.2019屆廣西柳州市高三1月模擬考試數學（理）試題一、單選題1已知集合，則（ ）A B C D【答案】A【解析】求出直線與的交點，即可得到答案。【詳解】由題意，解得，故.故答案為A.【點睛】本題考查了集合的交集，兩直線的交點，屬于基礎題。2已知復數與為共軛復數，其中，為虛數單位，則（ ）A1 B C D【答案】D【解析】由共軛復數的概念可以得到，解方程即可得到，進而可以求出.【詳解】由題意得，解得，則，.故答案為D.【點睛】本題考查了共軛復數的知識，考查了復數的模，屬于基礎題。3關于函數，下列敘述正確的是（ ）A關于直線對稱 B關于點對稱C最小正周期 D圖象可由的圖像向左平移個單位得到【答案】C【解析】由輔助角公式可得，然后將代入可排除A、B，由可判斷C正確，將的圖像進行平移變換即可判斷D錯誤。【詳解】由題意，當時，不等于最值，也不等于0，故A、B都不正確，選項C正確，的圖像向左平移個單位得到,故選項D不正確。答案為C.【點睛】本題考查了三角函數的化簡，考查了三角函數的對稱軸、對稱中心、周期，以及三角函數的平移變換，屬于基礎題。4某地區不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高（cm）體重（kg）給出兩個回歸方程：（1）（2）通過計算，得到它們的相關指數分別為，則擬合效果最好的回歸方程是（ ）A BC兩個一樣好 D無法判斷【答案】A【解析】兩個變量的回歸模型中，它們的相關指數越接近1，這個模型的模擬效果越好，比較、，即可得到答案。【詳解】因為兩個變量的回歸模型中，它們的相關指數越接近1，這個模型的模擬效果越好，所以更好。【點睛】本題考查了相關指數的知識，根據所給的相關指數判斷模型的模擬效果，屬于基礎題。5設方程的根為表示不超過的最大整數，則=（ ）A B C D【答案】B【解析】構造函數，則它的零點為，結合的單調性即可判斷的取值范圍，從而得到答案。【詳解】構造函數，由于函數與在定義域上都是單調遞增函數，故在定義域上單調遞增，由，則函數的零點在（2，3）之間，故，故選B.【點睛】本題考查了函數零點問題，考查了函數的單調性，考查了對數函數的性質，屬于基礎題。6在區間內任取兩個實數與，則滿足的概率等于（ ）A B C D【答案】B【解析】點在邊長為1的正方形內部（含邊緣），滿足的點在圖中陰影部分，運用定積分方法即可求出陰影部分面積，然后利用幾何概型的概率公式即可得到答案。【詳解】由題意，點在邊長為1的正方形內部（含邊緣），正方形面積為1，滿足的點在圖中陰影部分，陰影部分面積為，則.【點睛】本題考查了利用定積分求幾何圖形面積，考查了利用幾何概型求概率，屬于基礎題。7已知數列的首項為，第2項為，前項和為，當整數時，恒成立，則等于（ ）A B C D【答案】D【解析】由，可以得到，從而可以證明是等差數列，即可求出.【詳解】由題意，時，則，即，又，故數列是以1為首項，2為公差的等差數列，.故答案為D.【點睛】本題考查了由遞推關系證明等差數列，考查了等差數列的通項公式、求和公式，考查了計算能力，屬于中檔題。8如圖，網格紙上正方形小格邊長為，圖中粗線畫的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積等于（ ）ABCD【答案】C【解析】由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐，作出圖形即可求出表面積。【詳解】該幾何體為四棱錐，如圖.選C.【點睛】本題考查了三視圖，考查了四棱錐的表面積，考查了學生的空間想象能力與計算能力，屬于基礎題。9某公司每月都要把貨物從甲地運往乙地，貨運車有大型貨車和小型貨車兩種。已知臺大型貨車與臺小型貨車的運費之和少于萬元，而臺大型貨車與臺小型貨車的運費之和多于萬元.則臺大型貨車的運費與臺小型貨車的運費比較（ ）A臺大型貨車運費貴 B臺小型貨車運費貴C二者運費相同 D無法確定【答案】A【解析】設大型貨車每臺運費萬元，小車每臺運費萬元，可得到，利用線性規劃知識，得到目標函數過時，最小，從而可判斷最小為0，即可得出答案。【詳解】設大型貨車每臺運費萬元，小車每臺運費萬元，依題意得過時，最小.，即，選A.【點睛】用線性規劃的方法來解決實際問題：先根據問題的需要選取起關鍵作用的關聯較多的量用字母表示，進而把問題中所有的量都用這兩個字母表示出來，建立數學模型，畫出表示的區域。10已知點是拋物線上的動點，以點為圓心的圓被軸截得的弦長為，則該圓被軸截得的弦長的最小值為（ ）A B C D【答案】D【解析】先設出圓心坐標，然后由圓被軸截得的弦長為可以表示出半徑，進而可以表示出圓的方程，然后可以將該圓被軸截得的弦長的表達式表示出來，進而求最小值即可。【詳解】設圓心，而，圓的方程為：，當時，得 .故選D.