課時(shí)分層作業(yè)(四十七)(本試卷共92分．單項(xiàng)選擇題每題5分，多項(xiàng)選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項(xiàng)選擇題1．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，則|a－b＋2c|等于()A．3eq\r(10) B．2eq\r(10)C．eq\r(10) D．5A[因?yàn)閍＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，所以a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(9,3,0)，所以|a－b＋2c|＝eq\r(92＋32＋02)＝3eq\r(10).故選A．]2．已知向量a＝(1,1，x)，b＝(－2,2,3)，若(2a－b)·b＝1，則x＝()A．－3 B．3C．－1 D．6B[向量a＝(1,1，x)，b＝(－2,2,3)，則2a－b＝(2,2,2x)－(－2,2,3)＝(4,0，2x－3)，(2a－b)·b＝1，則－8＋3(2x－3)＝1，解得x＝3.故選B．]3．已知向量a＝(2,1，－3)，b＝(1，－4，－2)，c＝(－1，22，m)，若向量a，b，c共面，則實(shí)數(shù)m等于()A．4 B．6C．8 D．10A[因?yàn)橄蛄縜＝(2,1，－3)，b＝(1，－4，－2)，c＝(－1,22，m)，且向量a，b，c共面，所以c＝xa＋yb，x，y∈R，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝－1，,x－4y＝22，,－3x－2y＝m，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－5，,m＝4.))故選A．]4．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，則λ的值為()A．±eq\f(\r(6),6) B．eq\f(\r(6),6)C．－eq\f(\r(6),6) D．±eq\r(6)C[由于eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－λ，λ)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，則cos120°＝eq\f(λ＋λ,\r(1＋2λ2)·\r(2))＝－eq\f(1,2)，解得λ＝±eq\f(\r(6),6).經(jīng)檢驗(yàn)λ＝eq\f(\r(6),6)不符合題意，舍去，所以λ＝－eq\f(\r(6),6).故選C．]5．(2025·濟(jì)寧模擬)已知向量a＝(2eq\r(3)，0,2)，向量b＝(1,0，eq\r(3))，則向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)為()A．(－eq\r(3)，0,1) B．(eq\r(3)，0,3)C．(1,0，eq\r(3)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0，\f(\r(3),4)))B[因?yàn)橄蛄縜＝(2eq\r(3)，0,2)，向量b＝(1,0，eq\r(3))，所以向量a在向量b上的投影向量為eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|)＝eq\f(2\r(3)＋2\r(3),\r(1＋3)×\r(1＋3))·(1,0，eq\r(3))＝(eq\r(3)，0,3)．故選B．]6．如圖，四個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(APi,\s\up6(→))(i＝1,2，…，8)的不同值的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4A[eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(APi,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BPi,\s\up6(→)))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BPi,\s\up6(→)).因?yàn)锳B⊥平面BP2P8P6，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BPi,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BPi,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(APi,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋0＝1.則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(APi,\s\up6(→))(i＝1,2，…，8)的不同值的個(gè)數(shù)為1.故選A．]7．(2025·濟(jì)南模擬)如圖所示的四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長(zhǎng)均相等，E是PB的中點(diǎn)，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為()A．1 B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(6),6)D[設(shè)四棱錐P-ABCD的各條棱長(zhǎng)均為2，則BD＝2eq\r(2)，由E是PB的中點(diǎn)，得AE＝eq\r(3)，顯然eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))不共面，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→)))．又∠BAD＝90°，∠PAD＝∠PAB＝60°，所以eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)×(2×2×cos60°－22－2×2×cos60°)＝－2，因此cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD,\s\up6(→))·\o(AE,\s\up6(→)),|\o(BD,\s\up6(→))||\o(AE,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2,2\r(2)×\r(3))＝－eq\f(\r(6),6)，所以異面直線AE與BD所成角的余弦值為eq\f(\r(6),6).故選D.]8．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別是棱DD1和線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足與AD1垂直的直線MN()A．有且僅有1條 B．有且僅有2條C．有且僅有3條 D．有無數(shù)條D[如圖，以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，連接AD1，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，M(0,0，a)，N(x,1,1－x)，則A(1,0,0)，D1(0,0,1)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝(x,1,1－x－a)，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)．若AD1⊥MN，則eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AD1,\s\up6(→))＝－x＋1－x－a＝0，即2x＝1－a(0≤x≤1,0≤a≤1)，方程有無數(shù)組解．故選D.]二、多項(xiàng)選擇題9．(2025·淄博模擬)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是eq\f(π,3)，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則下列說法正確的是()A．eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cB．〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3)C．eq\o(BD1,\s\up6(→))＝a＋b＋cD.eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD1,\s\up6(→))＝1AD[由題意可知，a·b＝a·c＝b·c＝1×1×coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).