摘要單循環(huán)賽是一種全面而公平的競賽機制，賽程安排的恰當與否，在很大程度上影響比賽的結(jié)果。本文主要針對單循環(huán)賽的最優(yōu)賽程安排方案建立相應(yīng)的數(shù)學模型，給出最優(yōu)賽程的安排方案。 對于問題一，通過直接拼湊的方法得出符合題目要求的關(guān)于5支隊伍的賽程安排：(A,B),(C,D),(A,E),(B,C),(D,E),(A,C),(B,D),(C,E),(A,D),(B,E)。對于問題二，則是通過參賽隊伍數(shù)與各隊每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限之間的數(shù)量關(guān)系，列出相應(yīng)的不等式，解不等式得即為問題二的結(jié)果，并通過MATLAB軟件編程驗證。針對問題三，我們建立了1號位置固定逆時針輪轉(zhuǎn)法模型，基于參賽隊數(shù)的奇偶性的算法差異，通過MATLAB軟件編程求出部分結(jié)果如下：參賽隊伍為8支時的賽程安排：(1,5),(2,6),(3,7),(4,8),(1,6),(5,7),(2,8),(3,4),(1,7),(6,8),(5,4), (2,3),(1,8),(7,4),(6,3),(5,2),(1,4),(8,3),(7,2),(6,5),(1,3),(4,2), (8,5),(7,6),(1,2),(3,5),(4,6),(8,7).針對問題四，通過各間隔場次與平均相隔場次的偏差(整個賽程相隔場次數(shù)的最大偏差,球隊之間相隔場次的最大偏差)來度量各隊每兩場比賽相隔場次的“均勻性”，進而衡量問題三所求賽程的優(yōu)劣。檢驗結(jié)果：計算8支隊伍的賽程得,；計算9支隊伍的賽程得,。結(jié)果表明,問題三所得的兩個賽程都達到了、下界。關(guān)鍵詞：單循環(huán)賽；數(shù)學模型；MATLAB；逆時針輪轉(zhuǎn)法AbstractSingle round robin is a comprehensive and fair competition mechanism, and schedule an appropriate or not, to a great extent, affect the result of the game.This article mainly aims at the optimal schedule of the single round robin scheme to establish the corresponding Mathematical model of optimal schedule arrangement scheme is given.For question one, it is concluded that conform to the requirements of the subject by using the method of directly to piece together the team consists of about 5 schedule: (A, B), (C, D), (A, E), (B, C), (D, E), (A, C), (B, D), (C, E), (A, D), (B, E).For question two, it is through the Quantitative relationship between the number of the teams n and the upper limit r of every two games by all the teams,lists the corresponding inequalities ，inequality in to is the results of the question 2，then verify it by MATLAB software programming.For question three, we established the model no. 1 position fixed counterclockwise rotation method, based on the parity of the competing teams number difference algorithm, through the MATLAB software programming and the part results are as follows:Teams