/八年級數(shù)學《暑假作業(yè)?新課程無憂銜接》（蘇科版）考點16正多邊行與圓【知識點梳理】正多邊形的相關(guān)概念正多邊行的定義各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心為這個正多邊形的中心。正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑為這個正多邊形的半徑。正多邊形的邊心距正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離為這個正多邊形的邊心距。中心角正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角為這個正多邊形的中心角。詮釋：詮釋：

判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.3.正多邊形是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.

4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓【新課程預習練·無憂銜接】一、單選題1．古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中記載了用尺規(guī)作某種六邊形的方法，其步驟是：①在⊙O上任取一點A，連接AO并延長交⊙O于點B，BO為半徑作圓孤分別交⊙O于C，D兩點，DO并延長分交⊙O于點E，F(xiàn)；④順次連接BC，F(xiàn)A，AE，DB，得到六邊形AFCBDE．連接AD，交于點G，則下列結(jié)論錯誤的是．A．△AOE的內(nèi)心與外心都是點G B．∠FGA＝∠FOAC．點G是線段EF的三等分點 D．EF＝AF2．閱讀圖中的材料，解答下面的問題：已知是一個正十二邊形的外接圓，該正十二邊形的半徑為1，如果用它的面積來近似估計的面積，則的面積約是（）A．3 B．3.1 C．3.14 D．3．如圖，正方形的邊長為1，中心為點O，有一邊長大小不定的正六邊形繞點O可任意旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，這個正六邊形始終在正方形內(nèi)（包括正方形的邊），當這個六邊形的邊長最大時，的最小值為（）A． B． C． D．4．如圖，與正五邊形的兩邊相切于兩點，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．5．如圖，點，，在上，若，，分別是內(nèi)接正三角形．正方形，正邊形的一邊，則（）A．9 B．10 C．12 D．156．如圖，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H為的八等分點，與的交點為I．若的半徑為，則的長等于（）A． B． C． D．7．如圖，六邊形是正六邊形，點是邊的中點，，分別與交于點，，則的值為（）．A． B． C． D．8．如圖，點為正六邊形對角線上一點，，，則的值是（）A．20 B．30C．40 D．隨點位置而變化9．尺規(guī)作圖是初中數(shù)學學習中一個非常重要的內(nèi)容．小明按以下步驟進行尺規(guī)作圖：①將半徑為的六等分，依次得到六個分點；②分別以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點；③連結(jié)．則的長是（）A． B． C． D．10．如圖所示，為的內(nèi)接三角形，，則的內(nèi)接正方形的面積（）A． B． C． D．11．如圖，，分別為的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正四邊形的一邊，若恰好是同圓的一個內(nèi)接正邊形的一邊，則的值為（）A．8 B．10 C．12 D．1412．如圖，正五邊形內(nèi)接于，點為上一點（點與點，點不重合），連接，，，垂足為，則等于（）A．72° B．54° C．36° D．64°二、填空題13．如圖，要設(shè)計一個裝彩鉛的圓柱體紙盒，已知每支鉛筆大小相同，底面均為正六邊形，邊長記作．下面我們來探究紙盒底面半徑的最小值：（1）如果要裝10支鉛筆，小藍畫了圖①、圖②兩種排列方式，請你通過計算，判斷哪種方式更節(jié)省空間：_______．（填①或②）（2）如果要裝24支鉛筆，請你模仿以上兩種方式，算出紙盒底面最小半徑是_______．（用含a的代數(shù)式表示）14．如圖，四邊形為的內(nèi)接正四邊形，為的內(nèi)接正三角形，若恰好是同圓的一個內(nèi)接正邊形的一邊，則的值為_________．15．如圖，正六邊形中，，連接，則的長為______16．如圖，A，B，C，D為一個正多邊形的相鄰四個頂點，點O為正多邊形的中心，若，則從該正多邊形的一個頂點出發(fā)共有______條對角線．三、解答題17．（閱讀理解）如圖1，為等邊的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點．設(shè)等邊的面積為S，通過證明可得，則．（類比探究）如圖2，為正方形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．（拓展應(yīng)用）如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．18．如圖，六邊形ABCDEF是的內(nèi)接正六邊形．