高中數學人教A版（2019）必修第一冊第四章綜合檢測卷（基礎A卷）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．化簡的結果為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據分數指數冪的運算性質即可求解.【詳解】由分數指數冪的運算可得：，故選：.2．若函數，則（

）A． B．8 C． D．【答案】C【分析】先求，再求【詳解】因為，所以，所以，故選：C3．函數的部分圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據函數的奇偶性以及時的函數值為正值，利用排除法即可得出答案.【詳解】因為，又函數的定義域為，故為奇函數，排除AC；根據指數函數的性質，在上單調遞增，當時，，故，則，排除D.故選：B4．下列函數中，其定義域和值域分別與函數的定義域和值域相同的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據函數的解析式，分別求出各個函數的定義域和值域即可．【詳解】由，∴，∴的定義域為，值域為，A選項，∵的定義域為，∴A選項錯誤；B選項，∵的定義域為，∴B選項錯誤；C選項，∵的定義域為R，∴C選項錯誤；D選項，∵的定義域為，值域為，∴D選項正確.故選：D．5．已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由指數函數單調性可判斷B正確，D錯誤；由分式性質可知A錯誤；由對數函數性質可知C錯誤.【詳解】由得：，有，A錯誤；因為，所以有，B正確；，但不一定大于1，所以不一定大于0，C錯誤；，D錯誤.故選：B6．設，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指數函數以及對數函數的單調性，即可判斷出答案.【詳解】由題意得，，由于為上的單調增函數，故，故，故選：C7．若是函數的零點，則屬于區間（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意是函數的解，根據指數函數和冪函數的增減性進行解答即可.【詳解】由題意，根據指數函數和冪函數的性質，可得，所以，即．又為上的減函數，由零點存在定理，可得函數有且只有一個零點且零點．故選：C．8．已知在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據復合函數單調性及真數大于0列式求解即可.【詳解】在上單調遞減，∴函數在上單調遞增且恒大于零，，解得，∴實數的取值范圍是．故選C.【點睛】本題主要考查了對數型復合函數的單調性，解題的關鍵是利用“同增異減”及真數大于0，屬于基礎題.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．下列函數既是偶函數又在上單調遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據偶函數的定義，結合指數型函數的單調性逐一判斷即可.【詳解】A：因為的定義域為，，所以本選項函數是偶函數，當時，函數單調遞增，故符合題意；B：因為，所以本選項函數不是偶函數；C：因為，所以本選項函數不是偶函數；D：因為的定義域為，，所以本選項函數是偶函數，當時，與單調遞增，則函數單調遞增，故符合題意，故選：AD10．已知函數，則（

）A． B．若，則C． D．【答案】ACD【分析】對于A、B選項，由解析式化簡即可判斷正誤；對于C、D選項由A、B選項的解析式關系可以判定正誤.【詳解】A項：，故正確；B項：，故錯誤；C項：因為，由A的推論可知，代入顯然正確；D項：由B項可知，代入即得，正確．故選擇：ACD11．已知實數，，滿足，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用指數函數的單調性可判斷A，由對數函數的單調性及換底公式可判斷B；由對數函數、冪函數的單調性可判斷C；由指數與對數的單調性與中間值作比較，即可判斷D．【詳解】解：因為，所以函數為增函數，又，所以，故A正確；因為，所以函數為增函數，又，所以，即，所以，故B錯誤；在時，而在時，所以，故C正確；因為，所以，，故，故D正確．故選：ACD．12．已知函數，則下列結論正確的是（