of eight schedule:(1,5),(2,6),(3,7),(4,8),(1,6),(5,7),(2,8),(3,4),(1,7),(6,8),(5,4),(2,3),(1,8),(7,4),(6,3),(5,2),(1,4),(8,3),(7,2),(6,5),(1,3),(4,2),(8,5),(7,6),(1,2),(3,5),(4,6),(8,7).For question four,it is through the deviation between the every interval number and the average interval number (The whole Schedules interval number maximum deviationand interval number maximum deviation between the teams) measuring teams separated by session every two games uniformity,And then measuring the pros and cons of the schedule which worked out by the problem three.The inspection results：Computing 8 team consists of the schedule，,；Computing 9 team consists of the schedule，,.The results show that the two schedule which worked out by the problem three has reached and s lower bound.Keywords：Single round robin ;Mathematical model ;MATLAB; Counter clockwise rotation method目錄第一章 前言11.1數(shù)學建模介紹11.2 單循環(huán)賽介紹21.3 MATLAB的介紹21.4 本文研究內(nèi)容與章節(jié)安排3第二章 問題背景及重述52.1問題背景52.2問題重述5第三章 模型假設(shè)與符號說明73.1模型的假設(shè)73.2符號的說明7第四章 問題分析84.1對問題一的分析84.2對問題二的分析84.3對問題三的分析84.4對問題四的分析8第五章 模型建立與求解105.1問題一的模型建立與求解105.2問題二的模型建立與求解125.3問題三的模型建立與求解135.4問題四的模型建立與求解17第六章 模型的評價196.1模型的優(yōu)點196.2模型的缺點19第七章 模型的改進與推廣207.1模型的改進207.2模型的推廣20總結(jié)21致謝22參考文獻23附錄24第一章 前言1.1數(shù)學建模介紹數(shù)學模型（Mathematical Model）是一種模擬，通過用數(shù)學符號、數(shù)學公式、程序、圖形等對實際問題的抽象而又簡潔的刻劃，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預測某些事物未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某些事物的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略。數(shù)學模型一般并非現(xiàn)實問題的直接闡述，它的建立既需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學知識，又需要人們對現(xiàn)實問題深入細微的觀察和分析。從實際課題中抽象、提煉出數(shù)學模型的過程就稱為數(shù)學建模（Mathematical Modeling）。數(shù)學建模的過程主要分為以下幾步： 1）模型準備。首先了解問題的實際背景，收集對象的各種信息，明確建模的目的及要求。要求符合數(shù)學理論，符合數(shù)學習慣，清晰準確。 2）模型假設(shè)。為了利用數(shù)學方法，通常要根據(jù)實際對象的特征和建模目的，對問題進行必要的、合理的假設(shè)。 3）模型建立。在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當?shù)臄?shù)學工具來刻劃各變量常量之間的數(shù)學關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學結(jié)構(gòu)（盡量用簡單的數(shù)學工具）。 