1、直線的參數方程及應用目標點擊：1掌握直線參數方程的標準形式和一般形式，理解參數的幾何意義；2熟悉直線的參數方程與普通方程之間的互化；3禾U用直線的參數方程求線段的長，求距離、求軌跡、與中點有關等問題;根底知識點擊：1直線參數方程的標準式(1)過點P0( xo, y。)，傾斜角為 的直線I的參數方程是x x t coso(t為參數)t的幾何意義：t表示有向線段PoP的數量，P( x , y )y yo tsi n為直線上任意一點.t 2，FoP=tI PoP I =t 假設P1、P2是直線上兩點，所對應的參數分別為t1、那么 P1 P2=t 2 t 1I P1P2 I = I t 2 t 1 I

2、1 =t1 t22t 1、t 2、 假設P1、R、R是直線上的點，所對應的參數分別為 那么中點P3的參數為t3=匕S, I PoP32假設Po為P1P2的中點,2、直線參數方程的一般式 過點Po( xo, yo)，斜率為k那么 t 1 + t 2= o， t 1 t 20時，點P在點Po的上方; 當t = 0時，點P與點Po重合； 當t0時，點P在點Po的右側； 當t = 0時，點P與點Po重合； 當t0時，點P在點Po的左側； 2:直線l上的點與對應的 參數t是不是一對應關系 我們把直線l看作是實數軸， 以直線l向上的方向為正方向，以定點 Po 為原點，以原坐標系的單位長為單位長， 這樣參數

3、t便和這條實數軸上的點P建立了一 一對應關系.3: R、P2為直線l上兩點所對應的參數分別為ti、貝U PiF2 =,I PP I = 1P2 P1P0+ F)F2 11+12 12 11，I PiF2 IPohP(x,y)問題問題4 Xl專yPoh0t2 ，P4:假設Po為直線l上兩點Pi、R的中點，Pi、P2所對應的 參數分別為tl、t2，那么tl、t2之間有何關系 根據直線l參數方程t的幾何意義， iP ti，P2P t2，v F為直線 l上兩點Pi、P2的中點，.|PiP| |P2P|i P RP,即 t i t 2, t it 20,設這個二次方程的兩個根為t1、t2,由韋達定理得1

4、t 2 =254,由M為線段AB的中點，根據t的幾何意義，得1 PM| =寧1516中點M所對應的參數為tM=15,將此值代入直線的標準參數方程16c 3J5 41413M點的坐標為x 2 5?16 16即M ( , _)4 15 3164y?5 164(3)點撥： 5|AB| = 1 t 2 t 1 1 =. (t1 t2 )24訊2 =. 738利用直線1的標準參數方程中參數t的幾何意義，在解決諸如直線1上兩點間的距離、直線I上某兩點的中點以及與此相關的一些問題時， 比用直線I的 普通方程來解決顯得比較靈活和簡捷.例7：直線I經過點P( 1, -3 3 )，傾斜角為_ ,3(1) 求直線I

5、與直線I : y x 2 3的交點Q與P點的距離| PQ| ;(2) 求直線I和圓x2 y2 = 16的兩個交點A, B與P點的距離之積.解：(1) T直線I經過點P (1, - 3 .3 ),傾斜角為，直線I的標準參數方程為x 1 tcos3，即1x 1t2y3 3 t sinv 3 y3 -?3t32y x2 .3 得(1t)(3.3t)223(t為參數)代入直線I :2、30 整理，解得 t=4+2 , 3t=4+2即為直線I與直線I的交點Q所對應的參數值，根據參數t的幾 何意義可知：|t|=| PQ|, 二 | PQ|=4+23 .1(2)把直線I的標準參數方程為x 1 2t (t為參

6、數)代入圓的方程y 3后t21_； 3x2 y2 = 16,得(1 才)2 ( 3 3t)2 16 ,整理得：t 8t+12=0,2 =8-4 X 120,設此二次方程的兩個根為 t1、t2 那么t1t2=12根據參數t的幾何意義，t1、t2分別為直線和圓x2 y2 = 16的兩個交點A, B所對應的參數值，那么|t 1|=| PA|,|t2|=| PB|,所以 | PA| | PB|=|t 1 t 2|=12點撥：利用直線標準參數方程中的參數t的幾何意義解決距離問題、距離的乘 積(或商)的問題，比使用直線的普通方程，與另一曲線方程聯立先求得交點 坐標再利用兩點間的距離公式簡便.例&設拋物線過

7、兩點A( 1,6)和B( 1, 2)，對稱軸與x軸平行，開口向右, 直線y=2x+7被拋物線截得的線段長是 4.10，求拋物線方程.解：由題意，得拋物線的對稱軸方程為y=2.設拋物線頂點坐標為(a , 2)方程為(y 2) 2=2P(x a) (P0)2V點 B( 1, 2)在拋物線上， ( 2 2) =2P( 1 a)2ap二8- P 代入得(y 2) =2Px + 2P+16將直線方程y=2x+7化為標準的參數方程tg =2,為銳角,cos直線與拋物線相交于A,4212 2P5t .5又 t |AB|=1x 1t5 (t為參數)y 52tv5將代入并化簡得：2t 7 = 0 ,由4 =4(

