第二章 函數1函數解析式求解的常用方法一、換元法例1 已知f(1)x2，求f(x)分析采用整體思想，可把f(1)中的“1”看做一個整體，然后采用另一參數替代解令t1，則x(t1)2(t1)，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t21.f(x)x21(x1)評注將接受對象“1”換作另一個元素(字母)“t”，然后從中解出x與t的關系，代入原式中便求出關于“t”的函數關系，此即為函數解析式，但在利用這種方法時應注意自變量取值范圍的變化，否則就得不到正確的表達式此法是求函數解析式時常用的方法二、待定系數法例2 已知f(x)為二次函數，且f(x1)f(x1)2x24x，求f(x)的表達式解設f(x)ax2bxc(a0)，則f(x1)f(x1)a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c2ax22bx2a2c2x24x.故有解得所以f(x)x22x1.評注若已知函數是某個基本函數，可設表達式的一般式，再利用已知條件求出系數三、方程消元法例3 已知：2f(x)f()3x，x0，求f(x)解2f(x)f()3x，用去代換式中的x得2f()f(x).由2得f(x)2x，x0.評注方程消元法是指利用方程組通過消參、消元的途徑達到求函數解析式的目的.2解讀分段函數分段函數是一類特殊的函數，有著廣泛的應用，課本中并沒有進行大篇幅的介紹，但是它是高考的必考內容，下面就分段函數的有關知識進行拓展，供同學們學習時參考一、分段函數解讀在定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，相應的對應法則不同，這樣的函數稱之為分段函數分段函數是一個函數，而不是幾個函數，它只是各段上的解析式(或對應法則)不同而已二、常見的題型及其求解策略1求分段函數的定義域、值域例1 求函數f(x)的值域解當x2時，yx24x(x2)24，y4；當x2時，y，y1.函數f(x)的值域是y|y4解題策略分段函數的定義域是各段函數解析式中自變量取值集合的并集；分段函數的值域是各段函數值集合的并集2求分段函數的函數值例2 已知f(x)求f(5)的值解510，f(5)f(f(56)f(f(11)，1110，f(f(11)f(9)，又910，f(9)f(f(15)f(13)11.即f(5)11.解題策略求分段函數的函數值時，關鍵是判斷所給出的自變量所處的區間，再代入相應的解析式；另一方面，如果題目中含有多個分層的形式，則需要由里到外層層處理3畫出分段函數的圖象例3 已知函數f(x)，作出此函數的圖象解由于分段函數有兩段，所以這個函數的圖象應該由兩條線組成，一條是拋物線的左側，另一條是射線，畫出圖象如圖所示解題策略分段函數有幾段，其圖象就由幾條曲線組成，作圖的關鍵是根據定義域的不同分別由表達式作出其圖象，作圖時一要注意每段自變量的取值范圍，二要注意判斷函數圖象每段端點的虛實4求解分段函數的解析式例4 某移動公司采用分段計費的方法來計算話費，月通話時間x(分鐘)與相應話費y(元)之間的函數圖象如圖所示則：(1)月通話為50分鐘時，應交話費多少元；(2)求y與x之間的函數關系式解(1)由題意可知當0x100時，設函數的解析式ykx，又因過點(100,40)，得解析式為yx，當月通話為50分鐘時，050100，所以應交話費y5020元(2)當x100時，設y與x之間的函數關系式為ykxb，由圖知x100時，y40；x200時，y60.則有，解得，所以解析式為yx20，故所求函數關系式為y.