）A．B．函數在上單調遞增C．不等式的解集為D．當時，方程有三個不等實根【答案】ACD【分析】將1代入解析式計算，作出函數圖象，判斷單調性，解不等式，數形結合推斷有三個不等實根時k的取值范圍.【詳解】因為，所以，A項正確；作出函數圖象如圖，函數在和上單調遞增，B項錯誤；令，由圖形得，C項正確；結合函數圖象，直線與圖象有三個交點時，，D項正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，則___________．【答案】【分析】求得，結合的解析式可求得的值.【詳解】因為，且，則.故答案為：.14．不等式的解集為__________．【答案】（-1，4）【詳解】分析：利用指數函數的單調性，轉化為二次不等式問題.詳解：由可得：∴，即∴不等式的解集為（-1，4）故答案為（-1，4）點睛：本題考查指數型不等式的解法，解題關鍵是利用指數函數的單調性轉化為一元二次不等式問題即可.15．若關于的方程在上有解，則實數的取值范圍是______．【答案】【分析】首先將題意轉化為函數與在有交點，即可得到答案.【詳解】方程在上有解，等價于函數與在有交點，因為，所以，所以，解得.故答案為：16．函數的最小值為________．【答案】/【分析】利用換元法，結合對數函數的運算法則和二次函數的性質即可得出結論.【詳解】顯然，∴，

令，∵x∈，∴t∈[－1，2]，則，當且僅當t＝－即x＝時，有.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．計算：(1)；(2).【答案】(1)；(2)【分析】（1）運用指數冪公式進行求解即可；（2）運用對數的運算性質進行求解即可.【詳解】（1）原式；（2）原式.18．已知函數，其中且.（1）判斷的奇偶性，并說明理由；（2）若，求使成立的x的集合.【答案】（1）奇函數，理由見解析；（2）.【分析】（1）先求得函數的定義域為關于原點對稱，結合對數的運算，化簡得到，即可得到結論；（2）由，列出方程求得，得到，根據，得到不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數有意義，則滿足，解得，即的定義域為關于原點對稱，因為，所以是定義域上的奇函數.（2）由，可得，解得，所以函數，又由，則，可得，解得，故不等式的解集為.19．已知，全集，集合，函數的定義域為.(1)當時，求；(2)若是成立的充分不必要條件，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】(1)求得集合A和集合B，根據補集和交集的定義即可求解；(2)由是的充分不必要條件，可知集合是集合的真子集.根據真包含關系建立不等式求解即可.【詳解】（1），即.由，得，解得，即.當時，.∴.（2）由是的充分不必要條件，可知集合是集合的真子集.所以解得，經檢驗符合集合是集合的真子集，所以a的取值范圍是.20．已知指數函數f(x)的圖象過點．（1）求函數f(x)的解析式；（2）已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范圍．【答案】（1）f(x)＝；（2）(－1，1)．【分析】(1)將點的坐標代入函數解析式即可求出；（2）根據（1）中的解析式，結合單調性求解.【詳解】解：（1）設f(x)＝ax(a>0且a≠1)．將點代入得＝a2．解得a＝．故f(x)＝．（2）由（1）知f(x)＝，顯然f(x)在R上是減函數，又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，解得－1<x<1．即x的取值范圍為(－1，1)．21．已知是定義域為的偶函數，且時，．（1）求時的解析式；（2）若時，函數的圖像與直線沒有交點，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根據函數的奇偶性，利用求解的解析式（2）圖象無交點轉化為方程無解即可，即無解.【詳解】設，則，∴．∵函數是偶函數，∴．∴．（2）∵函數的圖像與直線沒有交點,∴方程無解．令，∴，∴．【點睛】本題主要考查了利用偶函數性質求解析式，對數型函數的值域，換元法，轉化思想，屬于中檔題.22．已知函數f（x）＝ax﹣2（a＞0且a≠1）．(1)求證函數f（x+1）的圖象過定點，并寫出該定點；(2)設函數g（x）＝log2（x+2）﹣f（x﹣1）﹣3，且g（2），試證明函數g（x）在x∈（1，2）上有唯一零點．【答案】(1)證明見解析，（﹣1，﹣1）；(2)證明見解析【分析】（1）由指數函數的圖象恒過定點（0，1），令x+1＝0，即可得到所求定點；（2）由已知條件，解方程可得a，判斷g（x）的單調性，求得g（1），g（2）的符號，由函數零點存在定理，即可得證．【詳解】（1）函數f（x）＝ax﹣2（a＞0且a≠1），可得y＝f（x+1）＝ax+1﹣2，由x+1＝0，可得x＝﹣1，y＝1﹣2＝﹣1，可得函數f（x+1）的圖象過定點，該定點為（﹣1，﹣1）；（2）設函數g（x）＝log2（x+2）﹣f（x﹣1）﹣