1、數(shù)值積分第1章理論依據(jù)逼近論一一構(gòu)造一個簡單函數(shù)p(x)近似表示f(x),然后對p(x)求積分得到 f(x)的積分的近似值?；诓逯翟?，推導(dǎo)出數(shù)值積分的基本公式。 1插值求積公式b為了用數(shù)值方法求I(f)= a f(x)dx ，對被積函數(shù)f(x)在給定的n+1個節(jié)點 上作Lagrange插值，用插值函數(shù)Pn(x)代替f(x)，就可用I (Pn(x)構(gòu)造求積 公式，近似地計算定積分I(f(x)。 2Newton Cotes 公式 2.1NewtonCotes 公式的推導(dǎo)就得到Newton Cotes公當(dāng) 1.1插值求積公式的插值節(jié)點為等距節(jié)點時, 式。將區(qū)間a,bn等分,n+1個節(jié)點為Xk=a

2、+kh (k=0,1,n) 在節(jié)點上對f(x)的Lagrange插值多項式是：n nPn(X)八(【k=0 j=0 j=kX - Xi)f (Xk)xk _Xj用Pn(X)代替f(x)構(gòu)造求積公式:bb nIn 二 Pn(X)dX 二.aak=0n X _ Xj(-)f (Xk)dxj Xk Xjj=k記：1=心(k=0,1,n)*j作代換x=a+th帶入上式，變?yōu)椋篈A/旦戸 dt=(b-a)Ckn 0 = k jj其中：.，一1 -(k=0,1，,n)(1-1)樣k這個積分是有理多項式積分，它與被積函數(shù)f(x)和區(qū)間a,b無關(guān)。只要確定n就能計算出系數(shù)o于是得到稱為Newton Cotes

3、公式的求積公式：nIn = (b - a)二 Ck )yk7(1-2)其中 稱為Newton Cotes系數(shù)。如表1所示。表 1 Newton Cotes 系數(shù)n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/9012/9032/907/90519/28825/9625/14425/14425/9019/288641/8409/359/28034/1059/2809/3541/840 2.2NewtonCotes公式誤差和穩(wěn)定性在積分公式中用插值多項式Pn(x)代替f(x)的插值誤差是x (n 1) ( ) n尺ms (n 1)!心(x-xk)因此，Newton C

4、otes公式的截斷誤差是bR(f) _ a (n 1)!f(n 1)() n(1-3)I(x-xjdxb式近似計算a f(x)dx在(1-2)式中令k =0討論舍入誤差對計算結(jié)果產(chǎn)生的影響，設(shè)(1-2 )其中計算函數(shù)值f(xn)有誤差值 (k=0,1,2,n ).一 一 一一： ；設(shè)計算無誤差，舍入誤差也忽略，貝9，由(1-2)式計算時.引式的誤差為nnen =(b-a)ckn)f(xQ4 C；n)( f 區(qū))，門 一 (b - a)(c0n) . Cfk=0k=0如果皆為正，并設(shè)二，則氏丨叮;#，怕：凳.寸| 爭yj,故有界，即.引起的誤差受控制，不超過；(ba)倍。保證了數(shù)值計算的穩(wěn)定性。

5、但當(dāng)n 一8時，樂將出現(xiàn)負(fù)數(shù)，這時，數(shù)值計算的穩(wěn)定性不能保證，所以節(jié) 點超過8時Newton Cotes公式不能用。當(dāng)n為偶數(shù)時，Newton Cotes積分公式具有n+1次代數(shù)精度。 2.3 經(jīng)典 Newton Cotes 公式當(dāng)n=4,5點公式稱為經(jīng)典NewtonCotes公式b -a C(7f(x0) 32f(xJ 12f(x2) 32f(x3) 7f(x4)90nnyk 二 f(Xk)ln =(b -a) CkR( f(X)=1, Pn(x) =1 二 Ck -1k=0k=0其中- J - (k=0,1，,4)，它具有5次代數(shù)精度。 3 Gauss-Legendre 求積公式在積分區(qū)間

6、a,b內(nèi)對積分節(jié)點不作限制，不取等距，積分節(jié)點和求積系數(shù) 都作為待定未知量。通過適當(dāng)選擇節(jié)點和求積系數(shù)，能構(gòu)造更有效的高精度求積 公式。b 3.1計算a f(x)dxn階求積公式nIn 工二 Af (Xi)i =0k若In有m次代數(shù)精度，對x (k=0,1，)應(yīng)有厶人胃+i = J巒仏二訐I” (kf)ab-Xim1dx a。nm 1送Ax：而V 3.2 Gauss求積公式的基本原理更一般形式：b1(f) = ( P(x)f(x)dx(2-1)(x)為權(quán)函數(shù)，設(shè)(x)0,且在a,b上可積，構(gòu)造n階求積公式:In 八 Af(Xji =0(2-2)積分點X.Xn使得(2-2)式達(dá)到2n+1次代數(shù)精