【點睛】求圓的弦長的常用方法：幾何法：設圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則r2d2；代數方法：運用韋達定理及弦長公式：|AB|x1x2|.11已知三點都在表面積為的球的表面上，若.則球內的三棱錐的體積的最大值為（ ）A B C D【答案】C【解析】先求出外接球的半徑，的外接圓半徑，即可求出球心到平面的距離，然后利用余弦定理及基本不等式可以得到，從而可以求出面積的最大值，即可求出三棱錐體積的最大值.【詳解】，在中，球心到平面的距離，設的角所對的邊分別為，由，得（當且僅當時取“=”），即，故三棱錐體積的最大值為，選C.【點睛】本題考查了外接球問題，考查了球的表面積，考查了解三角形知識，考查了利用基本不等式求最值，考查了計算能力，屬于中檔題。12若關于的不等式的解集為，且內只有一個整數，則實數的取值范圍是（ ）A BC D【答案】D【解析】不等式可化為，從而構造函數，求導可判斷函數的單調性，進而畫出函數的圖象，利用數形結合即可求出的取值范圍。【詳解】不等式，即，令，過點，當時，當時，為增函數，當時，為減函數，則的最小值為，記，記，因為，所以當時，不等式在內只有一個整數解為，滿足題意。故選D.【點睛】本題考查了不等式，通過構造函數并判斷函數單調性，利用數形結合思想是解決本題的關鍵，屬于難題。二、填空題13已知向量與是互相垂直的單位向量，設，若，則實數的值為_.【答案】【解析】由得，代入計算即可。【詳解】由題意，則，所以.【點睛】本題考查了向量垂直的性質，考查了向量的數量積，屬于基礎題。14設，則的展開式中的常數項為_.（用數字填寫）【答案】【解析】由定積分可以求出，然后寫出二項展開式的通項，即可求出常數項的值。【詳解】，則，展開式的通項為，當時得到常數項為，故答案為60.【點睛】本題考查了定積分的計算，考查了二項式定理的運用，考查了計算能力，屬于基礎題。15已知雙曲線的離心率為，左焦點為，點（為半焦距）. 是雙曲線的右支上的動點，且的最小值為.則雙曲線的方程為_.【答案】【解析】由，可知，而的最小值為，結合離心率為2，聯立計算即可。【詳解】設雙曲線右焦點為，則，所以，而的最小值為，所以最小值為，又，解得，于是，故雙曲線方程為.【點睛】本題考查了雙曲線的方程，雙曲線的定義，及雙曲線的離心率，考查了計算能力，屬于中檔題。16已知點在函數的圖象上（）.數列的前項和為，設，數列的前項和為.則的最小值為_【答案】【解析】先求出等比數列的通項公式，代入，即可得到等差數列的通項公式，然后利用等差數列的性質求前項和的最值即可。【詳解】點在函數圖象上，,是首項為，公比的等比數列，則，是首項為，公差為2的等差數列，當，即時，最小，即最小值為.【點睛】本題考查了等差數列及等比數列的通項公式與前項和公式，考查了等差數列的前項和的最值，考查了計算能力，屬于中檔題。三、解答題17的內角的對邊分別為，已知成等差數列.（1）求角；（2）若為中點，求的長.【答案】（1） (2) 【解析】（1）由等差數列性質得到，結合正弦定理可得，利用展開并化簡可求出，即可求出角；(2)利用余弦定理可先求出與，然后在中利用余弦定理即可求出.【詳解】（1）成等差數列，則，由正弦定理得：， ，即，因為，所以，又，.（2）在中，即，或（舍去），故，在中，在中，.【點睛】本題考查了正弦定理與余弦定理在解三角形中的運用，利用正弦定理進行邊角轉化與與余弦定理進行求值計算是本題的關鍵點，屬于中檔題。18我市為改善空氣環境質量，控制大氣污染，政府相應出臺了多項改善環境的措施.其中一項是為了減少燃油汽車對大氣環境污染.從2018年起大力推廣使用新能源汽車，鼓勵市民如果需要購車，可優先考慮選用新能源汽車.政府對購買使用新能源汽車進行購物補貼，同時為了地方經濟發展，對購買本市企業生產的新能源汽車比購買外地企業生產的新能源汽車補貼高.所以市民對購買使用本市企業生產的新能源汽車的滿意度也相應有所提高.有關部門隨機抽取本市本年度內購買新能源汽車的戶，其中有戶購買使用本市企業生產的新能源汽車，對購買使用新能源汽車的滿意度進行調研，滿意度以打分的形式進行.滿分分，將分數按照分成5組，得如下頻率分布直方圖. （1）若本次隨機抽取的樣本數據中購買使用本市企業生產的新能源汽車的用戶中有戶滿意度得分不少于分，把得分不少于分為滿意.根據提供的條件數據，完成下面的列聯表.滿意不滿意總計購本市企業生產的新能源汽車戶數購外地企業生產的新能源汽車戶數總計并判斷是否有的把握認為購買使用新能源汽車的滿意度與產地有關？（2）以頻率作為概率，政府對購買使用新能源汽車的補貼標準是：購買本市企業生產的每臺補貼萬元，購買外地企業生產的每臺補貼萬元.但本市本年度所有購買新能源汽車的補貼每臺的期望值不超過萬元.則購買外地產的新能源汽車每臺最多補貼多少萬元？