階段提升突破練(五)(解析幾何)(60分鐘100分)一、選擇題(每小題5分，共40分)1.(2017資陽二模)雙曲線E：-=1(a0，b0)的一個焦點F到E的漸近線的距離為a，則E的離心率是()A.B.C.2D.3【解題導引】由點到直線的距離公式計算可得焦點F到漸近線的距離為b=a，進而由雙曲線離心率公式計算可得答案.【解析】選C.根據題意，雙曲線E：-=1的焦點在x軸上，則其漸近線方程為y=x，即aybx=0，設F(c，0)，F到漸近線ay-bx=0的距離d=b，又由雙曲線E：-=1的一個焦點F到E的漸近線的距離為a，則b=a，c=2a，故雙曲線的離心率e=2.【加固訓練】若雙曲線x2-y2=2右支上一點(s，t)到直線y=x的距離為2，則s-t的值等于()A.2B.2C.-2D.-2【解析】選B.因為雙曲線x2-y2=2右支上一點(s，t)到直線y=x的距離為2，所以d=2，所以|s-t|=2.又P點在右支上，則有st，所以s-t=2.2.(2017昆明二模)已知拋物線x2=4y的焦點為F，準線為l，拋物線的對稱軸與準線交于點Q，P為拋物線上的動點，|PF|=m|PQ|，當m最小時，點P恰好在以F，Q為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為()A.3-2B.2-C.-D.-1【解析】選D.由已知，F(0，1)，Q(0，-1)，過點P作PM垂直于準線，則PM=PF.記PQM=，則m=sin，當最小時，m有最小值，此時直線PQ與拋物線相切于點P，設P，可得P(2，1)，所以|PQ|=2，|PF|=2，則|PF|+|PQ|=2a，所以a=+1，c=1，所以e=-1.3.已知直線l：kx+y-2=0(kR)是圓C：x2+y2-6x+2y+9=0的對稱軸，過點A(0，k)作圓C的一條切線，切點為B，則線段AB的長為()A.2B.2C.3D.2【解題導引】利用配方法求出圓的標準方程可得圓心和半徑，由直線l：kx+y-2=0經過圓C的圓心(3，-1)，求得k的值，可得點A的坐標，再利用直線和圓相切的性質求得AB的長.【解析】選D.由圓C：x2+y2-6x+2y+9=0得，(x-3)2+(y+1)2=1，表示以C(3，-1)為圓心、半徑等于1的圓.由題意可得，直線l：kx+y-2=0經過圓C的圓心(3，-1)，故有3k-1-2=0，得k=1，則點A(0，1)，即|AC|=.則線段|AB|=2.4.(2017深圳二模)已知雙曲線-=1(a0，b0)的左、右頂點分別為A1，A2，M是雙曲線上異于A1，A2的任意一點，直線MA1和MA2分別與y軸交于P，Q兩點，O為坐標原點，若|OP|，|OM|，|OQ|依次成等比數列，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A.(，+)B.，+)C.(1，)D.(1，【解析】選A.由題意得A1(-a，0)，A2(a，0)，而M是雙曲線上的點，令M(m，n)，求得直線MA2：y=(x-a)，MA1：y=(x+a)，所以Q，P；而|OP|，|OM|，|OQ|依次成等比數列，所以|OP|OQ|=|OM|2，即=m2+n2；而-=1；聯立解得a2=，c2=；所以離心率e=；經驗證，n=0時，不滿足題意，所以雙曲線的離心率e.即雙曲線的離心率的取值范圍是(，+).5.(2017長沙二模)與圓x2+(y-2)2=2相切，且在兩坐標軸上截距相等的直線有()A.6條B.4條C.3條D.2條【解題導引】可設兩坐標軸上截距相等(在坐標軸上截距不為0)的直線方程為x+y=a，與圓的方程x2+(y-2)2=4聯立，利用=0即可求得a的值，從而可求得直線方程；另外需要考慮坐標軸上截距都為0的情況.【解析】選C.設兩坐標軸上截距相等(在坐標軸上截距不為0)的直線l的方程為x+y=a，則由題意得：消去y得：2x2+(4-2a)x+a2-4a+2=0，因為l與圓x2+(y-2)2=2相切，所以=(4-2a)2-42(a2-4a+2)=0，解得a=0(舍去)或a=4，所以l的方程為x+y=4；當坐標軸上截距都為0時，由圖可知y=x與y=-x與該圓相切.共有3條滿足題意的直線.6.(2017武漢一模)點M是拋物線x2=2py(p0)的對稱軸與準線的交點，點F為拋物線的焦點，P在拋物線上，在PFM中，sinPFM=sinPMF，則的最大值為()A.B.1C.D.【解題導引】由正弦定理求得|PM|=|PF|，作PB垂直于準線于點B，根據拋物線的定義，則=，sin=，則取得最大值時，sin最小，此時直線PM與拋物線相切，將直線方程代入拋物線方程，=0，求得k的值，即可求得的最大值.【解析】選C.過P作準線的垂線，垂足為B，則由拋物線的定義可得|PF|=|PB|，由sinPFM=sinPMF，則PFM中由正弦定理可知：|PM|=|PF|，所以|PM|=|PB|，所以=，設PM的傾斜角為，則sin=，當取得最大值時，sin最小，此時直線PM與拋物線相切，設直線PM的方程為y=kx-，則即x2-2pkx+p2=0，所以=4p2k2-4p2=0，所以k=1，即tan=1，則sin=，的最大值為=.