1、第1節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理最新考綱1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理；2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.知 識(shí) 梳 理1.分類加法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法.則完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有m1種不同的方法，做第二個(gè)步驟有m2種不同的方法，做第n個(gè)步驟有mn種不同的方法.那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法.3.分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，

2、區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事.常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.切實(shí)理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行.2.分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步.診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.()(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.()(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟

3、的方法是各不相同的.()(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事.()解析分類加法計(jì)數(shù)原理，每類方案中的方法都是不同的，每一種方法都能完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成這一步，不能完成這件事，所以(1)，(4)均不正確.答案(1)(2)(3)(4)2.從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為()A.6 B.5C.3 D.2解析5個(gè)人中每一個(gè)都可主持，所以共有5種選法.答案B3.(教材練習(xí)改編)現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方

4、法共有()A.24種 B.30種C.36種 D.48種解析需要先給C塊著色，有4種結(jié)果；再給A塊著色，有3種結(jié)果；再給B塊著色，有2種結(jié)果；最后給D塊著色，有2種結(jié)果，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有432248(種).答案D4.5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法有_種(用數(shù)字作答).解析每位同學(xué)都有2種報(bào)名方法，因此，可分五步安排5名同學(xué)報(bào)名，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的報(bào)名方法共2222232(種).答案325.(2018阜新月考)已知某公園有5個(gè)門，從任一門進(jìn)，另一門出，則不同的走法的種數(shù)為_(用數(shù)字作答).解析分兩步，第一步選一個(gè)門進(jìn)有5種方法，第二步再選

5、一個(gè)門出有4種方法，所以共有5420種走法.答案20考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例1】 (1)滿足a，b1，0，1，2，且關(guān)于x的方程ax22xb0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為_.(2)在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為_.解析(1)當(dāng)a0時(shí)，b的值可以是1，0，1，2，故(a，b)的個(gè)數(shù)為4；當(dāng)a0時(shí)，要使方程ax22xb0有實(shí)數(shù)解，需使44ab0，即ab1.若a1，則b的值可以是1，0，1，2，(a，b)的個(gè)數(shù)為4；若a1，則b的值可以是1，0，1，(a，b)的個(gè)數(shù)為3；若a2，則b的值可以是1，0，(a，b)的個(gè)數(shù)為2.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，(a，b)的個(gè)

6、數(shù)為443213.(2)當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2時(shí)，十位數(shù)字為1，共1個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為3時(shí)，十位數(shù)字為1，2，共2個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為4時(shí)，十位數(shù)字為1，2，3，共3個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為9時(shí)，十位數(shù)字為1，2，3，4，7，8，共8個(gè)；由分類加法計(jì)數(shù)原理可知滿足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為123836.答案(1)13(2)36規(guī)律方法分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn).(2)分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù).(3)分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏，如本例(

7、1)中易漏a0這一類.【訓(xùn)練1】 (1)從集合1，2，3，10中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A.3 B.4 C.6 D.8(2)如圖，從A到O有_種不同的走法(不重復(fù)過一點(diǎn)).解析(1)以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1，2，4；1，3，9；以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2，4，8；以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4，6，9；把這4個(gè)數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個(gè)數(shù)列，所求的數(shù)列共有2(211)8個(gè).(2)分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第二類，中間過一個(gè)點(diǎn)，有ABO和ACO共2種不同的走法；第三類，中間過兩個(gè)點(diǎn)，有ABCO和ACBO共2種不同的走法，由分類加法計(jì)數(shù)原

8、理可得共有1225種不同的走法.答案(1)D(2)5考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例2】 (1)(2018石家莊模擬)教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個(gè)樓梯，由一層到五層的走法有()A.10種 B.25種 C.52種 D.24種(2)(2016全國卷)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24 B.18 C.12 D.9解析(1)每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有24種不同的走法.(2)分兩步，第一步，從EF，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從FG，有3條可以選擇的最

9、短路徑.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6318條可以選擇的最短路徑.故選B.答案(1)D(2)B規(guī)律方法(1)在第(1)題中，易誤認(rèn)為分5步完成，錯(cuò)選B.(2)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意：要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的；各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事.【訓(xùn)練2】 (1)用0，1，2，3，4，5可組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為_.(2)(2018合肥質(zhì)檢)五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為_.五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有_種.解析(1)可分三步給百、十、個(gè)位放數(shù)字，第一步：百位數(shù)字有5

