2020學年度第二學期第一次考試高二年級理科數學試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（1）已知集合，為虛數單位，則復數 （A） （B） （C） （D）（2）已知函數的圖象在點處的切線方程是,則的值等于（A）1 （B） （C）3 （D）0（3）已知函數，則（A） （B） （C） （D）（4）某班數學課代表給全班同學出了一道證明題.甲說：“丙會證明.”乙說：“我不會證明.”丙說：“丁會證明.”丁說：“我不會證明.”以上四人中只有一人說了真話，只有一人會證明此題.根據以上條件，可以判定會證明此題的人是（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁（5）已知， 為虛數單位，若，則（A） （B） （C） （D）（6）函數的單調遞增區間是（A） （B） （C） （D）（7）函數的極大值為，那么的值是（A） （B） （C） （D）（8）以正弦曲線上一點為切點得切線為直線，則直線的傾斜角的范圍是（A） （B） （C） （D）（9）在復平面內，若所對應的點位于第二象限，則實數的取值范圍是（A） （B） （C） （D）（10）設是函數的導函數，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，錯誤的是 （11）若函數在上的最大值為，則（A） （B） （C） （D）（12）已知是定義在區間上的函數，其導函數為，且不等式恒成立，則 （A） （B） （C） （D）第II卷 二、填空題：本題共4小題，每小題5分.（13）若函數，則_（14）由曲線與直線所圍成圖形的面積等于_（15）觀察下列各式： ， ， ， ， ，則 （16）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則_.三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17）（本小題滿分12分） 已知復數，求分別為何值時，（1）是實數；（2）是純虛數；（3）當時，求的共軛復數.（18）（本小題滿分10分） 已知數列滿足(1)分別求的值；（2）猜想的通項公式，并用數學歸納法證明. （19）（本小題滿分12分） 已知函數在與處都取得極值(1)求函數的解析式；（2）求函數在區間的最大值與最小值（20）（本小題滿分12分） 已知函數f(x).(1)判斷函數的單調性；(2)若yxf(x)的圖象總在直線ya的上方，求實數a的取值范圍（21）（本小題滿分12分） 某商場為了獲得更大的利潤，每年要投入一定的資金用于廣告促銷.經調查，每年投入廣告費（百萬元），可增加的銷售額為（百萬元）.（1）若該商場將當年的廣告費控制在三百萬元以內，則應投入多少廣告費，才能使公司由廣告費而產生的收益最大？（注：收益=銷售額-投入費用）（2）現在該商場準備投入三百萬元，分別用于廣告促銷和技術改造.經預算，每投入技術改造費（百萬元），可增加的銷售額約為（百萬元），請設計一個資金分配方案，使該商場由這兩項共同產生的收益最大.（22）（本小題滿分12分） 已知函數（其中），（其中為自然對數的底數）.（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求的單調區間和極值；（2）若對任意，總存在使得成立，求實數的取值范圍.2020學年度第二學期第一次考試高二年級理科數學試題參考答案一、 選擇題題號123456789101112答案CCBBACADDDAB（1）【答案】C【解析】由MN4，知4M，故zi4，故z4i.（2）【答案】C【解析】由導數的幾何意義得所以=，故選C.（3）【答案】B（4）【答案】B【解析】如果甲會證明，乙與丁都說了真話，與四人中只有一人說了真話相矛盾，不合題意；排除選項 ；如果丙會證明，甲乙丁都說了真話，與四人中只有一人說了真話相矛盾，不合題意，排除選項；如果丁會證明，丙乙都說了真話，與四人中只有一人說了真話相矛盾，不合題意，排除選項 ，故選B.（5）【答案】A【解析】 ，則.（6）【答案】C【解析】，令，解得，所以函數的單調增區間為故選C（7）【答案】A【解析】，令可得，容易判斷極大值為.故選A.（8）【答案】D【解析】由題得，設切線的傾斜角為，則 ，故選D.（9）【答案】D【解析】整理得對應的點位于第二象限，則，解得.（10）【答案】D【解析】經檢驗，A：若曲線為原函數圖象，先減后增，則其導函數先負后正，正確；B：若一直上升的函數為原函數圖象，單調遞增，則其導函數始終為正，正確；C:若下方的圖象為原函數圖象，單調遞增，則其導函數始終為正，正確；D：若下方的函數為原函數，則其導函數為正，可知原函數應單調遞增，矛盾；若上方的函數圖象為原函數圖象，則由導函數可知原函數應先減后增，矛盾.故選D.（11）【答案】A當，即時， 在上單調遞減，故令，解得，符合題意綜上（12）【答案】B【解析】設函數，則，所以函數在上為減函數，所以，即，所以，故選B.二、填空題（13）【答案】 【解析】f(x)x3f(1)x2+x，f(x)x22f(1)x+1，f(1)12f(1)+1，f(1).（14）【答案】e 【解析】由已知面積S(exx)dxe1e.（15）123（16）【答案】【解析】設直線與曲線和的切點分別為，.由導數的幾何意義可得，得，再由切點也在各自的曲線上，可得聯立上述式子解得.三、解答題（17）解：（1）Z是實數， ，得 （2）Z是純虛數， ，且，得 （3）當時， ，得，得當時， ,得；當時， ,得(18) 解： (1），(2）猜想當n=1時命題顯然成立 假設命題成立，即當時命題成立綜合，當時命題成立（19）解：(1) ，由題意即 解得，經檢驗符合題意， (2)由(1)知， 令，得， 當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x21(1,2)2f(x)00f(x)6極大值極小值2由上表知fmax(x)f(2)2，fmin(x)f(2)6.（20）解：(I) 當 時，為增函數；當時，為減函數(2)依題意得，不等式對于恒成立令，則.當時，則是上的增函數；當時，則是上的減函數所以的最小值是，從而的取值范圍是（21）解：（1）設投入廣告費（百萬元）后由此增加的收益為（百萬元），則 ， .所以當時， ，即當商場投入兩百萬元廣告費時，才能使商場由廣告費而產生的收益最大.（2）設用于技術改造的資金為（百萬元），則用于廣告促銷的費用為（百萬元），則由此兩項所增加的收益為 .，令，得或（舍去）.當時， ，即在上單調遞增；當時， ，即在上單調遞減，當時， .故在三百萬資金中，兩百萬元用于技術改造，一百萬元用于廣告促銷，這樣商場由此