解題策略以收費為題材的數學問題多以分段函數的形式出現在試題中，解決此類問題的關鍵是正確地理解題目(或圖象)給出的信息，確定合適的數學模型及準確的自變量的分界點3合理變形突破單調性的證明由定義證明函數f(x)在區間D上的單調性，其步驟為：取值作差變形定號其中變形是最關鍵的一步，合理變形是準確判斷f(x1)f(x2)的符號的關鍵所在本文總結了用定義證明函數單調性中的變形策略一、因式分解例1 求證：函數f(x)x24x在(，2上是減函數證明設x1，x2是(，2上的任意兩個實數，且x1x2，則f(x1)f(x2)(x4x1)(x4x2)(x1x2)(x1x24)因為x1x22，所以x1x20，x1x240.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函數f(x)在(，2上是減函數評注因式分解是變形的常用策略，但必須注意，分解時一定要徹底，這樣才利于判斷f(x1)f(x2)的符號二、配方例2 求證：函數f(x)x31在R上是增函數證明設x1，x2是R上的任意兩個實數，且x1x2，則f(x1)f(x2)x1x1xx(x1x2)(xx1x2x)(x1x2).因為x1x2，所以x1x20，2x0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函數f(x)在R上是增函數評注本題極易在(x1x2)(xx1x2x)處“止步”而致誤而實際上當我們不能直接判斷xx1x2x的符號，又不能因式分解時，采用配方則會“柳暗花明”三、通分例3 已知函數f(x)x，求證：函數f(x)在區間(0,1上是減函數證明設x1，x2是區間(0,1上的任意兩個實數，且x1x2，則f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).因為x1x2，且x1，x2(0, 1，所以x1x20,0x1x21.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函數f(x)在(0,1上是減函數評注同樣，我們可以證明f(x)x在區間1，)上是增函數四、有理化例4 已知函數f(x)，求證：函數f(x)在區間1，)上是增函數證明設x1，x2是區間1，)上的任意兩個實數，且x1x2，則f(x1)f(x2).因為x1x2，且x1，x21，)，所以x1x20，0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函數f(x)在1，)上是增函數評注對于根式函數常采用分子或分母有理化變形手段以達到判斷f(x1)f(x2)符號的目的4談復合函數的單調性設yf(t)是t的函數，tg(x)是x的函數，若tg(x)的值域是yf(t)定義域的子集，則y通過中間變量t構成x的函數，稱為x的復合函數，記作yf(t)f g(x)如函數y，若設t1x，則y.這里t是x的函數，y是t的函數，所以y是x的復合函數，把t稱為中間變量思考1已知函數yf(t)的定義域為區間m，n，函數tg(x)的定義域為區間a，b，值域Dm，n若yf(t)在定義域內單調遞增，tg(x)在定義域內單調遞增，那么yfg(x)是否為a，b上的增函數？為什么？答yfg(x)是區間a，b上的增函數證明如下：任取x1，x2a，b，且x1x2，則t1g(x1)，t2g(x2)，且t1，t2m，n因為tg(x)在a，b上遞增，所以g(x1)g(x2)，即t1t2，而yf(t)在m，n上遞增，故f(t1)f(t2)，即fg(x1)0)當x(，1)時，t是x的減函數，y是t的減函數，所以(，1)是y的遞增區間；當x(1，)時，t是x的增函數，y是t的減函數，所以(1，)是y的遞減區間綜上知，函數y的遞增區間為(，1)，遞減區間為(1，)變式 求y的單調區間解由x22x30，得x1或x3，令tx22x3(t0)，則y，因為y在(，0)，(0，)上為減函數，而tx22x3在(，1)，(1,1)上為減函數，在(1,3)，(3，)上是增函數，所以函數y的遞增區間為(，1)，(1,1)，遞減區間為(1,3)，(3，).5函數單調性的應用一、比較大小例1 