（1）求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分．（2）設(shè)的面積為，六邊形ABCDEF的面積為，求的值．19．如圖，已知，點在圓上，請以為一頂點作圓內(nèi)接正方形．（保留作圖痕跡，不寫作法）20．正方形ABCD的四個頂點都在⊙O上，E是⊙O上的一點．（1）如圖①，若點E在上，F(xiàn)是DE上的一點，DF=BE．求證：△ADF≌△ABE；（2）在（1）的條件下，小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關(guān)系：DE-BE=AE．請說明理由；（3）如圖②，若點E在上．連接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的長．

八年級數(shù)學《暑假作業(yè)?新課程無憂銜接》（蘇科版）考點16正多邊行與圓【知識點梳理】正多邊形的相關(guān)概念正多邊行的定義各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心為這個正多邊形的中心。正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑為這個正多邊形的半徑。正多邊形的邊心距正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離為這個正多邊形的邊心距。中心角正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角為這個正多邊形的中心角。詮釋：詮釋：

判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.3.正多邊形是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.

4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓【新課程預習練·無憂銜接】一、單選題1．古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中記載了用尺規(guī)作某種六邊形的方法，其步驟是：①在⊙O上任取一點A，連接AO并延長交⊙O于點B，BO為半徑作圓孤分別交⊙O于C，D兩點，DO并延長分交⊙O于點E，F(xiàn)；④順次連接BC，F(xiàn)A，AE，DB，得到六邊形AFCBDE．連接AD，交于點G，則下列結(jié)論錯誤的是．A．△AOE的內(nèi)心與外心都是點G B．∠FGA＝∠FOAC．點G是線段EF的三等分點 D．EF＝AF【答案】D【分析】證明△AOE是等邊三角形，EF⊥OA，AD⊥OE，可判斷A；．證明∠AGF=∠AOF=60°，可判斷B；證明FG=2GE，可判斷C；證明EF=AF，可判斷D．【詳解】解：如圖，在正六邊形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，∵OF=OA=OE=OD，∴△AOF，△AOE，△EOD都是等邊三角形，∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，∴四邊形AEOF，四邊形AODE都是菱形，∴AD⊥OE，EF⊥OA，∴△AOE的內(nèi)心與外心都是點G，故A正確，∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，∴∠FAD=90°，∵∠AFE=30°，∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正確，∵∠GAE=∠GEA=30°，∴GA=GE，∵FG=2AG，∴FG=2GE，∴點G是線段EF的三等分點，故C正確，∵AF=AE，∠FAE=120°，∴EF=AF，故D錯誤，故答案為：D．【點睛】考查作圖-復雜作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)心，外心等知識，解題的關(guān)鍵是證明四邊形AEOF，四邊形AODE都是菱形．2．閱讀圖中的材料，解答下面的問題：已知是一個正十二邊形的外接圓，該正十二邊形的半徑為1，如果用它的面積來近似估計的面積，則的面積約是（）A．3 B．3.1 C．3.14 D．【答案】A【分析】根據(jù)圓的面積公式得O的面積S，先求得得圓的內(nèi)接正十二邊形的面積S△ABO，最后可求解本題【詳解】如圖，構(gòu)造，，作于點．∵，∴，∴，∴正十二邊形的面積為，故選A．【點睛】考查了正多邊形與圓，正確的求出正十二邊形的面積是解題的關(guān)鍵．3．如圖，正方形的邊長為1，中心為點O，有一邊長大小不定的正六邊形繞點O可任意旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，這個正六邊形始終在正方形內(nèi)（包括正方形的邊），當這個六邊形的邊長最大時，的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】當正六邊形EFGHIJ的邊長最大時，要使AE最小，六邊形對角線EH與正方形對角線AC重合就可解決問題．【詳解】解：如圖所示，當時，正六邊形自由旋轉(zhuǎn)且始終在正方形里，此時正六邊形的邊長最大，再當與正方形對角線重合時，最小；正方形的邊長為1；，，，則的最小值為．故選：．