第3章 電阻電路的一般分析,本章重點,重點,熟練掌握電路方程的列寫方法： 支路電流法 回路電流法 結點電壓法,線性電路的一般分析方法,普遍性：對任何線性電路都適用。,復雜電路的一般分析法就是根據KCL、KVL及元件電壓和電流關系列方程、解方程。根據列方程時所選變量的不同可分為支路電流法、回路電流法和結點電壓法。,元件的電壓、電流關系特性。,電路的連接關系KCL，KVL定律。,方法的基礎,系統性：計算方法有規律可循。,1.網絡圖論,哥尼斯堡七橋難題,圖論是拓撲學的一個分支，是富有趣味和應用極為廣泛的一門學科。,3.1 電路的圖,2.電路的圖,一個元件作為一條支路,元件的串聯及并聯組合作為一條支路,有向圖,圖的定義(Graph),G=支路，結點,電路的圖是用以表示電路幾何結構的圖形，圖中的支路和結點與電路的支路和結點一一對應。,圖中的結點和支路各自是一個整體。,移去圖中的支路，與它所聯接的結點依然存在，因此允許有孤立結點存在。,如把結點移去，則應把與它聯接的全部支路同時移去。,結論,從圖G的一個結點出發沿著一些支路連續移動到達另一結點所經過的支路構成路徑。,(2)路徑,(3)連通圖,圖G的任意兩結點間至少有一條路徑時稱為連通圖，非連通圖至少存在兩個分離部分。,(4)子圖,若圖G1中所有支路和結點都是圖G中的支路和結點，則稱G1是G的子圖。,樹(Tree),T是連通圖的一個子圖且滿足下列條件：,連通 包含所有結點 不含閉合路徑,樹支：構成樹的支路,連支：屬于G而不屬于T的支路,樹支的數目是一定的,連支數：,不是樹,樹,對應一個圖有很多的樹,明確,回路(Loop),L是連通圖的一個子圖，構成一條閉合路徑，并滿足：(1)連通，(2)每個結點關聯2條支路。,不是回路,回路,2）基本回路的數目是一定的，為連支數；,1）對應一個圖有很多的回路；,3）對于平面電路，網孔數等于基本回路數。,明 確,基本回路(單連支回路),支路數樹支數連支數 結點數1基本回路數,結點、支路和基本回路關系,基本回路具有獨占的一條連支,結論,例,圖示為電路的圖，畫出三種可能的樹及其對應的基本回路。,注意,網孔為基本回路。,3.2 KCL和KVL的獨立方程數,1.KCL的獨立方程數,1,4,3,2,n個結點的電路, 獨立的KCL方程為n-1個。,結論,2.KVL的獨立方程數,1,3,2,對網孔列KVL方程：,可以證明通過對以上三個網孔方程進行加、減運算可以得到其他回路的KVL方程：,注意,KVL的獨立方程數=基本回路數=b(n1),n個結點、b條支路的電路, 獨立的KCL和KVL方程數為：,結論,3.3 支路電流法,對于有n個結點、b條支路的電路，要求解支路電流,未知量共有b個。只要列出b個獨立的電路方程，便可以求解這b個變量。,1. 支路電流法,2. 獨立方程的列寫,以各支路電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法。,從電路的n個結點中任意選擇n-1個結點列寫KCL方程,選擇基本回路列寫b-(n-1)個KVL方程。,例,1,3,2,有6個支路電流，需列寫6個方程。KCL方程:,取網孔為獨立回路，沿順時針方向繞行列KVL寫方程:,回路1,回路2,回路3,應用歐姆定律消去支路電壓得：,這一步可以省去,回路1,回路2,回路3,（1）支路電流法的一般步驟：,標定各支路電流（電壓）的參考方向；,選定(n1)個結點，列寫其KCL方程；,選定b(n1)個獨立回路，指定回路繞行方 向，結合KVL和支路方程列寫；,求解上述方程，得到b個支路電流；,進一步計算支路電壓和進行其它分析。,小結,（2）支路電流法的特點：,支路法列寫的是 KCL和KVL方程， 所以方程列寫方便、直觀，但方程數較多，宜于在支路數不多的情況下使用。,例1,求各支路電流及各電壓源發出的功率。,解,n1=1個KCL方程：,結點a： I1I2+I3=0,b( n1)=2個KVL方程：,11I2+7I3= 6,7I111I2=70-6=64,U=US,例2,結點a： I1I2+I3=0,(1) n1=1個KCL方程：,列寫支路電流方程.