4）模型求解。結(jié)合上一步所建立的模型以及所有獲取的數(shù)據(jù)資料參數(shù)做出計算（或近似計算）。 5）模型分析。對建模過程的思路進行闡述，對所得的結(jié)果進行分析，特別要注意當數(shù)據(jù)變化時所得結(jié)果的穩(wěn)定性。 6）模型檢驗。分析結(jié)果的實際意義，并與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際吻合較差，則應(yīng)該修改、補充假設(shè)或重新建模，不斷完善。 7）模型應(yīng)用與推廣。所建立的模型必須經(jīng)過實際應(yīng)用的錘煉，在應(yīng)用中不斷的改進與完善。模型的推廣就是在原有模型的基礎(chǔ)上，進一步的對模型的應(yīng)用范圍進行分析，結(jié)合實際需求將模型應(yīng)用到更多的領(lǐng)域中。不論是用數(shù)學方法在科技和生產(chǎn)領(lǐng)域解決哪類實際問題，還是與其它學科相結(jié)合形成交叉學科，首要的和關(guān)鍵的一步是建立研究對象的數(shù)學模型，并加以計算求解（通常借助計算機）。數(shù)學建模和計算機技術(shù)在知識經(jīng)濟時代的作用可謂是如虎添翼。1.2 單循環(huán)賽介紹 單循環(huán)賽制，是指在所有參賽隊伍之間都需要進行一場對決，最后按各隊在競賽中的勝負場次、得分情況來名次排列。 單循環(huán)要求參賽隊數(shù)不太多，足夠的時間跨度容量才能采用。單循環(huán)是一種比較公平合理的比賽制度，主要體現(xiàn)在各參賽隊伍都有相遇比賽的機會。一般單循環(huán)賽通常采用的編排方法有三種： 1）固定輪轉(zhuǎn)編排。固定輪轉(zhuǎn)法也叫常規(guī)輪轉(zhuǎn)法。首先參賽隊數(shù)分為兩邊，然后以左邊第一號固定不動，其余隊伍逆時針轉(zhuǎn)動，逐一排出。固定輪轉(zhuǎn)編排是我國傳統(tǒng)的編排方法。 2）一般編排方法。采用“逆時針輪轉(zhuǎn)方法”進行編排，先把隊名以阿拉伯數(shù)字進行編號代替。把隊數(shù)分成均等兩邊整體呈U型走向，兩邊需要對齊，如遇單數(shù)隊，用數(shù)字0補齊成為偶數(shù)。第一輪即定為U形相對隊伍進行比賽。第二輪開始固定左上角1數(shù)字，其余數(shù)字均按逆時針方向移動一個位置，即為第二輪比賽秩序，以后各輪比賽秩序以此類推。遇O隊數(shù)即輪空隊。 3）貝格爾編排法。“貝格爾”編排法（Beiger Arrangement）編排時與“逆時針輪轉(zhuǎn)法”一樣如果參賽隊為雙數(shù)時，把參賽隊數(shù)分兩邊，參賽隊為單數(shù)時，最后以“0”補齊為雙數(shù)，整體呈U型走向。第一輪也是為U形相對隊伍進行比賽。第二輪將第一輪右上角的編號(“0”或最大的一個代號數(shù))移到左角上，三輪又移到右角上，以此類推。1.3 MATLAB的介紹 MATLAB是matrix&laboratory兩個詞的組合，意為矩陣工廠（矩陣實驗室）。是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設(shè)計的高科技計算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學研究、工程設(shè)計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當今國際科學計算軟件的先進水平。 MATLAB和Maple、Mathematica并稱為三大數(shù)學軟件。它在數(shù)學類科技應(yīng)用軟件中在數(shù)值計算方面首屈一指。MATLAB可以進行繪制函數(shù)、矩陣運算和實現(xiàn)算法、數(shù)據(jù)、連接其他編程語言的程序、創(chuàng)建用戶界面等，主要應(yīng)用于工程計算、信號檢測、信號處理與通訊、控制設(shè)計、金融建模設(shè)計與分析、圖像處理等領(lǐng)域。 MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達式與數(shù)學、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用FORTRAN、C等語言完成相同的事情簡捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等軟件的優(yōu)點，使MATLAB成為一個強大的數(shù)學軟件。