高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省南充市2023-2024學年高二下學期期末學業質量監測數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將簽索寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將答題卡交回．第Ⅰ卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.從A村去B村的道路有2條，從B村去C村的道路有3條，則從A村經B村再去C村，不同路線的條數是（）A.5 B.6 C.8 D.9【答案】B【解析】由題意從A村經B村再去C村，不同路線的條數是條.故選：B.2.在等差數列中，，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】因為是等差數列，所以,所以.故選：D.3.已知隨機變量服從正態分布，且，則（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6【答案】A【解析】因為隨機變量服從正態分布，所以正態密度曲線關于對稱，.故選：.4.對四組數據進行統計，獲得以下散點圖，則關于其相關系數的比較，正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由散點圖可知第1，3圖表示的正相關，且第3個圖中的點比第1個圖中的點分布更為集中，所以，第2，4圖表示的負相關，且第4個圖中的點比第2個圖中的點分布更為集中，所以，所以，綜上所述，.故選：C.5.二項式的展開式中常數項為（）A.6 B.12 C.15 D.30【答案】C【解析】二項式的通項公式為，令，解得，則展開式中常數項為，故選:C.6.袋子中有10個除顏色外完全相同的小球，其中有4個白球，6個黑球，每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回．則在第一次摸到白球的條件下，第二次摸到黑球的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】記第一次摸到白球為事件，第二次摸到黑球為事件，則，，故．故選：D．7.為了研究某校學生的腳長（單位：厘米）和身高（單位；厘米）的關系，從該校隨機抽取20名學生，根據測量數據的散點圖可以看出與之間有線性相關關系，設其經驗回歸方程為．已知，若該校某學生的腳長為23，據此估計其身高為（）A.162 B.164 C.168 D.170【答案】A【解析】，所以，解得．所以回歸方程為，當時，．故選：A．8.定義在的函數滿足，且當時，．設在上的最大值為，其數列的前項積為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，定義在的函數滿足，即，因為當時，，所以當，函數，則當時，的最大值為；當時，的最大值為；當時，的最大值為；當時，的最大值為，所以，可得，當時，可得，所以當時，，可得；當時，，可得，當時，，可得；當時，由指數函數的性質，可得，所以，即，所以的最大值為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中．有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.把一枚質地均勻的骰子連續拋四次，設出現點數為奇數點的次數為，則下列結論中正確的是（）A.服從超幾何分布 B.服從二項分布C. D.若，則【答案】BD【解析】對于AB，根據題意可知擲一次骰子相當于一次獨立重復試驗，且每次試驗出現點數為奇數點的概率為，所以連續試驗四次骰子相當于4次獨立重復試驗，則隨機變量服從二項分布，所以A錯誤，B正確，對于C，因為，所以，所以C錯誤，對于D，因為，所以，所以，所以D正確，故選：BD10.已知，則下列結論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為，所以.又，，，所以ABD正確，C錯誤；故選：ABD11.已知函數，則下列結論中正確的是（）A.當時，恒成立B.若，使得成立，則實數的取值范圍為C.若，則必有兩個不同的零點D.若有兩個不同的零點，則【答案】ACD【解析】對于A，當時，，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以A正確，對于B，，使得成立，則，使成立，令，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以，所以B錯誤，對于C，由，得，令，由選項B可知在上遞增，在上遞減，，當時，，當時，，所以的大致圖象如圖所示，由圖可知當時，與的圖象有兩個不同的交點，則有兩個不相等的零點，所以C正確，對于D，不妨設，因為有兩個不同的零點，所以，即，所以，要證，只要證，即證，所以只要證，即，令，則，所以只要證，令，則，令，則，所以在上遞增，所以，所以，所以在上遞增，所以，所以，所以，所以D正確，故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，若三個數成等比數列，則______．【答案】【解析】因三個數成等比數列，所以，即.故答案為：.13.已知函數的導函數為，定義方程的實數根叫做函數的“新不動點”．設，則在區間上的“新不動點”為______．【答案】【解析】由，得，由，得，，得，所以，因為，所以，所以，得，所以在區間上的“新不動點”為.故答案為：14.某城區學校派出甲、乙等六名教師去三所鄉村學校支教，根據相關要求，每位教師只能去一所學校參與支教，并且每所學校至少有一名教師參與支教，同時要求甲乙兩名教師必須去同一所學校支教，則不同的安排方案有______種．【答案】150【解析】當甲乙兩位教師到一所學校時，則不同的分配方案種數為，當甲乙和另外一名共三位教師到一所學校時，則不同的分配方案種數為，當甲乙和另外兩名共四位教師到一所學校時，則不同的分配方案種數為，則不同的分配方案種數共有．