7、度，則積分點稱為Gauss點, (2-2)式稱為Gauss求積公式。 3.3 Gauss-Legendre 求積公式1 n(x)dx 八 Af(Xi)i 4求積分 Jf(x)dx，權(quán)數(shù)代x)=1, XE-其中 x(i=o ,1,n)是 n+1 階 Legendre 多項式 p*(x)的零點，求積系數(shù)為:Ai1Pn1(X) dX(X-Xi)Pn1(Xi)(i=o, 1,，n)具體Gauss-Legendre公式的插值節(jié)點和系數(shù)見表2 (其中n為插值節(jié)點個 數(shù)，為積分點，為對應(yīng)積分點的系數(shù))。表二Gauss-Legendre公式的插值節(jié)點和系數(shù)nn00200.56BS8S888891-5.5773

8、55269215-M3246951420jft.57 74 5966620.55555550.36076153700-5.23861913610.46791393463ttJ.86113631160.3478&464&160.10791230.1294 &496-0.338104360.6521451549-174153118560.27970539154+0.90617984590.2369+140584515140.3818 3Ott5OS-0.53646531010.47862867OS00.4179591837bI f (x)dx對一般區(qū)間a,b上的積分v 丿

9、，通過代換:1 1b - ax (a b)(b -a)tdxdt2 2 2將x- a, b轉(zhuǎn)換到t -1,1。再用Gauss-Legendre求積公式:bb _ aaf(x)dxp1 a 亠 b b - a (t)dt進(jìn)行積分求解第2章問題描述用NewtonCotes公式、Gauss-Legendre求下列積公式計算積分，并比較結(jié) 果：1 22dx01 x冬dx1 x 積分的第3章問題分析題目給出的是用 Newton Cotes公式、Gauss-Legendre求問題，為了實現(xiàn)題目要求，應(yīng)編寫Matlab程序，實現(xiàn)計算被積函數(shù)一在積分1+r區(qū)間0,1的積分，得到最終結(jié)果。最后將二者得到的結(jié)果進(jìn)

10、行比較，得出關(guān)與Newton Cotes公式、Gauss-Legendre求積公式精確度的結(jié)論。第4章求解計算 1Newtor Cotes公式求解的Matlab程序 1.1方法1：(1) 在 Matlab工作窗口中：fn=i nli ne(2(1+x.A2);y1= quad8(fn,0,1)運行結(jié)果為：y1=1.5078(2) 在Matlab工作窗口中：fn=i nli ne(1-1/2*(si n(x).A2).A(1/2); y2=quad8(fn,0,pi/2)運行結(jié)果為:y2 = 1.3506 1.2方法2：(1) 建立M文件：fun ctio n f=fn(x)f=2./(1+x.

11、A2)在Matlab工作窗口中調(diào)用函數(shù)：y1= quad8(fn,0,1)運行結(jié)果為y1=1.5078(2) 建立M文件：fun ctio n f=fn(x)f=(1-1/2*(si n(x).A2).A(1/2)在Matlab工作窗口中調(diào)用函數(shù)：y2=quad8(fn,0,pi/2)運行結(jié)果為：y2 = 1.3506 2 Gauss-Legendre求積公式求解的 Matlab程序 2.1Gauss-Legendre 方法的一些準(zhǔn)備Gauss-Lege ndre1 nf(x)dx 八 if(XJi =0具有2n+1次代數(shù)精度。當(dāng)n=2時，3階Gauss-Legendre公式P3(x)在-1，

12、 1上有三個零點：X0=0.7745967X1=0X2=-0.7745967即為高斯點發(fā)，對應(yīng)的Gauss求積系數(shù)為：0 =0.555555560. 888888890. 55555556對于任意區(qū)間(有界區(qū)間)a,b,將X，a，b轉(zhuǎn)換到T，1。再用Gauss-Legendre 求積公式：1 1b - ax (a b) (b -a)t dxdt2 2 2b. b -a 1 a b . b -ai f(x)dx=J f(+=t)dta 2 2 2進(jìn)行積分求解 2.2 n=2 的 Gauss-Legendre 方法(1) 先建立M文件：function g=gauss2(f un, a,b)h=(

13、b-a)/2;c=(a+b)/2;x=h*(-0.7745967)+c,c,h*0.7745967+c;g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1)+gaussf(x(3) +0.88888889*gaussf(x (2);function y=gaussf(x);y=2./(1+x.A2);在Matlab工作窗口中調(diào)用函數(shù)：y1= gauss2(gaussf,0,1)運行結(jié)果為：y1=1.5705(2) 先建立M文件：function g=gauss2(f un, a,b) h=(b-a)/2;c=(a+b)/2;x=h*(-0.7745967)+c,c,h*0.7745967+

14、c;g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1)+gaussf(x(3) +0.88888889*gaussf(x (2);function y=gaussf(x);y=(1-1/2*(si n(x).A2).A(1/2);在Matlab工作窗口中調(diào)用函數(shù)：y2=gauss2(gaussf,0,pi/2)運行結(jié)果為：y2= 1.3508第5章結(jié)論通過以上變成和計算，得到所求的兩組積分：diXs i n xdx應(yīng)用Newtor Cotes積分公式所求的結(jié)果分別是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而應(yīng)用 Gauss-Legendre 方法所求得的結(jié)果分別是 y1=1.5705 和 y2= 1.3508 。單 從結(jié)果上看，我們也能看出， Newton Cotes 積分公式和 Gauss-Legendre 積分 公式在精度上的確存在著差異（兩者 n 的取值不同）。而結(jié)果上的差異來源很明 顯是插值積分在近似替代時產(chǎn)生的， 結(jié)合第