在新的版本中也加入了對C，C+，F(xiàn)ORTRAN，JAVA的支持，可以直接調(diào)用。用戶也可以將自己編寫的實用程序?qū)氲組ATLAB函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用，此外許多的MATLAB愛好者都編寫了一些經(jīng)典的程序，用戶直接進行下載就可以用。 總的來說MATLAB具有以下幾個優(yōu)勢特點： 1）具有完備的圖形處理功能，實現(xiàn)計算結(jié)果和編程的可視化； 2）高效的數(shù)值計算及符號計算功能，能使用戶從繁雜的數(shù)學運算分析中解脫出來； 3）應(yīng)用工具箱功能豐富（如通信工具、信號處理工具箱箱等），為用戶提供了大量方便實用的處理工具。 4）友好的用戶界面及接近數(shù)學表達式的自然化語言，使學者易于學習和掌握。1.4 本文研究內(nèi)容與章節(jié)安排本文主要是通過建立1號位置固定逆時針輪轉(zhuǎn)模型，對一般單循環(huán)賽程的安排問題給出了一個較公平合理，又方便快捷易于操作的解決方法。第1章 前言，主要是對數(shù)學建模、單循環(huán)賽、MATLAB軟件的一些基本介紹，其中包括數(shù)學建模的本質(zhì)與數(shù)學建模的過程的簡單介紹；單循環(huán)賽與單循環(huán)賽常用編排方法的介紹；以及MATLAB軟件的一些基本內(nèi)容與MATLAB的幾個優(yōu)勢特點的介紹。第二章問題背景及重述，主要是介紹問題產(chǎn)生的背景以及對我們所要解決的具體問題的重述。第三章模型假設(shè)與符號說明，模型假設(shè)主要是提出一些客觀的問題并排除，為模型的建立提供一個比較理想環(huán)境。符號說明是對本文中所用到的一些符號進行說明便于閱讀者對本文內(nèi)容的理解。第四章問題分析，逐個對題目問題進行分析，確定結(jié)題的思路與方法。第五章模型建立與求解，根據(jù)問題分析所得的方案，對各個問題科學的進行詳盡的建模與求解，并通過MATLAB編程驗證其結(jié)果的準確性。第六章模型的評價，對建立的模型進行客觀的評價，指出模型的優(yōu)點與缺點。第七章模型的改進與推廣，模型的改進就是結(jié)合實際賽程安排的必須注意因素，對模型的缺點進行科學的修改。模型的推廣就是基于本類問題指出本次建立的模型的可使用性，講模型推到更多的領(lǐng)域上去。26第二章 問題背景及重述2.1問題背景當今社會，隨著經(jīng)濟的增長和科學技術(shù)的發(fā)展，人們的生活水平不斷的提高，體育競賽也在日趨緊張的現(xiàn)代生活中被人們提到了越來越重要的位置。北京奧運會的成功更加提升了體育在人們生活中的份量，體育活動在生活中起著舉足輕重的作用。而這些體育運動中，公平性又顯得尤其重要。特別是在對抗性強的單循環(huán)比賽中，賽程安排的不同，對比賽結(jié)果響很大。本文主要著手于最優(yōu)賽程安排方案，盡量給出賽程安排使得對每支球隊來說都很公平。2.2問題重述假設(shè)你所在的年級有5個班，每班一支球隊在同一塊場地上進行單循環(huán)賽（所謂單循環(huán)賽是所有參加比賽的隊均能相遇一次，最后按各隊在全部比賽中的積分、得失分率排列名次）要進行10場比賽。 如何安排賽程使對各隊來說都盡量公平呢？下面是隨便安排的一個賽程: 記5支球隊為A、B、C、D、E，在下表左半部分的右上三角的10個空格中, 隨手填上1、2、3.10，就得到一個賽程, 即第1場A對B, 第2場B對C，.，第10場C對E。為方便起見將這些數(shù)字沿對角線對稱地填入左下三角。 這個賽程的公平性如何呢, 不妨只看看各隊每兩場比賽中間得到的休整時間是否均等。 表的右半部分是各隊每兩場比賽間相隔的場次數(shù), 顯然這個賽程對A, 有利E, 對D則不公平。A B C D E每兩場比場間相隔場次數(shù)A 1 9 3 6 1，2，2B 1 2 5 80，2，2C 9 2 7 104，1，0D 3 5 7 40，0，1E 6 8 10 4 1，1，1表一從上面的例子出發(fā)討論以下問題:問題一：對于5支球隊的比賽, 給出一個各隊每兩場比賽中間都至少相隔一場的賽程。問題二：當支球隊比賽時, 各隊每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限是多少。