10、種放法；第二步：十位數(shù)字有5種放法；第三步：個(gè)位數(shù)字有4種放法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，三位數(shù)的個(gè)數(shù)為554100.(2)五名學(xué)生參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，可逐個(gè)學(xué)生落實(shí)，每個(gè)學(xué)生有4種報(bào)名方法，共有45種不同的報(bào)名方法.五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍，可對(duì)4個(gè)冠軍逐一落實(shí)，每個(gè)冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性.答案(1)100(2)4554考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用(多維探究)命題角度1組數(shù)、組點(diǎn)、組線、組對(duì)及抽取問題【例31】 如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)

11、”的個(gè)數(shù)是()A.48 B.18 C.24 D.36解析在正方體中，每一個(gè)表面有四條棱與之垂直，六個(gè)表面，共構(gòu)成24個(gè)“正交線面對(duì)”；而正方體的六個(gè)對(duì)角面中，每個(gè)對(duì)角面有兩條面對(duì)角線與之垂直，共構(gòu)成12個(gè)“正交線面對(duì)”，所以共有36個(gè)“正交線面對(duì)”.答案D命題角度2涂色、種植問題【例32】 (一題多解)如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù).解法一按所用顏色種數(shù)分類.第一類：5種顏色全用，共有A種不同的方法；第二類：只用4種顏色，則必有某兩個(gè)頂點(diǎn)同色(A與C，或B與D)，共有2A種不同的方法；第三類：只用3種顏色

12、，則A與C，B與D必定同色，共有A種不同的方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理，得不同的染色方法種數(shù)為A2AA420(種).法二以S，A，B，C，D順序分步染色.第一步：S點(diǎn)染色，有5種方法；第二步：A點(diǎn)染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步：B點(diǎn)染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步：C點(diǎn)染色，也有3種方法，但考慮到D點(diǎn)與S，A，C相鄰，需要針對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類，當(dāng)A與C同色時(shí)，D點(diǎn)有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時(shí)，因?yàn)镃與S，B也不同色，所以C點(diǎn)有2種染色方法，D點(diǎn)也有2種染色方法.由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有543(1322)420(種).規(guī)律方法(1)注意

13、在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問題時(shí)，一般是先分類再分步.在分步時(shí)可能又用到分類加法計(jì)數(shù)原理.注意對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化.(2)解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.例題中，相鄰頂點(diǎn)不同色，要按A，C和B，D是否同色分類處理.【訓(xùn)練3】 (1)(一題多解)(2018青島質(zhì)檢)如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有()A.72種 B.48種C.24種 D.12種(2)如圖所示，在連結(jié)正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有_個(gè)(用數(shù)字作答)

14、.解析(1)法一首先涂A有4種涂法，則涂B有3種涂法，C與A，B相鄰，則C有2種涂法，D只與C相鄰，則D有3種涂法，所以共有432372種涂法.法二按要求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時(shí)A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，共有432124(種)涂法；二是用3種顏色，這時(shí)A，B，C的涂法有43224(種)，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法，所以不同的涂法共有2424272(種).(2)把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有8432(個(gè)).第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有32840(個(gè)).

15、答案(1)A(2)40基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1.(2018鄭州調(diào)研)有4位教師在同一年級(jí)的4個(gè)班中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測(cè)時(shí)要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則不同的監(jiān)考方法有()A.8種 B.9種 C.10種 D.11種解析設(shè)四位監(jiān)考教師分別為A，B，C，D，所教班分別為a，b，c，d，假設(shè)A監(jiān)考b，則余下三人監(jiān)考剩下的三個(gè)班，共有3種不同方法，同理A監(jiān)考c，d時(shí)，也分別有3種不同方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有3339(種)不同的監(jiān)考方法.答案B2.從集合0，1，2，3，4，5，6中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)abi，其中虛數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.30 B.42 C.36

16、 D.35解析因?yàn)閍bi為虛數(shù)，所以b0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知可以組成6636個(gè)虛數(shù).答案C3.已知兩條異面直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A.40 B.16 C.13 D.10解析分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的8個(gè)點(diǎn)可以確定8個(gè)不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個(gè)點(diǎn)可以確定5個(gè)不同的平面.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共可以確定8513個(gè)不同的平面.答案C4.我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2 013是“六合數(shù)”)，則首位為2的“六合數(shù)”共有()A.18個(gè) B.15個(gè) C.12個(gè) D.