【加固訓練】已知拋物線y2=4x，圓F：(x-1)2+y2=1，過點F作直線l，自上而下順次與上述兩曲線交于點A，B，C，D(如圖所示)，則|AB|CD|的值正確的是()A.等于1B.最小值是1C.等于4D.最大值是4【解析】選A.因為y2=4x，焦點F(1，0)，準線l0：x=-1.由定義得：|AF|=xA+1，又因為|AF|=|AB|+1，所以|AB|=xA，同理：|CD|=xD，當lx軸時，則xD=xA=1，所以|AB|CD|=1，當l：y=k(x-1)時，代入拋物線方程，得：k2x2-(2k2+4)x+k2=0，所以xAxD=1，所以|AB|CD|=1.綜上所述，|AB|CD|=1.7.(2017郴州二模)已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線x+y-1=0對稱，則橢圓C的方程為()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解題導引】由橢圓的離心率，求得b=c，則橢圓的標準方程轉化成x2+2y2=2b2，求得右焦點關于直線x+y-1=0對稱的點，代入橢圓方程，即可求得b和a的值，求得橢圓方程.【解析】選A.由橢圓的離心率e=，則a=c，由b2=a2-c2=c2，則b=c，則設橢圓方程為x2+2y2=2b2.設右焦點(b，0)關于l：y=-x+1的對稱點設為(x，y)，則解得由點(1，1-b)在橢圓上，得1+2(1-b)2=2b2，b2=，a2=，所以橢圓的標準方程為+=1.8.過雙曲線x2-=1的右支上一點P，分別向圓C1：(x+4)2+y2=4和圓C2：(x-4)2+y2=1作切線，切點分別為M，N，則|PM|2-|PN|2的最小值為()A.10B.13C.16D.19【解析】選B.圓C1：(x+4)2+y2=4的圓心為(-4，0)，半徑為r1=2；圓C2：(x-4)2+y2=1的圓心為(4，0)，半徑為r2=1，設雙曲線x2-=1的左、右焦點為F1(-4，0)，F2(4，0)，連接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2-|PN|2=(|PF1|2-)-(|PF2|2-)=(|PF1|2-4)-(|PF2|2-1)=|PF1|2-|PF2|2-3=(|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)-3=2a(|PF1|+|PF2|)-3=2(|PF1|+|PF2|)-322c-3=28-3=13.當且僅當P為右頂點時，取得等號，即最小值為13.二、填空題(每小題5分，共20分)9.(2017保定一模)已知等邊ABC的兩個頂點A(0，0)，B(4，0)，且第三個頂點在第四象限，則BC邊所在的直線方程是_.【解析】如圖所示：xC=2，yC=-2tan60=-2，所以C(2，-2).所以BC邊所在的直線方程是y=(x-4)，即y=(x-4).答案：y=(x-4)10.拋物線x2=-10y的焦點在直線2mx+my+1=0上，則m=_.【解題導引】拋物線x2=-10y的焦點坐標為(0，-2.5)，代入直線2mx+my+1=0，可得結論.【解析】拋物線x2=-10y的焦點坐標為(0，-2.5)，代入直線2mx+my+1=0，可得-2.5m+1=0，所以m=0.4.答案：0.411.(2017江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線-y2=1的右準線與它的兩條漸近線分別交于點P，Q，其焦點是F1，F2，則四邊形F1PF2Q的面積是_.【解析】右準線方程為x=，漸近線為y=x，不妨設P，Q，F1(-2，0)，F2(2，0)，則S=4=2.答案：212.(2017昆明一模)拋物線x2=2py(p0)上一點A(，m)(m1)到拋物線準線的距離為，點A關于y軸的對稱點為B，O為坐標原點，OAB的內切圓與OA切于點E，點F為內切圓上任意一點，則的取值范圍為_.【解題導引】利用點A(，m)在拋物線上，求出m，點A到準線的距離為+=，求出p，即可解出拋物線方程，設點F(cos，2+sin)(為參數)，化簡數量積，求解范圍即可.【解析】因為點A(，m)在拋物線上，所以3=2pm，m=，點A到準線的距離為+=，解得p=或p=6.當p=6時，m=1，故p=6舍去，所以拋物線方程為x2=y，所以A(，3)，B(-，3)，所以OAB是正三角形，邊長為2，其內切圓方程為x2+(y-2)2=1，如圖，所以E.設點F(cos，2+sin)(為參數)，則=cos+3+sin=3+sin，所以3-，3+.答案：3-，3+【加固訓練】(2017漢中二模)已知直線l：y=k(x-2)與拋物線C：y2=8x交于A，B兩點，F為拋物線C的焦點，若|AF|=3|BF|，則直線l的傾斜角為_.