問題三：在達到2) 的上限的條件下, 給出,的賽程, 并說明它們的編制過程。問題四：除了每兩場比賽間相隔場次數(shù)這一指標外, 你還能給出哪些指標來衡量一個賽程的優(yōu)劣, 并說明3) 中給出的賽程達到這些指標的程度。第三章 模型假設(shè)與符號說明3.1模型的假設(shè)1 假設(shè)任意一場比賽都是在條件完全相同的球場上進行的。2 假設(shè)相鄰兩場比賽間隔的時間是相同的。3假設(shè)比賽不會因為天氣、人為等原因而取消。4假設(shè)在相同休整時間內(nèi)運動員的體力的恢復能力相同。 5假設(shè)抽簽決定各支隊伍的編號，以保證編號的隨機性。6假設(shè)每場比賽的勝負事件是獨立的。 7假設(shè)每場比賽中隊員的體力消耗均等。8舉辦方、裁判不存在偏向于某支參賽隊的現(xiàn)象。3.2符號的說明參賽隊伍數(shù)各隊每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限平均相隔場次數(shù)比賽間隔矩陣記第i隊第j場間隔次數(shù)為全賽程相隔場次數(shù)的最大偏差球隊之間相隔場次的最大偏差第四章 問題分析4.1對問題一的分析針對題目給出的5支參賽隊伍的比賽，假設(shè)五支球隊在同一塊場地上進行單循環(huán)賽，比賽的總場次數(shù)為。第一場出場隊伍組合有種可能，要滿足各隊每兩場比賽中間都至少相隔一場比賽這個條件，所以第二場比賽共有種可能，而第三場、第四場、第五場比賽都只有2種可能，之后的5場比賽都是固定的了，所以共有種可能。有多種方法都能給出一個符合要求的賽程安排，例如：直接拼湊，逆時針輪轉(zhuǎn)法，或者貝格爾編排法。4.2對問題二的分析問題二要求求出當支球隊比賽時, 各隊每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限是多少。這里對“各隊每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限”的理解為在維持比賽對各隊相對公平（即各隊每場比賽之間獲得的休整時間以及獲得的總休息時間相對平均）的條件下，各隊每兩場比賽之間相隔比賽場數(shù)的最小值。設(shè)當支球隊參加比賽時，各隊每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限為r。設(shè)賽程中某場比賽的參賽隊伍為a,b兩隊，a隊的下一場比賽是和e隊（eb），要使各隊每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限為，則在除上述a,b,e三隊之外還有支隊伍參加比賽。由此列出不等式：，解不等式得出的取值范圍，即為所求間隔場次數(shù)與上限的關(guān)系。4.3對問題三的分析在達到問題二條件的前提下，我們通過建立1號位固定逆時針輪轉(zhuǎn)模型來求出,時的賽程安排。將參賽隊伍按照編號進行排列，固定1號隊伍，其余隊伍按照一定的要求進行逆時針輪轉(zhuǎn)，輪轉(zhuǎn)次數(shù)為次。用編程可以得到對應(yīng)的賽程安排。4.4對問題四的分析 一般的單循環(huán)賽程想要達到公平的標準的，只考慮每兩場比賽間相隔場次數(shù)這一指標是不現(xiàn)實的，所以實際運用中的單循環(huán)賽程安排時還必須參考更多的衡量賽程的優(yōu)劣的標準。對于問題四，我們通過檢驗平均相隔場次、相隔場次數(shù)的最大偏差，兩個指標來衡量所求賽程的公平性。通過表七、表八的數(shù)據(jù)可以計算出n=8，n=9時所得賽程的平均相隔場次數(shù)，再由各間隔場次與平均相隔場次數(shù)的偏差來度量賽程中各隊每兩場比賽相隔場次的“均勻性”可。第五章 模型建立與求解5.1問題一的模型建立與求解問題一需要我們給出一個5支球隊參加比賽，各隊每兩場比賽中間都至少相隔一場的賽程。根據(jù)對實際情況的分析可知，進行單循環(huán)賽時各隊每兩場比賽中間間隔的時間對應(yīng)相應(yīng)得到的休整時間是否均等，對于球賽的公平性起著決定性的作用。根據(jù)題目要求，我們可以繪制出A、B、C、D、E五支隊伍間的比賽關(guān)系圖，如圖一所示。圖一第一場出場隊伍組合有種可能（即AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE）分別對應(yīng)了圖一中圖形的各邊。