【點睛】考查了正多邊形的性質(zhì)與運動的軌跡問題，解決本題的關(guān)鍵是首先找到正六邊形的邊長最大時正六邊形在正方形內(nèi)的位置，再旋轉(zhuǎn)正六邊形使得最小．4．如圖，與正五邊形的兩邊相切于兩點，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，結(jié)合正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為108°，即可求解．【詳解】解：∵AE、CD切⊙O于點A、C，∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，∴正五邊形ABCDE的每個內(nèi)角的度數(shù)為：，∴∠AOC＝540°?90°?90°?108°?108°＝144°，故選：A．【點睛】考查正多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，以及切線的性質(zhì)定理，掌握正多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．5．如圖，點，，在上，若，，分別是內(nèi)接正三角形．正方形，正邊形的一邊，則（）A．9 B．10 C．12 D．15【答案】C【分析】分別連接OB、OA、OC，根據(jù)正多邊形的中心角=，可分別求得∠BOC、∠AOB的度數(shù)，從而可得∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)正多邊形的中心角=，可求得邊數(shù)n．【詳解】分別連接OB、OA、OC，如圖所示∵是內(nèi)接正三角形的一邊∴∠BOC=同理，可得：∠AOB=90°∴∠AOC=∠BOC?∠AOB=30°∵是正邊形的一邊∴∴n=12故選：C．【點睛】考查了正多邊形與圓，正多邊形的中心角=，掌握這一知識是解決本題的關(guān)鍵．6．如圖，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H為的八等分點，與的交點為I．若的半徑為，則的長等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接、，作于，于，在上截取一點，使得，連接．首先證明，推出，在中，，求出即可解決問題；【詳解】解：如圖，連接、，作于，于，在上截取一點，使得，連接．點，，，，，，，為的八等分點，，，，，四邊形是矩形，，，，四邊形是正方形，設(shè)，，，，，，在中，，，（負根舍去）．故選：B．【點睛】考查正多邊形與圓、解直角三角形、正方形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．7．如圖，六邊形是正六邊形，點是邊的中點，，分別與交于點，，則的值為（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)正六邊形的邊長為a，MN是△PCD的中位線，求出△PBM和△PCD的面積即可．【詳解】解：設(shè)正六邊形的邊長為a，連接AC交BE于H點，如下圖所示：正六邊形六邊均相等，且每個內(nèi)角為120°，∴△ABC為30°，30°，120°等腰三角形，∴BE⊥AC，且，且，∵AF∥CD，P為AF上一點，∴，MN為△PCD的中位線，∴，由正六邊形的對稱性可知：，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】考查正多邊形與圓，三角形的面積，三角形的中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于常考題型．8．如圖，點為正六邊形對角線上一點，，，則的值是（）A．20 B．30C．40 D．隨點位置而變化【答案】B【分析】連接AC、AD、CF，AD與CF交于點M，可知M是正六邊形的中心，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出，再求出正六邊形面積即可．【詳解】解：連接AC、AD、CF，AD與CF交于點M，可知M是正六邊形的中心，∵多邊形是正六邊形，∴AB=BC，∠B=∠BAF=120°，∴∠BAC=30°，∴∠FAC=90°，同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°，∴四邊形ACDF是矩形，，，，故選：B．【點睛】考查了正六邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是連接對角線，根據(jù)正六邊形的面積公式求解．9．尺規(guī)作圖是初中數(shù)學學習中一個非常重要的內(nèi)容．小明按以下步驟進行尺規(guī)作圖：①將半徑為的六等分，依次得到六個分點；②分別以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點；③連結(jié)．則的長是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖（見解析），先根據(jù)六等分點可得是的直徑，，再根據(jù)圓周角定理、勾股定理可得，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】解：如圖，連接，是的六等分點，是的直徑，，由圓周角定理得：，在中，，分別以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點，，又點是的中點，（等腰三角形的三線合一），在中，，故選：C．