(電路中含有理想電流源）,解1,(2) b( n1)=2個KVL方程：,11I2+7I3= U,7I111I2=70-U,增補方程：I2=6A,設電流源電壓,+ U_,解2,由于I2已知，故只列寫兩個方程,結點a： I1+I3=6,避開電流源支路取回路：,7I17I3=70,例3,I1I2+I3=0,列寫支路電流方程.(電路中含有受控源）,解,11I2+7I3= 5U,7I111I2=70-5U,增補方程：U=7I3,有受控源的電路，方程列寫分兩步：,先將受控源看作獨立源列方程； 將控制量用未知量表示，并代入中所列的方程，消去中間變量。,注意,結點a：,3.4 網孔電流法,基本思想,為減少未知量(方程)的個數，假想每個回路中有一個回路電流。各支路電流可用回路電流的線性組合表示，來求得電路的解。,1.網孔電流法,以沿網孔連續流動的假想電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法稱網孔電流法。它僅適用于平面電路。,獨立回路數為2。選圖示的兩個獨立回路，支路電流可表示為：,網孔電流在網孔中是閉合的，對每個相關結點均流進一次，流出一次，所以KCL自動滿足。因此網孔電流法是對網孔回路列寫KVL方程，方程數為網孔數。,列寫的方程,b,網孔1： R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0,網孔2： R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0,整理得：,(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2,- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2,2. 方程的列寫,觀察可以看出如下規律：,R11=R1+R2 網孔1中所有電阻之和，稱網孔1的自電阻。,R22=R2+R3 網孔2中所有電阻之和，稱網孔2的自電阻。,自電阻總為正。,R12= R21= R2 網孔1、網孔2之間的互電阻。,當兩個網孔電流流過相關支路方向相同時，互電阻取正號；否則為負號。,uSl1= uS1-uS2 網孔1中所有電壓源電壓的代數和。,uSl2= uS2 網孔2中所有電壓源電壓的代數和。,注意,當電壓源電壓方向與該網孔電流方向一致時，取負號；反之取正號。,方程的標準形式：,對于具有 l 個網孔的電路，有:,Rjk: 互電阻,+ : 流過互阻的兩個網孔電流方向相同；,- : 流過互阻的兩個網孔電流方向相反；,0 : 無關。,Rkk: 自電阻(總為正),注意,例1,用網孔電流法求解電流 i,解,選網孔為獨立回路：,無受控源的線性網絡Rjk=Rkj , 系數矩陣為對稱陣。 當網孔電流均取順（或逆）時針方向時，Rjk均為負。,表明,（1）網孔電流法的一般步驟：,選網孔為獨立回路，并確定其繞行方向；,以網孔電流為未知量，列寫其KVL方程；,求解上述方程，得到 l 個網孔電流；,其它分析。,求各支路電流；,小結,（2）網孔電流法的特點：,僅適用于平面電路。,3.5 回路電流法,1.回路電流法,以基本回路中沿回路連續流動的假想電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法。它適用于平面和非平面電路。,回路電流法是對獨立回路列寫KVL方程，方程數為：,列寫的方程,與支路電流法相比，方程數減少n-1個。,注意,2. 方程的列寫,例,用回路電流法求解電流 i.,解,只讓一個回路電流經過R5支路。,方程的標準形式：,對于具有 l=b-(n-1) 個回路的電路，有:,Rjk: 互電阻,+ : 流過互阻的兩個回路電流方向相同；,- : 流過互阻的兩個回路電流方向相反；,0 : 無關。,Rkk: 自電阻(總為正),注意,（1）回路法的一般步驟：,選定l=b-(n-1)個獨立回路，并確定其繞行方向；,對l 個獨立回路，以回路電流為未知量，列寫其KVL方程；,求解上述方程，得到 l 個回路電流；,其它分析。,求各支路電流；,小結,（2）回路法的特點：,通過靈活的選取回路可以減少計算量；,互有電阻的識別難度加大，易遺漏互有電阻。