假設(shè)AB兩隊先進行第一場比賽（AB邊標注為1），要滿足各隊每兩場比賽中間都至少相隔一場則第二場比賽只能在C、E、D三支隊伍中進行（即C、E、D三個點之間的邊CD、CE、DE）有種可能，假設(shè)由CD進行第二場比賽（CD邊標注為2）。那么第三場比賽則是在A、B、E之間進行，要排除掉A與B已經(jīng)比賽過則有2種可能（即AE、BE）。假設(shè)由AE進行（AE邊標注為3）。第四場比賽只能在BC、BD中選擇，假設(shè)由BC兩隊進行（BC邊標注為4），第五場比賽在AD、DE中選擇，假設(shè)由DE隊進行（DE邊標注為5）。之后的5場比賽則順序就固定了依次為AC、BD、CE、AD、BE（依次標記為6、7、8、9、10）。比賽順序如圖二所示。圖二通過作圖標記法得出的賽程安排中每只球隊的每兩場比賽間的間隔場數(shù)如表一所示。ABCDE每兩場比賽間相隔場次數(shù)A016931，2，2B1047102，2，2C640281，1，1D972052，1，1E3108501，2，1表一由表一可知5支參賽隊中，各隊每兩場比賽間隔比賽場數(shù)最小值為1場，達到問題一的要求。具體5支參賽隊伍賽程安排如下：(A,B),(C,D),(A,E),(B,C),(D,E),(A,C),(B,D),(C,E),(A,D),(B,E)上述的方法是用了簡單拼湊的辦法。5.2問題二的模型建立與求解 設(shè)當支球隊參加比賽時，各隊每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限為。設(shè)賽程中某場比賽的參賽隊伍為a,b兩隊，a隊的下一場比賽是和e隊（eb），要使各隊每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限為，則在除上述a,b,e三隊之外還有支隊伍參加比賽。由此建立不等式： （“”為下取整）根據(jù)這個公式可以求出參賽隊伍數(shù)與相隔的場次數(shù)的上限關(guān)系表（時不參與考慮），如表二。參賽隊伍數(shù)與相隔的場次數(shù)的上限關(guān)系表參賽隊數(shù)56789104950上限1122332323表二 我們分別從奇數(shù)隊與偶數(shù)隊兩種情況通過MATLAB編程（見附錄）來驗證上述所得的結(jié)果：當為奇數(shù)時的參賽隊伍數(shù)與上限關(guān)系表參賽對數(shù)57949上限12323表三當為偶數(shù)時的參賽隊伍數(shù)與上限關(guān)系表參賽對數(shù)681050上限12323表四可見表三、表四的結(jié)果與表二一致可以驗證所建立模型的準確性。5.3問題三的模型建立與求解在達到問題二的上限的條件下，我們建立1號位置固定逆時針輪轉(zhuǎn)模型來求解當,時的賽程安排。所謂1號位置固定逆時針輪轉(zhuǎn)法，是一般現(xiàn)實中單循環(huán)競賽編排常采用的數(shù)學方法，其具體編排方法因參賽隊數(shù)的奇偶性而有所差異。先設(shè)參賽隊數(shù)為，我們從當為偶數(shù)時，為奇數(shù)時分別進行建模。首先我們將參加比賽的球隊由編號分別為字母A、B、C、D、E分別用阿拉伯數(shù)字1、2、3、4、5、來代替表示。1） 當n為偶數(shù)時，輪轉(zhuǎn)次數(shù)為次。首先固定第1隊， 按左邊由上而下遞增為：1、2、3、 、，右邊由上而下遞增為：、，把隊數(shù)分成均等兩邊。第一輪只要在相對隊伍之間劃橫線,即為第一輪比賽安排。第二輪開始固定左上角數(shù)字1,其余數(shù)字均按逆時針方向移動一個位置,即為第二輪比賽安排,以后各輪比賽安排以此類推。具體算法描述如下圖：圖三 根據(jù)此算法，將帶入算法中可以得出8支隊伍單循環(huán)賽比賽場次順序輪轉(zhuǎn)表：第1輪第2輪第3輪第4輪第5輪第6輪第7輪15161718141312265768748342353728546372854648342352657687表五 2）當為奇數(shù)時，輪轉(zhuǎn)次數(shù)為次。將參賽隊分為編號為奇數(shù)與偶數(shù)的兩邊，固定第1隊，左邊奇數(shù)隊由上而下遞增為：1、3、5、7、，右邊偶數(shù)隊由上而下遞增為：2、4、6、8、，由于偶數(shù)隊比奇數(shù)隊少一位，故用0補齊，這樣便分成了均等的兩邊。第一輪同偶數(shù)時輪轉(zhuǎn)一樣只要在相對隊伍之間劃橫線,即為第一輪比賽安排（與0相對的隊伍為輪空）。第二輪開始固定左上角1數(shù)字,左邊數(shù)字逆時針移動一個位置，右邊第一位逆時針移動一個位置，將末尾的數(shù)字0上提到右邊第一位的位置，即為第二輪的比賽安排。