【解析】如圖，設A，B兩點在拋物線準線上的射影分別為E，F，過B作AE的垂線BC，在三角形ABC中，BAC等于直線AB的傾斜角，其正切值即為斜率k值，設|BF|=n，因為|AF|=3|BF|，所以|AF|=3n，根據拋物線的定義得：|AE|=3n，|BF|=n，所以|AC|=2n，在直角三角形ABC中，tanBAC=，所以kAB=kAF=.所以直線l的傾斜角為.根據對稱性，直線l的傾斜角為時也滿足題意.答案：或三、解答題(每小題10分，共40分)13.(2017浙江高考)如圖，已知拋物線x2=y.點A，B，拋物線上的點P(x，y)，過點B作直線AP的垂線，垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍.(2)求的最大值.【解析】(1)設直線AP的斜率為k，k=x-，因為-xb0)的左焦點為F，右頂點為A，離心率為.已知A是拋物線y2=2px(p0)的焦點，F到拋物線的準線l的距離為.(1)求橢圓的方程和拋物線的方程.(2)設l上兩點P，Q關于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B(B異于點A)，直線BQ與x軸相交于點D.若APD的面積為，求直線AP的方程.【解析】(1)設F的坐標為(-c，0).依題意，=，=a，a-c=，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2-c2=.所以，橢圓的方程為x2+=1，拋物線的方程為y2=4x.(2)設直線AP的方程為x=my+1(m0)，與直線l的方程x=-1聯立，可得點P，故Q.將x=my+1與x2+=1聯立，消去x，整理得(3m2+4)y2+6my=0，解得y=0，或y=.由點B異于點A，可得點B(，).由Q，可得直線BQ的方程為(x+1)-=0，令y=0，解得x=，故D，所以|AD|=1-=.又因為APD的面積為，故=，整理得3m2-2|m|+2=0，解得|m|=，所以m=.所以，直線AP的方程為3x+y-3=0，或3x-y-3=0.15.(2017泉州一模)圓F：(x-1)2+y2=1和拋物線y2=4x，過F的直線l與拋物線和圓依次交于A，B，C，D四點，(1)當|BD|+|AC|=7時，求直線l的方程.(2)是否存在過點F的直線l，使得三角形OAB與三角形OCD的面積之比為41，若存在，求出直線l的方程，否則說明理由.【解題導引】(1)先可以設直線AD的方程為y=k(x-1)，代入橢圓方程，利用根與系數的關系及拋物線的焦點弦公式，即可求得k的值，求得拋物線方程；也可以由|AD|=2p=5，求得直線AD的傾斜角，即可求得k的值，求得拋物線的方程；(2)由三角形的面積公式，求得|AB|CD|=41，根據拋物線的焦點弦公式，求得|AB|CD|=x1x2=1，即可求得x1及x2，代入即可求得k的值，求得直線AD的方程.【解析】(1)方法一：拋物線的焦點坐標為F(1，0)，由題意可知：直線AD的斜率顯然存在，設直線AD的方程為y=k(x-1)，A(x1，y1)，D(x2，y2)，則整理得：k2x2-2(k2+2)x+k2=0，x1+x2=，x1x2=1，|BD|+|AC|=|AD|+|BC|=7，則|AD|=5，由拋物線的焦點弦公式|AD|=x1+x2+p=x1+x2+2，即=3，解得：k=2，直線l的方程為y-2x+2=0或y+2x-2=0.方法二：設直線AD的方程為y=k(x-1)，直線AD的傾斜角為，A(x1，y1)，D(x2，y2)，則整理得：k2x2-2(k2+2)x+k2=0，x1+x2=，x1x2=1，|BD|+|AC|=|AD|+|BC|=7，則|AD|=5，由|AD|=x1+x2+p=2p=5，解得：tan=2，直線AD的斜率為k=2，直線l的方程為y-2x+2=0或y+2x-2=0.(2)設O到直線AD的距離為d，由OAB與OCD的面積之比為41，即S1S2=41，所以|AB|CD|=41，設直線方程為y=k(x-1)，則整理得：k2x2-2(k2+2)x+k2=0，x1+x2=，x1x2=1，而拋物線的焦點F同時是已知圓的圓心，則|BF|=|CF|=1，所以|AB|=|AF|-|BF|=x1，|CD|=|DF|-|CF|=x2.所以|AB|CD|=x1x2=1，解得：|AB|=x1=2，|CD|=x2=，則x1+x2=，解得：k=2，所以直線l的方程為y+2x-2=0或y-2x+2=0.16.已知點P到圓(x+2)2+y2=1的切線長與到y軸的距離之比為t(t0，t1).(1)求動點P的軌跡C的方程.(2)當t=時，將軌跡C的圖形沿著x軸向左移動1個單位，得到曲線G，過曲線G上一點Q作兩條漸近線的垂線，垂足分別是P1和P2，求的值.(3)設曲線C的兩焦點為F1，F2，求t的取值范圍，使得曲線C上不存在點Q，使F1QF2=(0).【解題導引】(1)設P(x，y)，則P到圓的切線長為，利用勾股定理列方程