若函數f(x)x2mxn，對任意實數x都有f(2x)f(2x)成立，試比較f(1)，f(2)，f(4)的大小解依題意可知f(x)的對稱軸為x2，f(1)f(5)f(x)在2，)上是增函數，f(2)f(4)f(5)，即f(2)f(4)f(1)評注(1)利用單調性可以比較函數值的大小，即增函數中自變量大函數值也大，減函數中自變量小函數值反而變大；(2)利用函數單調性比較大小應注意將自變量放在同一單調區間二、解不等式例2 已知yf(x)在定義域(1,1)上是增函數，且f(t1)f(12t)，求實數t的取值范圍解依題意可得解得0t0，函數f(x)x3ax是區間1，)上的單調函數，求實數a的取值范圍解任取x1，x21，)，且x10.yf(x2)f(x1)(xax2)(xax1)(x2x1)(xx1x2xa)1x13.顯然不存在常數a，使(xx1x2xa)恒為負值又f(x)在1，)上是單調函數，必有一個常數a，使xx1x2xa恒為正數，即xx1x2xa.當x1，x21，)時，xx1x2x3，a3.此時，xx2x10，y0，即函數f(x)在1，)上是增函數，a的取值范圍是(0,3四、利用函數單調性求函數的最值例4 已知函數f(x)，x1，)(1)當a4時，求f(x)的最小值；(2)當a時，求f(x)的最小值；(3)若a為正常數，求f(x)的最小值解(1)當a4時，f(x)x2，易知，f(x)在1,2上是減函數，在2，)上是增函數，f(x)minf(2)6.(2)當a時，f(x)x2.易知，f(x)在1，)上為增函數f(x)minf(1).(3)函數f(x)x2在(0，上是減函數，在，)上是增函數若1，即a1時，f(x)在區間1，)上先減后增，f(x)minf()22.若1，即0a1時，f(x)在區間1，)上是增函數，f(x)minf(1)a3.6例析函數的值域求函數值域的常用方法：配方法、換元法、單調性法、判別式法、不等式法、數形結合法、有界性法、分離常數法例1 求下列函數的值域：(1)y；(2)y2x1.解(1)方法一(配方法)y1，又x2x12，0，y1.方法二(判別式法)由y，xR，得(y1)x2(1y)xy0.當y1時，x.當y1時，xR，(1y)24y(y1)0，y0，所以0.解得y1或y1，所以值域為(，1)(1，)例3 求函數y的值域解y1，又0，y11，即函數的值域為(，1)(1，)7函數奇偶性的判定方法函數奇偶性是函數的一個重要性質，除了直接運用定義法判斷外，下面再介紹幾種判定方法一、定義域判定法例1 判斷函數f(x)的奇偶性分析一個函數是奇(偶)函數，其定義域必須關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的前提條件若定義域不關于原點對稱，則此函數既不是奇函數也不是偶函數解要使函數f(x)有意義，則解得x1，即定義域是x|x1因為定義域不關于原點對稱，所以函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數評注用定義域雖不能判斷一個函數是奇函數還是偶函數，但可以通過定義域不關于原點對稱來說明一個函數不具有奇偶性二、變式法例2 判斷f(x)的奇偶性分析直接驗證f(x)f(x)有困難，可轉化為驗證1(f(x)0)解f(x)的定義域為R，關于原點對稱當x0時，f(x)0，圖象過原點因為當x0時，1，所以f(x)f(x)又f(0)0，所以函數f(x)為奇函數評注為了運算上的方便或是直接運用定義判斷較難進行時，常把驗證f(x)f(x)轉化為驗證其變式：f(x)f(x)0或1(f(x)0)三、圖象法例3 判斷函數f(x)的奇偶性分析本題可用圖象法較為直觀地判斷解作出函數f(x)的圖象，如圖所示因為函數f(x)的圖象關于y軸對稱，所以函數f(x)為偶函數評注一些函數的奇偶性可用圖象法解決，即圖象關于原點對稱的函數是奇函數，圖象關于y軸對稱的函數是偶函數，否則既不是奇函數也不是偶函數8函數奇偶性的應用函數的奇偶性是函數的重要性質，在各類考試中是考查的熱點，下面對奇偶性的常見應用進行舉例說明一、求函數的解析式例1 已知f(x)是R上的奇函數，且當x(0，)時，f(x)x(1)，求f(x)的解析式分析要求f(x)在R上的解析式，條件已給出f(x)在(0，)上的解析式，還需求當x0時f(x)對應的解析式解因為x(，0)時，x(0，)，所以f(x)x(1)x(1)，因為f(x)是R上的奇函數，所以f(x)f(x)x(1)，x(，0)在f(x)f(x)中，令x0，得f(0)0.