8、P_ 6)350,可設方程的兩根為t1、t2,B,5=(1 t2)2 4t1t2= 4 104 色=(4 .10)2 化簡，得(6 P)2=10042.5(122P)4 P=16或P=-4(舍去) 所求的拋物線方程為(y 2) 2=32x + 48點撥：(1)(對稱性)由兩點A( 1,6)和B( 1, 2)的對稱性及拋物線的對稱性質，設出拋物線的方程(含 P一個未知量，由弦長AB的值求得P).(2)利用直線標準參數方程解決弦長問題.此題也可以運用直線的普通方程與拋物線方程聯立后，求弦長。對于有些題使用直線的參數方程相對簡便 些( 1)2 2例9:橢圓必一1-1，AB是通過左焦點F1的弦，F2為

9、右焦點， 43求| F 2A| | F 2B|的最大值.解：由橢圓方程知a = 2, b=.3,c=1, F1(0,0),F 2(2,0),設過的弦所在直線 的x t cos參數方程為x tcos (t為參數)代入橢圓方程整理得y tsi n2 2 2 2(3+ sin ) t 6 t cos 9=0, =36cos + 36 (3+ sin ) 0此方程的解為11 12,分別為A、B兩點對應的參數，由韋達定理 t 1 + t 2= 6cos2 t 1 t 2=9-3 sin3 sin根據參數t的幾何意義，t1、t2分別為過點F1的直線和橢圓的兩個交點A, B所對應的參數值，I F 1A| =

10、 |t1| |F 1B|t 2|AB|=I t 2 t 1 I =.(t1t2 廠Ai +124t1【223sinI F1A| |F 冋=|t 1| |t 2| = |t1t 2|1由橢圓的第一定義| F人| + | F 2AI 2a 4,| F 1B|+| F2B|=2 a 4I F2A| | F 2B|=(4-| F1A|)(4-| F1B|)=16-4|AB|+| F 1A| |F1B|=16-41291 t 2 t 1 1 +|t 1t2| = 16-42+9 23 sin3 sin=16-393 sin2當sin2 = 1時，| F絹 | F 2BI有最大值254點撥：求過定點的直線

11、與圓錐曲線相交的距離之積，利用直線的參數方程解 題，此題中兩定點Fi(O,O),F 2(2,0),顯然Fi坐標簡單，因此選擇過Fi 的直線的參數方程，利用橢圓的定義將| F2A|F2B|轉化為| FiA| |FiB|.例10:(黃岡習題冊：P155,第23題)(2)除書中解法外，補充解法二.解法二：設過點P( a ,0)的直線I的參數方程為x a tcos (t為參數y tsi n(0,)，且豐一)(1)2直線I與圓x2 y2 = 5相交于B,C將直線I的方程 代入圓的方程2 2 2 2得 t +2at cos +a 5 = 0，A =(2 a cos ) -4( a 5)0. 即一a2 si

12、n 2 +50(2)2tb+ t c= 2 a cost b t c= a 5直線l與拋物線y2=x+7相交于A,D將直線l的方程(1)代入拋物線的 方程得(sin2 )t 2 t cos a 7= 0 ， A = cos 2 -4(sin 2 )(- a 7)0即 1+(4 a+27) sin丄+_ cosa+ tD=廠sin又 t |AB|=|CD|a+ t D=t b+ t C(0,),且2 0+ a 7B tc=sin線段AD與線段BC的中點重合，即-cos 即-2a=t，sin1代入、2asin2= -2半一 0sin 22acos1.2 sin00 -101a -2a 10a必須滿

13、足亙自2a 2a點撥：此題利用直線參數方程形式比普通方程求 a的范圍運算量相對要 小,注意使用直線上兩個點的中點的參數.方法總結：利用直線l的參數方程X X。tcos( t為參數)，給研究直線與y y tsin圓錐曲線C: F(x,y)=0的位置關系提供了簡便的方法.一般地，把I的參數方程代入圓錐曲線 C: F(x,y)=0后，可得一個關于t-兒二次方程，f(t)=O,(1)當厶0時，I與C相離；(2)當二0時，I與C相切；(3)當厶0時，I與C相交有兩個交點；當厶0時，方程f(t)=O的兩個根分別記為t1、t2，把t1、t2分別代入I的參 數方程即可求的I與C的兩個交點A和B的坐標.定點&0,丫0)是弦AB中點I被C截得的弦AB的長|AB| = |t 1 12| ；對應的參數為匕空；| P 0M |=也2根底知識測試2:t (t t的1、2、3、4、7、直線8、直線A |t9、直線xX。yy。tcos t sin1+t 2|B Itt l+t 2=0t22為參數)與橢圓x標為(2,-1),10、過點 P(6,1、D 2、PA PB= t 1 12；弦 AB中點 M點(t為參數)與二次曲線1| + It 2| C |t8交于A B兩點，那么|AB|等于()A、B兩點，貝U |AB|等于()1t2那么 |PA| 為參數)與圓x2|PB|=x7)的