,3.理想電流源支路的處理,引入電流源電壓，增加回路電流和電流源電流的關系方程。,例,方程中應包括電流源電壓,增補方程：,選取獨立回路，使理想電流源支路僅僅屬于一個回路,該回路電流即 IS 。,例,已知電流，實際減少了一方程,4.受控電源支路的處理,對含有受控電源支路的電路，可先把受控源看作獨立電源按上述方法列方程，再將控制量用回路電流表示。,例1,受控源看作獨立源列方程,增補方程：,例2,列回路電流方程,解1,選網孔為獨立回路,U2,U3,增補方程：,解2,回路2選大回路,增補方程：,例3,求電路中電壓U，電流I和電壓源產生的功率,解,3.6 結點電壓法,選結點電壓為未知量，則KVL自動滿足，無需列寫KVL 方程。各支路電流、電壓可視為結點電壓的線性組合，求出結點電壓后，便可方便地得到各支路電壓、電流。,基本思想：,1.結點電壓法,以結點電壓為未知量列寫電路方程分析電路的方法。適用于結點較少的電路。,列寫的方程,結點電壓法列寫的是結點上的KCL方程，獨立方程數為：,(uA-uB)+uB-uA=0,KVL自動滿足,注意,與支路電流法相比，方程數減少b-(n-1)個。,任意選擇參考點：其它結點與參考點的電位差即為結點電壓(位)，方向為從獨立結點指向參考結點。,2. 方程的列寫,選定參考結點，標明其余n-1個獨立結點的電壓；,列KCL方程：,i1+i2=iS1+iS2,-i2+i4+i3=0,-i3+i5=iS2,把支路電流用結點電壓表示：,i1+i2=iS1+iS2,-i2+i4+i3=0,-i3+i5=-iS2,整理得：,令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5,上式簡記為：,G11un1+G12un2 G13un3 = iSn1,G21un1+G22un2 G23un3 = iSn2,G31un1+G32un2 G33un3 = iSn3,標準形式的結點電壓方程,等效電流源,G11=G1+G2 結點1的自電導,G22=G2+G3+G4 結點2的自電導,G12= G21 =-G2 結點1與結點2之間的互電導,G33=G3+G5 結點3的自電導,G23= G32 =-G3 結點2與結點3之間的互電導,小結,結點的自電導等于接在該結點上所有支路的電導之和。,互電導為接在結點與結點之間所有支路的電導之和，總為負值。,iSn3=-iS2uS/R5 流入結點3的電流源電流的代數和。,iSn1=iS1+iS2 流入結點1的電流源電流的代數和。,流入結點取正號，流出取負號。,由結點電壓方程求得各結點電壓后即可求得各支路電壓，各支路電流可用結點電壓表示：,Gii 自電導，總為正。,iSni 流入結點i的所有電流源電流的代數和。,Gij = Gji互電導，結點i與結點j之間所有支路電 導之和，總為負。,結點法標準形式的方程：,注意,電路不含受控源時，系數矩陣為對稱陣。,結點法的一般步驟：,(1)選定參考結點，標定n-1個獨立結點；,(2)對n-1個獨立結點，以結點電壓為未知量，列寫其KCL方程；,(3)求解上述方程，得到n-1個結點電壓；,(5)其它分析。,(4)通過結點電壓求各支路電流；,總結,試列寫電路的結點電壓方程,(G1+G2+GS)U1-G1U2GsU3=GSUS,-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0,GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3 =USGS,例,3. 無伴電壓源支路的處理,以電壓源電流為變量，增補結點電壓與電壓源間的關系。,(G1+G2)U1-G1U2 =I,-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0,-G4U2+(G4+G5)U3 =I,U1-U3 = US,增補方程,看成電流源,選擇合適的參考點,U1= US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0,