故答案為：150．第Ⅱ卷四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數列是等差數列，且是數列的前項和.（1）求數列通項公式；（2）設，數列的前項和，求證：.解：（1）由于則，則，因此，故數列的通項公式為.（2）由（1）知，，則，則，即.，由于n∈N*，則，故成立.16.已知函數．（1）求在處的切線方程；（2）求函數在區間上的最值．解：（1），故切點是，由得，故切線方程是：，即（2），令，解得：或2，，f'x，的變化如下：22,3f00遞增極大值遞減極小值遞增而，，，，故函數的最大值是，最小值是．17.已知是數列的前項和，且滿足．（1）證明：數列是等比數列；（2）設，求數列的前項和．解：（1），當時，，解得，當時，，，兩式相減得，，所以，故是首項為，公比為的等比數列.（2）由（1）可知，，所以，，則，兩式相減得，，所以.18.為了研究學生數學成績與整理數學錯題是否有關，某課題組在某市中學生中隨機抽取了100名學生調查了他們本期期中考試的數學成績和平時整理數學錯題情況，將所得數據整理如下表：數學成績優秀數學成績不優秀合計經常整理錯題402060不經常整理錯題202040合計6040100（1）依據的獨立性檢驗，能否認為該市中學生數學成績優秀與經常整理數學錯題有關？（2）用頻率估計概率，在該市中學生中按“經常整理錯題”與“不經常整理錯題”用等比例分層抽樣隨機抽取5名學生，再從這5名學生中隨機抽取2人進行座談．①用表示抽取的2人中經常整理錯題的人數，求的分布列和數學期望及方差；②求抽取的這2名學生中恰有1名學生經常整理錯題且數學成績優秀的概率．附：．其中．獨立性檢驗中5個常用的小概率值和相應的臨界值表：0.10050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設為該市中學生數學成績優秀與經常整理數學錯題無關.根據列聯表中數據，經計數得到根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷零假設不成立，所以能認為數學成績優秀與經常整理數學錯題有關聯.（2）①由等比例的分層抽樣知，隨機抽取的5名學生中經常整理錯題的有3人，不經常整理錯題的有2人.的可能取值為.，則的分布列為012數學期望.方差；②設“這2名學生中經常整理錯題的人數為i人”()，“這2名學生中恰有1名次同學經常整理錯題且數學成績優秀”則，據全概率公式得：.所以這2名同學中恰有1名同學經常整理錯題且數學成績優秀的概率為.19.函數的單調性反映在圖象上，就是曲線的上升或下降．但曲線在上升或下降的過程中，還有一個彎曲方向的問題，即函數的凹凸性．函數的凹凸性可以用連接曲線上任意兩點的弦的中點與曲線上相應點（即具有相同橫坐標的點）的位置關系來描述定義如下：設在區間上連續，如果對上任意兩點恒有，則稱在區間上的圖形是凹的【圖1】，區間為凹的區間；設在區間上連續，如果對上任意兩點恒有，則稱在區間上的圖形是凸的【圖2】．區間為凸的區間；關于導數與函數的凹凸性的關系，有如下定理：設在區間上連續，在區間上具有一階和二階導數，那么①如果在上恒有，則在區間上圖象是凹的；如果在區間上的圖象是凹的，則在上恒有；②如果在上恒有，則在區間上的圖象是凸的；如果在區間上的圖象是凸的，則在上恒有其中f'x是的導函數，為的一階導數：f″x是f'根據以上內容，完成如下問題：（1）求函數的凹的區間和凸的區間；（2）若在區間上圖象是凹的，求實數的取值范圍；（3）證明：．解：（1），令，解得或；令，解得0<x<23.因此，函數的凹的區間是和，凸的區間是.（2），在區間上圖象是凹的，，即.所以，即.令，即函數在上單調遞減.所以，因此，實數的取值范圍是.（3），構造函數，令，解得，易知函數在上單調遞增，在上單調遞減.所以，因此，，當且僅當時取等號.構造函數，令，則，易知函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因此，當且僅當時取等號.綜上，.四川省南充市2023-2024學年高二下學期期末學業質量監測數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將簽索寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將答題卡交回．第Ⅰ卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.從A村去B村的道路有2條，從B村去C村的道路有3條，則從A村經B村再去C村，不同路線的條數是（）A.5 B.6 C.8 D.9【答案】B【解析】由題意從A村經B村再去C村，不同路線的條數是條.故選：B.2.在等差數列中，，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】因為是等差數列，所以,所以.故選：D.3.已知隨機變量服從正態分布，且，則（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6【答案】A【解析】因為隨機變量服從正態分布，所以正態密度曲線關于對稱，.故選：.4.對四組數據進行統計，獲得以下散點圖，則關于其相關系數的比較，正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由散點圖可知第1，3圖表示的正相關，且第3個圖中的點比第1個圖中的點分布更為集中，所以，第2，4圖表示的負相關，且第4個圖中的點比第2個圖中的點分布更為集中，所以，所以，綜上所述，.故選：C.5.二項式的展開式中常數項為（）A.6 B.12 C.15 D.30【答案】C【解析】二項式的通項公式為，令，解得，則展開式中常數項為，故選:C.6.袋子中有10個除顏色外完全相同的小球，其中有4個白球，6個黑球，每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回．