【點睛】考查了圓周角定理、等腰三角形的三線合一等知識點，熟練掌握圓周角定理是解題關(guān)鍵．10．如圖所示，為的內(nèi)接三角形，，則的內(nèi)接正方形的面積（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先連接BO，并延長交⊙O于點D，再連接AD，根據(jù)同圓中同弧所對的圓周角相等，可得∠ADB=30°，而BD是直徑，那么易知△ADB是直角三角形，再利用直角三角形中30°的角所對的邊等于斜邊的一半，那么可求BD，進而可知半徑的長，任意圓內(nèi)接正方形都是以兩條混響垂直的直徑作為對角線的四邊形，故利用勾股定理可求正方形的邊長，從而可求正方形的面積．【詳解】解：連接BO，并延長交⊙O于點D，再連接AD，如圖，∵∠ACB=30°，∴∠BDA=30°，∵BD是直徑，∴∠BAD=90°，在Rt△ADB中，BD=2AB=4，∴⊙O的半徑是2，∵⊙O的內(nèi)接正方形是以兩條互相垂直的直徑為對角線的，∴正方形的邊長=，∴S正方形=．故選：C．【點睛】考查了圓周角定理、含有30角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形．11．如圖，，分別為的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正四邊形的一邊，若恰好是同圓的一個內(nèi)接正邊形的一邊，則的值為（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】連接OB，OC，OA，根據(jù)圓內(nèi)接正三角形，正方形可求出，的度數(shù)，進而可求的度數(shù)，利用，即可求得答案．【詳解】如圖：連接OB，OC，OA，為圓內(nèi)接正三角形四邊形ACDF為圓內(nèi)接正方形若以BC為邊的圓內(nèi)接正邊形，則有故選：C．【點睛】考查了圓內(nèi)接正多邊形中心角的求法，熟練掌握圓內(nèi)接正多邊形的中心角等于（為正多邊形的邊數(shù)）是解題關(guān)鍵．12．如圖，正五邊形內(nèi)接于，點為上一點（點與點，點不重合），連接，，，垂足為，則等于（）A．72° B．54° C．36° D．64°【答案】B【分析】根據(jù)正五邊形內(nèi)接于，可得，再根據(jù)同弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系，可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得．【詳解】解：∵正五邊形內(nèi)接于，∴∵與所對的弧相同∴∴=故選：B．【點睛】考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)及同弧所對的圓周角和圓心角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出所對的圓心角．二、填空題13．如圖，要設(shè)計一個裝彩鉛的圓柱體紙盒，已知每支鉛筆大小相同，底面均為正六邊形，邊長記作．下面我們來探究紙盒底面半徑的最小值：（1）如果要裝10支鉛筆，小藍畫了圖①、圖②兩種排列方式，請你通過計算，判斷哪種方式更節(jié)省空間：_______．（填①或②）（2）如果要裝24支鉛筆，請你模仿以上兩種方式，算出紙盒底面最小半徑是_______．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】圖①【分析】(1)圖①由10個正六邊形構(gòu)成，圖②由10個正六邊形和4個正三角形構(gòu)成，分別計算出其面積比較大小即可，(2)要裝24支鉛筆，要使紙盒底面最小，按圖①方式排每個正六邊形相鄰的空間最小計算出半徑即可；【詳解】（1）∵一個正六邊形可以分為6個全等的等邊三角形，且邊長為∴小三角形的高=∴，圖①由10個正六邊形構(gòu)成，圖②由10個正六邊形和4個正三角形構(gòu)成∵∴圖①更節(jié)省空間故答案為：①（2）由（1）可知，每個正六邊形相鄰空間最小，此時的盒地面半徑最小，如圖以中點O為圓心，OA長為半徑紙盒底面半徑最小,過O點作OB⊥AB，由（1）可知，OB=在Rt△AOB中，AB=a，OBOA=紙盒底面最小半徑是故答案為：【點睛】考查了平面鑲嵌，正多邊形的面積，勾股定理，以及圓的知識，解題的關(guān)鍵要讀懂題意畫出示意圖．14．如圖，四邊形為的內(nèi)接正四邊形，為的內(nèi)接正三角形，若恰好是同圓的一個內(nèi)接正邊形的一邊，則的值為_________．【答案】12【分析】連接OA、OB、OC，如圖，利用正多邊形與圓，分別計算⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，則∠DOF=30°，然后計算即可得到n的值．【詳解】解：連接OA、OD、OF，如圖，∵AD，AF分別為⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊，∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，∴n==12，即DF恰好是同圓內(nèi)接一個正十二邊形的一邊．故選：C．【點睛】考查了正多邊形與圓：把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念．15．