17、9個(gè)解析依題意，這個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個(gè)位數(shù)之和為4.由4，0，0組成3個(gè)數(shù)分別為400，040，004；由3，1，0組成6個(gè)數(shù)分別為310，301，130，103，013，031；由2，2，0組成3個(gè)數(shù)分別為220，202，022；由2，1，1組成3個(gè)數(shù)分別為211，121，112.共計(jì)363315(個(gè)).答案B5.某電話局的電話號(hào)碼為139，若前六位固定，最后五位數(shù)字是由6或8組成的，則這樣的電話號(hào)碼的個(gè)數(shù)為()A.20 B.25 C.32 D.60解析依據(jù)題意知，后五位數(shù)字由6或8組成，可分5步完成，每一步有2種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，符合題意的電話號(hào)碼的個(gè)數(shù)為2532.答案C

18、6.集合Px，1，Qy，1，2，其中x，y1，2，3，9，且PQ.把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A.9 B.14 C.15 D.21解析當(dāng)x2時(shí)，xy，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為177(個(gè)).當(dāng)x2時(shí)，由PQ，xy.x可從3，4，5，6，7，8，9中取，有7種方法.因此滿足條件的點(diǎn)共有7714(個(gè)).答案B7.用10元、5元和1元來支付20元錢的書款，不同的支付方法的種數(shù)為()A.3 B.5 C.9 D.12解析只用一種幣值有2張10元，4張5元，20張1元，共3種；用兩種幣值的有1張10元，2張5元；1張10元，10張1元；3張5元，5張1元；2張5元，10

19、張1元；1張5元，15張1元，共5種；用三種幣值的有1張10元，1張5元，5張1元，共1種.由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有3519(種).答案C8.從集合1，2，3，4，10中，選出5個(gè)數(shù)組成子集，使得這5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有()A.32個(gè) B.34個(gè) C.36個(gè) D.38個(gè)解析將和等于11的放在一組：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.從每一小組中取一個(gè)，有C2種，共有2222232個(gè).答案A二、填空題9.某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時(shí)間里，火車有4趟，輪船有3次，問此人的走法可有_種.解析因?yàn)槟橙藦募椎氐揭业兀嘶疖嚨淖叻ㄓ?種，

20、坐輪船的走法有3種，每一種方法都能從甲地到乙地，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可得此人的走法可有437(種).答案710.從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有_種(用數(shù)字作答).解析第一步，先選出文娛委員，因?yàn)榧住⒁也荒軗?dān)任，所以從剩下的3人中選1人當(dāng)文娛委員，有3種選法.第二步，從剩下的4人中選學(xué)習(xí)委員和體育委員，又可分兩步進(jìn)行：先選學(xué)習(xí)委員有4種選法，再選體育委員有3種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的選法共有34336(種).答案3611.在編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六個(gè)盒子中放入兩個(gè)不同的小球，每個(gè)盒子中最

21、多放入一個(gè)小球，且不能在兩個(gè)編號(hào)連續(xù)的盒子中同時(shí)放入小球，則不同的放小球的方法有_種.解析設(shè)兩個(gè)不同的小球?yàn)锳，B，當(dāng)A放入1號(hào)盒或者6號(hào)盒時(shí)，B有4種不同的放法；當(dāng)A放入2，3，4，5號(hào)盒時(shí)，B有3種不同的放法，一共有423420種不同的放法.答案2012.如圖，矩形的對(duì)角線把矩形分成A，B，C，D四部分，現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有_種不同的涂色方法(用數(shù)字作答).解析區(qū)域A有5種涂色方法；區(qū)域B有4種涂色方法；區(qū)域C的涂色方法可分2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色方法；若C與A涂不同色，此時(shí)區(qū)域C有3種涂色方法，區(qū)域D也有3種涂色方法.所以共有5445433260種涂色方法.答案260能力提