附：，其中.【答案】（1）見解析；(2)購買外地產的新能源汽車每臺最多補貼萬元【解析】（1）利用頻率分布直方圖可求出列聯表中數據，代入公式即可求出，然后與表中數據比較即可判斷；(2)設購買新能源汽車的補貼每臺為萬元，則或，分別求出對應概率，即可得到對應的分布列，進而表示出期望的表達式，令，解不等式即可。【詳解】（1）根據樣本頻率分布直方圖可知：滿意度得分不少于分的用戶數：，又因為本市企業生產用戶有戶滿意，所以外地企業生產的用戶有戶滿意，得如下列聯表：滿意不滿意總計購買本市企業生產的新能源汽車戶數購買外地企業生產的新能源汽車戶數總計則，故沒有的把握認為購買使用新能源汽車的滿意度與產地有關。（2）設政府對購買新能源汽車的補貼每臺為萬元，則或，隨機變量的分布列為：則，由，即，即，解得，又因為，故，所以，購買外地產的新能源汽車每臺最多補貼萬元。【點睛】本題考查了頻率分布直方圖，考查了獨立性檢驗，考查了概率的計算、分布列及期望，考查了學生的數學應用意識、計算能力，屬于中檔題。19已知四棱錐中，底面為等腰梯形，丄底面.（1）證明：平面平面；（2）過的平面交于點，若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值.【答案】（1）見證明；（2）【解析】（1）先證明等腰梯形中，然后證明，即可得到丄平面，從而可證明平面丄平面；（2）由，可得到，列出式子可求出，然后建立如圖的空間坐標系，求出平面的法向量為，平面的法向量為，由可得到答案。【詳解】（1）證明：在等腰梯形，易得 在中，則有，故，又平面，平面，即平面，故平面丄平面.（2）在梯形中，設， ，而,即，.以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖的空間坐標系，則，設平面的法向量為，由得，取，得，同理可求得平面的法向量為，設二面角的平面角為，則，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了兩平面垂直的判定，考查了利用空間向量的方法求二面角，考查了棱錐的體積的計算，考查了空間想象能力及計算能力，屬于中檔題。20已知點，直線為平面內的動點，過點作直線的垂線，垂足為點，且.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線與分別交軌跡于四點.求的取值范圍.【答案】（1） (2) 【解析】（1）設動點，則，由展開計算得到的關系式即可；(2)當直線的斜率不存在（或者為0）時，可求出四點坐標，即可得到；當直線的斜率存在且不為0時，設為，直線的方程為，與軌跡的方程聯立，結合根與系數的關系可得到+的表達式，然后利用函數與導數知識可求出的取值范圍。【詳解】（1）設動點，則，由，則，所以，化簡得.故點的軌跡的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，軸，可設，當直線的斜率為0時，軸，同理得， 當直線的斜率存在且不為0時，設為，則直線的方程為：，設，由得:， 則所以，則，直線的方程為：，同理可得：，所以令，則，由，得；，得；在上單調遞減，在上單調遞增，又，故.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】本題考查了軌跡方程的求法，考查了向量的數量積，考查了直線與橢圓統合問題，考查了學生分析問題、解決問題的能力，及計算能力，屬于難題。21已知函數，.（1）討論的單調性；（2）定義：對于函數，若存在，使成立，則稱為函數的不動點.如果函數存在不動點，求實數的取值范圍.【答案】(1)見解析；(2) 【解析】(1)對函數求導，結合二次函數的性質討論的范圍，即可判斷的單調性；(2)由存在不動點，得到有實數根，即有解，構造函數令，通過求導即可判斷的單調性，從而得到的取值范圍，即可得到的范圍。【詳解】(1)的定義域為，對于函數，當時，即時，在恒成立.在恒成立.在為增函數；當，即或時， 當時，由，得或，在為增函數，減函數.為增函數，當時，由在恒成立，在為增函數。綜上，當時，在為增函數，減函數，為增函數；當時，在為增函數。（2），存在不動點，方程有實數根，即有解，令，令，得，當時，單調遞減； 當時，單調遞增； ， 當時，有不動點，的范圍為.【點睛】導數式含參數時，如何討論參數范圍而確定到數值的正負是解決這類題的難點，一般采用求根法和圖像法。22在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程，曲線的參數方程；（2）若分別為曲線，上的動點，求的最小值，并求取得最小值時，點的直角坐標.【答案】(1) ,的參數方程為（為參數）. (2) 【解析】(1)由參