第三輪再將0的位置放到右邊最末尾，然后右邊的其余數(shù)字逆時針移動一位即為第三輪的比賽安排，以后各輪以此類推，具體算法描述如下圖：圖四 根據(jù)此算法，將帶入算法中可以得出9支隊伍單循環(huán)賽比賽場次順序輪轉(zhuǎn)表：第1輪第2輪第3輪第4輪第5輪第6輪第7輪第8輪12101410161018103424264648686989563638282949476778585939372725459079705750353023表六由表五可得出8支參賽隊伍各隊每兩場比賽間隔場次數(shù)表如下：12345678每兩場比賽相隔場次數(shù)總數(shù)10252117159133、3、3、3、3、318225012221621974、4、4、3、2、219321120826153182、4、4、4、3、219417228011271442、2、4、4、4、319511626110206234、4、3、2、2、217652152720024104、3、2、2、2、41779193146240283、2、2、2、4、417813718423102802、2、2、4、4、418表七 由上表可知8支參賽隊中，各隊每兩場比賽間隔比賽場數(shù)最小值為2場，達到問題二的上限的條件。具體8支參賽隊伍賽程安排如下：(1,5),(2,6),(3,7),(4,8),(1,6),(5,7),(2,8),(3,4),(1,7),(6,8),(5,4),(2,3),(1,8),(7,4),(6,3), (5,2),(1,4),(8,3),(7,2),(6,5),(1,3),(4,2),(8,5),(7,6),(1,2),(3,5),(4,6),(8,7).根據(jù)表六，由表中奇數(shù)輪末尾遇0輪空隊伍與相鄰的偶數(shù)輪第一隊遇0輪空的兩支隊搭配比賽作為一場比賽。例如第一輪末尾第五場第九隊輪空，第二輪首位第一場第一隊輪空，則第五場比賽隊伍組合為第九隊和第一隊。可得出9支參賽隊伍各隊每兩場比賽間隔場次數(shù)表如下：123456789每兩場比賽相隔場次數(shù)總數(shù)10132102319142853、4、3、4、3、4、32421036631112616214、4、4、4、4、4、42833236022772212174、4、4、4、4、4、32741062035153020253、3、4、4、4、4、42652331273503188134、4、4、4、3、3、32561911715303424293、3、3、3、4、4、42471426223018340494、4、3、3、3、3、32382816122082440333、3、3、3、3、3、42295211725132993303、3、3、3、3、3、321表八 由上表可知9支參賽隊中，各隊每兩場比賽間隔比賽場數(shù)最小值為3場，達到問題二的上限的條件。具體9支參賽隊伍賽程安排如下：(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(1,9),(2,4),(3,6),(5,8),(7,9),(1,4),(2,6),(3,8),(5,9),(1,7),(4,6), (8,2),(9,3),(5,7),(1,6),(4,8),(2,9),(3,7),(1,5),(6,8),(4,9),(2,7),(3,5),(1,8),(6,9),(4,7), (2,5),(1,3),(8,9),(6,7),(4,5),(2,3). 通過驗證我們所采用的1號位置固定逆時針輪轉(zhuǎn)法的兩種模型所求出的,賽程都是滿足條件的，并且這兩種模型都可以擴充到為任意偶數(shù)或是奇數(shù)的情況。5.4問題四的模型建立與求解 一般的單循環(huán)賽程想要達到公平的標準的，只考慮每兩場比賽間相隔場次數(shù)這一指標是不現(xiàn)實的，所以實際運用中的單循環(huán)賽程安排時還必須參考更多的衡量賽程的優(yōu)劣的標準，我們只列出以下4點：1、 平均相隔場次；2、 相隔場次數(shù)的最大偏差；3、 每天比賽幾場；4、 所對應(yīng)比賽隊的強弱；以上的標準中由于第三點、第四點受客觀因素影響較大，在這里我們不進行處理。對于平均相隔場次，列出,時各隊每兩場比賽間隔的如下矩陣：,=；時= 記第i隊第j場間隔次數(shù)為, i=1,2,；j=1,2,則平均相隔場次數(shù)為：，為平均相隔場次數(shù)，對于整個賽程來說，越大各隊在各場比賽間休整的時間就越多，對于各參賽隊來說越好。