如圖，正六邊形中，，連接，則的長為______【答案】2【分析】如圖，連接AC，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得∠ABC=∠BCD=120°，∠ADC=60°，AB=BC=CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BCA=30°，即可求出∠ACD=90°，可得∠CAD=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得答案．【詳解】如圖，連接AC，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠ABC=∠BCD=120°，∠ADC=60°，AB=BC=CD，∴∠BCA=∠BAC=30°，∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=90°，∴∠CAD=30°，∵AB=CD=1，∴AD=2CD=2，故答案為：2【點睛】考查正多邊形與圓、等腰三角形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．16．如圖，A，B，C，D為一個正多邊形的相鄰四個頂點，點O為正多邊形的中心，若，則從該正多邊形的一個頂點出發(fā)共有______條對角線．【答案】7【分析】連接、，根據(jù)圓周角定理得到，即可得出該圖形是正幾邊形，即可得出從一個頂點出發(fā)對角線的數(shù)量．【詳解】解：連接、，點、、、在以為圓心，為半徑的同一個圓上，根據(jù)圓周角定理，，，即該多邊形為正十邊形，從一個定點出發(fā)，除去自身與相鄰的兩個點，共可作條對角線，故答案為：7．【點睛】考查了正多邊形與圓，圓周角定理；知道正多邊形與圓的位置特點解決本題的關(guān)鍵．三、解答題17．（閱讀理解）如圖1，為等邊的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點．設(shè)等邊的面積為S，通過證明可得，則．（類比探究）如圖2，為正方形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．（拓展應(yīng)用）如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．【答案】【類比探究】四邊形的面積=．【拓展應(yīng)用】6【分析】類比探究：通過證明可得，則．拓展應(yīng)用：通過證明可得，則．【詳解】解：類比探究：如圖2，∵為正方形的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，∵繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．拓展應(yīng)用：如圖3，∵為正六邊形EF的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，∵繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．∵四邊形面積為，∴正六邊形的面積為6．【點睛】考查了旋轉(zhuǎn)，正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的中心角，三角形的全等，圖形的割補，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，六邊形ABCDEF是的內(nèi)接正六邊形．（1）求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分．（2）設(shè)的面積為，六邊形ABCDEF的面積為，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接AE，AD，AC，根據(jù)等弧所對的圓周角相等即可證明；（2）過點O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)圓O的半徑為r，求出OG，用△OED的面積乘以6得到，再求出，即可計算的值．【詳解】解：（1）連接AE，AD，AC，∵六邊形ABCDEF是的內(nèi)接正六邊形，∴EF=ED=CD=BC，∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，即過頂點A的三條對角線四等分；（2）過點O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)圓O的半徑為r，∴EF=BC=ED=r，AD=2r，在正六邊形ABCDEF中，∠OED=∠ODE=60°，∴∠EOG=30°，∴EG=r，∴OG==r，∴正六邊形ABCDEF的面積==，圓O的面積=，∴==．【點睛】考查了正多邊形與圓，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線．19．如圖，已知，點在圓上，請以為一頂點作圓內(nèi)接正方形．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見詳解【分析】先作直徑AC，再過O點作AC的垂線交⊙O于B、D，則四邊形ABCD為正方形．【詳解】解：如圖，正方形ABCD為所作．【點睛】考查了作圖——復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何