120111PPPJJKJJJJJKJJYBXBXBX三、二次回歸正交設計二次回歸正交設計是一種具有正交、回歸、均勻和較好飽和程度的一種試驗設計方法，其特點是能以較少的試驗獲得較大量的信息，并可得出試驗目標與各試驗因素之間的一次效應、一次交互效應和二次項之間的關系，能夠滿足一般非線性問題的要求，從而使統計分析的結果更加完善。同時利用該方法還可根據求出的回歸方程，尋求最佳的工藝條件或搭配方案，使試驗設計達到最優化。當用一次回歸正交設計描述某一實際問題得到的回歸方程經檢驗為不顯著時，就需考慮用二次或更高次的回歸方程來描述。（一）二次回歸數學模型假設影響試驗目標的因素（自變量）有P個，則所求的二次回歸方程的一般形式為其中（1）、分別是一次項、一次交互作用JKJ2J項與二次項的編碼因素；（2）分別是與之相對應的回歸系數，顯然，0,JKJJB回歸系數的個數Q為12112212PPPPPPQCCP根據編碼空間的試驗設計方案和試驗結果，即可求得回歸系數，且試驗的次數就不能小于Q；同時，每個變量至少要取3個水平。如果因素水平多，則需做的試驗次數就增多，必如若考慮4個因素，每個因素3個水平，那么各種搭配組合的試驗都要做的話，則需做3481次試驗，而待確定的回歸系數有C24215個，如此多的試驗與待定參數在實際中是難以實現的，如果設計得不合理，則試驗次數與待定參數就會更多，因而很有必要對試驗進行設計，有很多設計可用于二次回歸數學模型，而二次回歸正交設計則是一種非常有效的處理方法2二次回歸正交組合設計（1）組合設計所謂組合設計就是在一次回歸設計的組合點（各試驗點）的基礎上，再增加一些特定的試驗點，把它們組合起來形成試驗方案。例如在一次回歸設計中，二因素的4個試驗是在因子空間正方形平面區域的四個頂點上進行的，三個因素的8個試驗是在因子空間正方體的八個頂點上進行的。而組合設計，對二因素再加5個特定的試驗點，共9個，對三因素再加7個特定的試驗點，共15個組合起來形成試驗方案（如圖所示）。根據二次回歸正交設計的要求，為區分隨機誤差和試驗誤差，應增加中心試驗重復次數（各因素都取零水平的中心點重復試驗）。一般來講，P個因素的組合設計的N個試驗都是由三部分組合而成，即NMC2PM0其中M0各因素都取零水平的中心點試驗的重復次數MC為圖中實點所示的二水平全因素試驗的試驗次數2P，它是一次回歸正交設計的所有試驗點。MC的取值規則為（I）當采取全因素試驗時，取MC2P（II）對于因素較多的試驗，如P4，也可采取部分實施計劃，此時MC2P1，2P2，如果是1/2實施，則取MC2P1；如果是1/4實施，則取MC2P2等。2P圖中分布在P個坐標軸上的星號點個數，這些點與中心點的距離R稱為星號臂，這個值是根據正交性的要求而確定的參數值,從圖中不難看出，加星號臂上的試驗仍具有均勻性和分散性這兩個特點。（2）星號臂R長度的確定為使組合設計成為正交設計也就是使設計的結構矩陣221NIJIJIJIZZ具有正交性，經數學推導可知，星號臂R長度必須滿足4202CCMRRP當MC2P（全實施）時，則有022CCMPMR即星號臂長R與因素的個數P,中心點試驗次數M0以及二水平試驗點數MC有關。實際應用中，R的值一般可通過查表（見表731）的方法得到。表731星號臂R2值表PMC2341/2451/2511000147613532000239025472116016571414219825802762313171831147123902770297441475200015252580295031835160621641575277031403391（3）各平方項中心化各自然變量X2J對應著規范變量Z2J，由于正交設計中，ZKZJ列的元素等于ZK與ZJ列元素的積，從而Z2J列的元素應等于ZJ元素的平方，即Z2IJZIJ2，但這樣作卻使得結構矩陣失去正交性，為保持組合設計的正交性，必須通過如下中心化變換方法152221115222291911815075461IIIIZZ把Z2IJ列變換為ZJ列，由此可構造出滿足得構造出正交設計要求的二次回歸正交設計表，例如表732所示。表732三因素二次回歸正交設計表（結構矩陣）P3、M01、MC238試驗號Z0Z1Z2Z3Z1Z2Z1Z3Z2Z3Z1Z2Z3111111110270270272111111102702702731111111027027027411111110270270275111111102702702761111111027027027711111110270270278111111102702702791121500000074607307310112150000007460746073111012150000073074607312101215000007307307313100121500007307307461410012150000730730746151000000073073073表中的有關數據的計算方法I星號臂長度R查表可得2476,47615RIIZJ的值說明由表732不難看出虛線以上的部分正好是三因素一01111,IJNNNNIJIJKJIKJIJIIIIBYZYBZYBZY0222111,IJJKJJJKJJJJJNNNJJIKJJIJIIIBBBBDDDZZZ其中次回歸正交表,即前8個試驗是在一次回歸正交設計中所做的試驗從第9號到14號這6個試驗則是在星號點上加做的試驗第15號是在中心點上做的試驗,因此,用二次回歸正交設計安排試驗除具有正交性的特點外,還具有這樣的優點,即試驗點比三水平全因素試驗要少許多,且仍能保持足夠的剩余自由度,供統計分析時用其次它是在一次回歸的基礎上獲得的,如果一次回歸不太理想時,那么只須在其基礎上,再在星號點和中心點處補充一些試驗,就可以求得二次回歸方程,這對于研究者來說是很有益處的3二次回歸正交組合設計的實施步驟1確定因素自然變量X1,X2,XP的變化范圍,并進行因素的水平編碼,給出因素的水平編碼表2選擇適當的二次回歸正交組合設計I先選定MC和M0，確定NMC2PM0II通過查表731或公式確定R，給出試驗設計方案III實施試驗，收集試驗結果3根據試驗資料數據計算回歸系數IBJ的計算IIBJ的計算222,JKJJJKJJJJJBBBUUDDD2211,1INNTITIITSYYFN1,NETJETUJSUUFFFIIIUJ計算4回歸方程的顯著性檢驗I總平方和II剩余平方和III回歸方程的檢驗統計量/,UUEEFFFFS對于給定的檢驗水平，若，則回歸效果,UEFF顯著，否則就是不顯著。IV回歸系數的檢驗統計量,/JKJJJKJJEEEUUFFFSFSFSF利用這些統計量可以判斷各回歸