所以f(x)評注利用函數的奇偶性求函數的解析式是常見題型，其步驟為：(1)設，設出在未知區間上的自變量x；(2)化，即將x轉化到已知區間上；(3)求，即根據函數的奇偶性求出解析式二、求參數的值例2 已知函數f(x)是R上的奇函數，當x0時，f(x)x(x1)，若給出一個實數a，a0，有f(a)2，則實數a_.分析根據已知條件當x0時，函數f(x)x(x1)0，由于f(a)2，顯然需要求得x0的解析式解析令x0，則x0.所以f(x)x(1x)又f(x)為奇函數，所以當x0時，有f(x)x(1x)令f(a)a(1a)2，得a2a20.解得a1，或a2(舍去)答案1評注解決本題首先根據定義域對函數的解析式進行判斷，確定所求參數應該對應的解析式是求解本題的關鍵三、求參數的范圍例3 定義在(2,2)上的偶函數f(x)在區間0,2)上是減函數，若f(1m)f(m)，求實數m的取值范圍解因為f(x)是偶函數，所以f(1m)f(|1m|)，f(m)f(|m|)又f(1m)f(m)，所以f(|1m|)f(|m|)由f(x)在區間0,2)上是減函數，得0|m|1m|2.解得1m.故實數m的取值范圍是.評注本題利用了偶函數的性質：若函數f(x)是偶函數，則恒有f(x)f(|x|)，從而達到簡捷求解的目的9函數單調性、奇偶性聯袂解題單調性和奇偶性是函數的兩個重要基本性質，二者之間有下面的密切聯系：(1)奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性；(2)偶函數在關于原點對稱的區間上具有相反的單調性巧妙地運用單調性和奇偶性的聯系，可以輕松解決很多函數問題下面分類舉例說明一、比較大小例1 已知函數f(x)是偶函數，且在區間0,1上是減函數，則f(0.5)、f(1)、f(0)的大小關系是()Af(0.5)f(0)f(1)Bf(1)f(0.5)f(0)Cf(0)f(0.5)f(1)Df(1)f(0)f(0.5)解析因為函數f(x)是偶函數，所以f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1)又因為f(x)在區間0,1上是減函數，所以f(1)f(0.5)f(0)答案B評注比較兩個函數值大小時，如果兩個自變量的值不在同一單調區間上，則需要利用奇偶性來進行轉化二、求函數最值例2 若偶函數f(x)在區間3,6上是增函數且f(6)9，則它在區間6，3上()A最小值是9 B最小值是9C最大值是9 D最大值是9解析因為f(x)是偶函數且在區間3,6上是增函數，所以f(x)在區間6，3上是減函數因此，f(x)在區間6，3上最大值為f(6)f(6)9.答案D評注應用單調性和奇偶性的聯系求最值時，一定要確定是最大值還是最小值三、解不等式例3 若函數f(x)是奇函數，且在(，0)上是增函數，又f(2)0，則xf(x)0的解集是()A(2,0)(0,2) B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(2，)解析因為函數f(x)是奇函數，且在(，0)上是增函數，又f(2)0，所以可畫出符合條件的奇函數f(x)的圖象，如圖所示因為xf(x)0，所以或，結合圖象，得到答案為A.答案A評注本題是單調性和奇偶性的綜合應用，并且有較強的抽象性只要抓住其對稱性，分析圖象的特點，畫出符合條件的圖象，就不難使問題得到解決四、求參數的取值范圍例4 設定義在(1,1)上的奇函數f(x)在0,1)上單調遞增，且有f(1m)f(2m)0，求實數m的取值范圍解由于函數f(x)的定義域為(1,1)，則有，解得0m.