1)x 011xdxx 00( 1)xnnnxdx 00( 1)xnnnxdx 10( 1)1nnnxn 12311( 1),( 1,123nnxxxxxn 11( 1)nnnxn 13x 211,3333nxxx11313x ( 3,3)x -馬克勞林級(jí)數(shù)馬克勞林級(jí)數(shù)1(1) ( )6f xx 例例 將將f(x)展為展為x- -

18、2 2的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù). .11 64(2)xx 解解 因因112414x 01 ( 11) 1nnxxx 而而 2( 11) 4x 1011(2) ( 26) 644nnnxxx 故故0112644nnxx 于于是是（）-x=2點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)(2) ( )xf xe 例例 將將f(x)展為展為x- -1 1的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù). .1 1 xxee 解解 因因1xe e 201,!2!nnxnxxxexxRnn 而而1xxee e 0(1),1!nnxexRn 0(1),!nne xxRn 2(1) ( )1xf xx 練練將將f(x)展為展為x的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù). .221 ( )11xf xxxx解解 因因01 ( 11),1nnxxx 而而 21( )1f xxx 20() ( 11),nnxxx 20( 1) ( 11),nnnxx 211 ( )2(2)(1)f xxxxx 解解 因因1113 12xx （）11113 1212xx （）（）01 ( 11),1nnxxx 而而 01(