則在第一次摸到白球的條件下，第二次摸到黑球的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】記第一次摸到白球為事件，第二次摸到黑球為事件，則，，故．故選：D．7.為了研究某校學生的腳長（單位：厘米）和身高（單位；厘米）的關系，從該校隨機抽取20名學生，根據測量數據的散點圖可以看出與之間有線性相關關系，設其經驗回歸方程為．已知，若該校某學生的腳長為23，據此估計其身高為（）A.162 B.164 C.168 D.170【答案】A【解析】，所以，解得．所以回歸方程為，當時，．故選：A．8.定義在的函數滿足，且當時，．設在上的最大值為，其數列的前項積為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，定義在的函數滿足，即，因為當時，，所以當，函數，則當時，的最大值為；當時，的最大值為；當時，的最大值為；當時，的最大值為，所以，可得，當時，可得，所以當時，，可得；當時，，可得，當時，，可得；當時，由指數函數的性質，可得，所以，即，所以的最大值為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中．有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.把一枚質地均勻的骰子連續拋四次，設出現點數為奇數點的次數為，則下列結論中正確的是（）A.服從超幾何分布 B.服從二項分布C. D.若，則【答案】BD【解析】對于AB，根據題意可知擲一次骰子相當于一次獨立重復試驗，且每次試驗出現點數為奇數點的概率為，所以連續試驗四次骰子相當于4次獨立重復試驗，則隨機變量服從二項分布，所以A錯誤，B正確，對于C，因為，所以，所以C錯誤，對于D，因為，所以，所以，所以D正確，故選：BD10.已知，則下列結論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為，所以.又，，，所以ABD正確，C錯誤；故選：ABD11.已知函數，則下列結論中正確的是（）A.當時，恒成立B.若，使得成立，則實數的取值范圍為C.若，則必有兩個不同的零點D.若有兩個不同的零點，則【答案】ACD【解析】對于A，當時，，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以A正確，對于B，，使得成立，則，使成立，令，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以，所以B錯誤，對于C，由，得，令，由選項B可知在上遞增，在上遞減，，當時，，當時，，所以的大致圖象如圖所示，由圖可知當時，與的圖象有兩個不同的交點，則有兩個不相等的零點，所以C正確，對于D，不妨設，因為有兩個不同的零點，所以，即，所以，要證，只要證，即證，所以只要證，即，令，則，所以只要證，令，則，令，則，所以在上遞增，所以，所以，所以在上遞增，所以，所以，所以，所以D正確，故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，若三個數成等比數列，則______．【答案】【解析】因三個數成等比數列，所以，即.故答案為：.13.已知函數的導函數為，定義方程的實數根叫做函數的“新不動點”．設，則在區間上的“新不動點”為______．【答案】【解析】由，得，由，得，，得，所以，因為，所以，所以，得，所以在區間上的“新不動點”為.故答案為：14.某城區學校派出甲、乙等六名教師去三所鄉村學校支教，根據相關要求，每位教師只能去一所學校參與支教，并且每所學校至少有一名教師參與支教，同時要求甲乙兩名教師必須去同一所學校支教，則不同的安排方案有______種．【答案】150【解析】當甲乙兩位教師到一所學校時，則不同的分配方案種數為，當甲乙和另外一名共三位教師到一所學校時，則不同的分配方案種數為，當甲乙和另外兩名共四位教師到一所學校時，則不同的分配方案種數為，則不同的分配方案種數共有．故答案為：150．第Ⅱ卷四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數列是等差數列，且是數列的前項和.（1）求數列通項公式；（2）設，數列的前項和，求證：.解：（1）由于則，則，因此，故數列的通項公式為.（2）由（1）知，，則，則，即.，由于n∈N*，則，故成立.16.已知函數．（1）求在處的切線方程；（2）求函數在區間上的最值．解：（1），故切點是，由得，故切線方程是：，即（2），令，解得：或2，，f'x，的變化如下：22,3f00遞增極大值遞減極小值遞增而，，，，故函數的最大值是，最小值是．17.已知是數列的前項和，且滿足．（1）證明：數列是等比數列；（2）設，求數列的前項和．解：（1），當時，，解得，當時，，，兩式相減得，，所以，故是首項為，公比為的等比數列.（2）由（1）可知，，所以，，則，兩式相減得，，所以.18.為了研究學生數學成績與整理數學錯題是否有關，某課題組在某市中學生中隨機抽取了100名學生調查了他們本期期中考試的數學成績和平時整理數學錯題情況，將所得數據整理如下表：數學成績優秀數學成績不優秀合計經常整理錯題402060不經常整理錯題202040合計6040100（1）依據的獨立性檢驗，能否認為該市中學生數學成績優秀與經常整理數學錯題有關？（2）用頻率估計概率，在該市中學生中按“經常整理錯題”與“不經常整理錯題”用等比例分層抽樣隨機抽取5名學生，再從這5名學生中隨機抽取2人進行座談．①用表示抽取的2人中經常整理錯題的人數，求的分布列和數學期望及方差；②求抽取的這2名學生中恰有1名學生經常整理錯題且數學成績優秀的概率．附：．其中．獨立性檢驗中5個常用的小概率值和相應的臨界值表：0.10050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設為該市中學生數學成績優秀與經常整理數學錯題無關.根據列聯表中數據，經計數得到根據小概率