又f(1m)f(2m)0，所以f(1m)f(2m)而函數f(x)為奇函數，則有f(1m)f(2m)因為函數f(x)是奇函數，且在0,1)上單調遞增，所以函數f(x)在定義域(1,1)上單調遞增，則有1m2m，解得m，故實數m的取值范圍為(，)評注本題通過函數奇偶性和單調性的定義及其相關特征解決問題，這是比較常見的題型之一.10函數圖象的三種變換函數的圖象變換是高考中的考查熱點之一，常見變換有以下3種：一、平移變換例1 設f(x)x2，在同一坐標系中畫出：(1)yf(x)，yf(x1)和yf(x1)的圖象，并觀察三個函數圖象的關系；(2)yf(x)，yf(x)1和yf(x)1的圖象，并觀察三個函數圖象的關系解(1)如圖1(2)如圖2 圖1圖2觀察圖象得：yf(x1)的圖象可由yf(x)的圖象向左平移1個單位長度得到；yf(x1)的圖象可由yf(x)的圖象向右平移1個單位長度得到；yf(x)1的圖象可由yf(x)的圖象向上平移1個單位長度得到；yf(x)1的圖象可由yf(x)的圖象向下平移1個單位長度得到二、對稱變換例2 設f(x)x1，在同一坐標系中畫出yf(x)和yf(x)的圖象，并觀察兩個函數圖象的關系解畫出yf(x)x1與yf(x)x1的圖象如圖所示由圖象可得函數yx1與yx1的圖象關于y軸對稱評注函數yf(x)的圖象與yf(x)的圖象關于y軸對稱；函數yf(x)的圖象與yf(x)的圖象關于x軸對稱；函數yf(x)的圖象與yf(x)的圖象關于原點對稱三、翻折變換例3 設f(x)x1，在不同的坐標系中畫出yf(x)和y|f(x)|的圖象，并觀察兩個函數圖象的關系解yf(x)的圖象如圖1所示，y|f(x)|的圖象如圖2所示通過觀察兩個函數圖象可知：要得到y|f(x)|的圖象，把yf(x)的圖象中x軸下方圖象翻折到x軸上方，其余部分不變例4 設f(x)x1，在不同的坐標系中畫出yf(x)和yf(|x|)的圖象，并觀察兩個函數圖象的關系解如下圖所示通過觀察兩個函數圖象可知：要得到yf(|x|)的圖象，先把yf(x)圖象在y軸左方的部分去掉，然后把y軸右邊的對稱圖象補到左方即可11含參方程的解法一題多解訓練，就是啟發和引導同學們從不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的運算過程去分析、解答同一道數學題的練習活動，從而提高綜合運用已學知識解答數學問題的技巧，鍛煉思維的靈活性，促進同學們長知識、長智慧，開闊同學們的思路，引導同學們靈活地掌握知識之間的縱橫聯系，培養和發揮創造性例若方程x2xk在區間(1,1)內有實數解，試求實數k的取值范圍分析本題考查方程在區間內有實數解，考查根的分布問題，由于函數與方程的關系密切，所以解決本題可以利用根的分布得出滿足條件的不等式，進而求解；也可以通過構造函數，利用數形結合思想求解所以有以下幾種方法方法一令f(x)x2xk.若方程x2xk在區間(1,1)內有兩個實數解，則有解得k.若方程x2xk在區間(1,1)內有一個實數解，則有f(1)f(1)0或或解得k.綜上所述，實數k的取值范圍為，)評注本方法是利用根的分布，分別討論有一解、兩解的情況，最后把解集取并集即可方法二因為f(x)x2xk的對稱軸x(1,1)，更確切地說，x在(0,1)內，所以方程x2xk在區間(1,1)內有實數解等價于解得k.所以實數k的取值范圍為，)評注該解法的特點是發現了本題的特殊性，即對稱軸在已知的區間內，從而迅速將難題破解方法三若方程x2xk在(1,1)內有實數解，令yx2x，x(1,1)的值域為M，則原方程在(1,1)內有實數解，只需kM即可根據函數yx2x的對稱軸x，且x(1,1)，可知函數在x處取得最小值，即ymin()2；函數在x1處取得最大值，即ymax1.所以k.所以實數k的取值范圍為，)評注該解法的妙處在于將原問題轉化為求二次函數的值域