對(duì)于A，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1M,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(C1A1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閑q\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，所以eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a－\f(1,2)b＋c))·(a＋b＋c)＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)a·c－eq\f(1,2)b·a－eq\f(1,2)b2－eq\f(1,2)b·c＋c·a＋c·b＋c2＝0，所以〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,2)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝－a＋b＋c，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD1,\s\up6(→))＝b·(－a＋b＋c)＝－a·b＋b2＋b·c＝1，故D正確．故選AD.]10．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，P為空間內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(BB1,\s\up6(→))(λ，μ∈[0,1])，則()A．若λ＝μ，則點(diǎn)P的軌跡為線段BC1B．若μ＝1－λ，則點(diǎn)P的軌跡為線段B1CC．存在λ，μ∈(0,1)，使得AP⊥平面BCC1B1D．存在λ，μ∈(0,1)，使得AP∥平面A1B1C1AB[在正三棱柱ABC-A1B1C1中，由eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(BB1,\s\up6(→))(λ，μ∈[0,1])，得點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1內(nèi)(含邊界)．對(duì)于A，由λ＝μ，得eq\o(BP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＝λeq\o(BC1,\s\up6(→))(λ∈[0,1])，點(diǎn)P的軌跡為線段BC1，A正確；對(duì)于B，由μ＝1－λ，得eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(BB1,\s\up6(→))，則eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝λ(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→)))，即eq\o(B1P,\s\up6(→))＝λeq\o(B1C,\s\up6(→))，又λ∈[0,1]，因此點(diǎn)P的軌跡為線段B1C，B正確；對(duì)于C，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BB1,\s\up6(→))＝μeq\o(BB1,\s\up6(→))2>0，則eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(BB1,\s\up6(→))不垂直，即直線AP與直線BB1不垂直，從而不存在λ，μ∈(0,1)，使得AP⊥平面BCC1B1，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，平面A1B1C1的一個(gè)法向量為eq\o(BB1,\s\up6(→))，由選項(xiàng)C知，eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(BB1,\s\up6(→))不垂直，因此不存在λ，μ∈(0,1)，使得AP∥平面A1B1C1，D錯(cuò)誤．故選AB．]三、填空題11．已知A(1，－3)，B(－2,6)是直線y＝－3x上的兩點(diǎn)，若沿x軸將坐標(biāo)平面折成120°的二面角，則折疊后A，B兩點(diǎn)間的距離是______.6eq\r(2)[過點(diǎn)A作AC⊥x軸，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，如圖所示，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝3，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DB,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝9＋9＋36＋0＋2×3×6×eq\f(1,2)＋0＝72，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6eq\r(2).]12．(2025·濟(jì)南模擬)在三棱柱ABC-A1B1C1中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(A1N,\s\up6(→))＝meq\o(A1C1,\s\up6(→))，且BN∥平面A1CM，則m的值為________.eq\f(1,2)[如圖，不妨設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，依題意，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a，eq\o(MA1,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c－eq\f(2,3)a，eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝b－eq\f(2,3)a.因?yàn)閑q\o(A1N,\s\up6(→))＝meq\o(A1C1,\s\up6(→))＝mb，所以eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1N,\s\up6(→))＝c－a＋mb.又因?yàn)锽N∥平面A1CM，所以eq\o(BN,\s\up6(→))，eq\o(MA1,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))必共面，即存在λ，μ∈R，使eq\o(BN,\s\up6(→))＝λeq\o(MA1,\s\up6(→))＋μeq\o(MC,\s\up6(→))，即c－a＋mb＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(2,3)a))＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(2,3)a))，從而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)λ＋μ＝－1，,μ＝m，,λ＝1，))解得m＝eq\f(1,2).]四、解答題13．(15分)已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1，5)．(1)求以AB，AC為邊的平行四邊形的面積；(2)若|a|＝eq\r(3)，且a分別與eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))垂直，求向量a的坐標(biāo)．解：(1)由題意可得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－3，2)，所以cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2＋3＋6,\r(14)×\r(14))＝eq\f(7,14)＝eq\f(1,2)，所以sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(3),2)，所以以AB，AC為邊的平行四邊形的面積為S＝2×eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝14×eq\f(\r(3),2)＝7eq\r(3).(2)設(shè)a＝(x，y，z)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋z2＝3，,－2x－y＋3z＝0，,x－3y＋2z＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，,z＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，,z＝－1，))所以向量a的坐標(biāo)為(1,1,1)或(－1，－1，－1)．14．(15分)如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AB＝1，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.(1)證明：C1C⊥BD；(2)若CA1⊥平面C1BD，求CC1的長(zhǎng)．解：(1)證明：法一：設(shè)∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝θ，|eq\o(CC1,\s\up6(→))|＝a，所以eq\o(CC1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CC1,\s\up6(→))·(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\