可是對于整個比賽來說，時間跨度就會真大很多。 通過各間隔場次與平均相隔場次的偏差來度量各隊每兩場比賽相隔場次的“均勻性”，定義整個賽程相隔場次數(shù)的最大偏差： ；球隊之間相隔場次的最大偏差： ；、越小，偏差越小那么賽程的公平性越高。將的賽程代入式,得,；的賽程代入式,得,。結(jié)果表明,，的賽程都達到了、下界。第六章 模型的評價6.1模型的優(yōu)點1、賽程的編制能夠適用于任意數(shù)量的參賽隊伍。2、準確的使用了表格和圖形，使數(shù)據(jù)的體現(xiàn)和意思的表達更加清晰。3、用MATLAB編程計算出的結(jié)果準確性高，便于對推測出的結(jié)果的肯定。4、1號位置固定逆時針輪轉(zhuǎn)法所求得的結(jié)果達到各隊每兩場比賽間隔場數(shù)的上限使賽程盡可能公平。5、1號位置固定逆時針輪轉(zhuǎn)法簡潔易懂，操作簡單，配合MATLAB編程，可以輕松計算出參賽數(shù)較多時的結(jié)果。6、1號位置固定逆時針輪轉(zhuǎn)法所制定出的比賽賽程搭配合適，對于各個參賽隊伍都比較公平。6.2模型的缺點1、直接拼湊的方法只適用于參賽隊伍較少的情況下，不具有普遍性。2、對于參賽隊伍比較多的情況，如果完全按照模型給出的編排結(jié)果，那么整個賽程的時間跨度就會非常的長，這不夠合理。3、當參賽球隊數(shù)大于7時,在所建立的賽程優(yōu)劣指標下我們無法證明在由“1號位置固定逆時針輪轉(zhuǎn)法”模型所求出的賽程是最優(yōu)的。第七章 模型的改進與推廣7.1模型的改進 由于本次數(shù)學建模為了有一個穩(wěn)定的建模環(huán)境，忽略的很多客觀因素，而一般的賽程安排要考慮的因素是非常多的，例如：天氣的影響，參賽隊伍實力的因素，總賽程的時間跨度等，都是非常重要的參考因素。所以本次建模所得到的結(jié)果實際上實用性并不高，只能作為實際賽程安排的一個參考。因此，我們的模型還需要進一步的改進，改進的方向是公平性與實用性兼?zhèn)洌岣哒麄€比賽的競爭性與可觀賞性。7.2模型的推廣 比賽賽程安排問題是體育競技的常見問題，而賽程安排的公平與否對比賽的結(jié)果有著很大程度的影響。我們采用的1號位固定逆時針輪轉(zhuǎn)法是在我國常用的單循環(huán)賽賽程安排的基礎(chǔ)上進行了一定的改動，尤其是奇數(shù)隊的模型更是避免了一些常用輪轉(zhuǎn)法上出現(xiàn)的一些不公平的地方。本次論文給出的模型可以適用于多種單循環(huán)比賽，例如：排球、乒乓球、籃球、羽毛球等。在實際的運用當中，比照模型給出的結(jié)果，再適當?shù)倪M行人為的調(diào)控，將各隊伍的實力等因素加以考慮，把比賽中最精彩的、最重要的幾場比賽排在適當?shù)奈恢茫瑒t比賽對觀眾的吸引力會進一步提高。不單是賽程的安排可以利用本模型，本次建立的模型在適當修改的基礎(chǔ)上，完全可以用于解決其他的安排問題上去，例如：一對一見面會議的日程安排等。總結(jié) 通過這次的畢業(yè)設(shè)計，使我在專業(yè)技能分析、專業(yè)知識掌握、和解決問題能力上得到了一次全面系統(tǒng)的提升。使我對數(shù)學建模基本方法、數(shù)學建模的運用等發(fā)面，以及在MATLAB軟件的運用方面都能向前邁了一大步。本次設(shè)計的完成過程是艱辛的，不過收獲卻是很大的。 經(jīng)過這一段時間的努力，不僅使我學到了新的知識，對曾經(jīng)學習到的專業(yè)知識也有了新的認識。由于自身能力問題，起初在畢業(yè)設(shè)計中我碰到了很多的問題，通過與周圍同學交流，查閱各種相關(guān)資料、書籍以及在指導老師的指點下，這些問題都逐步迎刃而解。在此過程中我體會最深的就是團隊合作的重要性，在團隊合作的工程中不僅受益匪淺而且樂趣十足，相信在以后的工作學習中也大有意義。 當然，在此次課程設(shè)計中，我自身的很多不足之處，也涌現(xiàn)出來，比如數(shù)學建模博大精深，很多的方法與技巧我都沒能掌握，即便是對于本篇文章所完成的結(jié)果，也不能驗證其是否為最優(yōu)結(jié)果，這些不足之處在以后的學習中，我會不斷彌補與改正，進一步的的完善自己的專業(yè)知識。致謝 首先我必須誠摯的感謝我們畢業(yè)設(shè)計的指導老師，冷禮輝老師，以及那些在我遇到困難時對我伸出援手的同學。如果沒有冷老師悉心的教導和同學們熱情的幫助，我可能無法順利的完成本次論文，在此，向他們表示由衷的感謝。在這段時間里，老師和同學讓我學到更多關(guān)于數(shù)學建模的知