第2課時用樣本估計總體[考試要求]1.會用統計圖表對總體進行估計，會求n個數據的第p百分位數.2.能用數字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.3.掌握分層隨機抽樣的樣本方差．1．眾數、中位數、平均數、百分位數樣本數據頻率分布直方圖眾數一組數據中，出現次數最多的數據取最高的小矩形底邊中點的橫坐標中位數把一組數據按從小到大的順序排列，處在中間位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分，分界線與x軸交點的橫坐標平均數樣本數據的算術平均數每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標之和百分位數一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值對于數據組[a，b)，a以下的數據比例為m%，b以下的數據比例為n%，若m≤p<n，則第p百分位數為a＋(b－a)·eq\f(p－m,n－m)2．計算一組n個數據的第p百分位數的步驟第1步，按從小到大排列原始數據；第2步，計算i＝n×p%；第3步，若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p百分位數為第i項與第(i＋1)項數據的平均數．3．四分位數(1)第25百分位數，第50百分位數，第75百分位數這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數．(2)第25百分位數又稱第一四分位數或下四分位數等；第75百分位數又稱第三四分位數或上四分位數等．4.總體離散程度的估計(1)方差和標準差假設一組數據是x1，x2，…，xn，用eq\x\to(x)表示這組數據的平均數，稱eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2為這組數據的方差，也可以寫成eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)xeq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2的形式；稱為這組數據的標準差．(2)總體方差和標準差①一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數為eq\x\to(Y)，則總體方差S2＝.②加權式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,k,)fi(Yi－eq\x\to(Y))2.總體標準差：S＝eq\r(S2).(3)樣本方差和標準差如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數為eq\x\to(y)，則稱s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2為樣本方差，s＝eq\r(s2)為樣本標準差．[常用結論]平均數、方差的公式推廣(1)若數據x1，x2，…，xn的平均數為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數是meq\x\to(x)＋a.(2)數據x1，x2，…，xn的方差為s2.①數據x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數據ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平均數、眾數與中位數從不同的角度描述了一組數據的集中趨勢．(√)(2)一組數據的方差越大，說明這組數據越集中.(×)(3)任何一組數據的第50百分位數與中位數的值都是相同的．(√)二、教材經典衍生1．(人教A版必修第二冊P206探究改編)平均數和中位數都描述了數據的集中趨勢，它們的大小關系和數據分布的形態有關，在如圖兩種分布形態中，a，b，c，d分別對應平均數和中位數之一，則可能的對應關系是()A．a為中位數，b為平均數，c為平均數，d為中位數B．a為平均數，b為中位數，c為平均數，d為中位數C．a為中位數，b為平均數，c為中位數，d為平均數D．a為平均數，b為中位數，c為中位數，d為平均數A[在頻率分布直方圖中，中位數兩側小矩形的面積和相等，平均數可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標乘以小矩形的面積之和近似代替，結合題圖得，a為中位數，b為平均數，c為平均數，d為中位數．故選A.]2．(人教A版必修第二冊P204練習T2改編)某車間12名工人一天生產某產品的質量(單位：kg)分別為13.8,13,13.5,15.7,13.6，14.8，14,14.6,15,15.2，15.8,15.4，則所給數據的第25,50,75百分位數分別是________.13.7,14.7,15.3[將12個數據按從小到大排序：13，13.5，13.6,13.8,14,14.6，14.8，15,15.2,15.4，15.7，15.8.由i＝12×25%＝3，得所給數據的第25百分位數是第3個數據與第4個數據的平均數，即eq\f(13.6＋13.8,2)＝13.7；由i＝12×50%＝6，得所給數據的第50百分位數是第6個數據與第7個數據的平均數，即eq\f(14.6＋14.8,2)＝14.7；由i＝12×75%＝9，得所給數據的第75百分位數是第9個數據和第10個數據的平均數，即eq\f(15.2＋15.4,2)＝15.3.]3．(人教A版必修第二冊P215練習T2改編)一組數據的平均數是28，方差是4，若將這組數據中的每一個數據都加上20，得到一組新數據，則所得新數據的平均數是，方差是________.484[設該組數據為x1，x2，…，xn，則新數據為x1＋20，x2＋20，…，xn＋20，記新數據的平均數為eq\x\to(x)′，方差為s′2，因為eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝28，所以eq\x\to(x)′＝eq\f(x1＋20＋x2＋20＋…＋xn＋20,n)＝20＋28＝48.因為s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，所以s′2＝eq\f(1,n){[x1＋20－(eq\x\to(x)＋20)]2＋[x2＋20－(eq\x\to(x)＋20)]2＋…＋[xn＋20－(eq\x\to(x)＋20)]2}＝s2＝4.]4．(人教A版必修第二冊P198練習T1改編)為了了解全民對足球的熱愛程度，組委會在某場比賽結束后，隨機抽取了1000名觀眾進行對足球“喜愛度”的調查評分，將得到的分數分成6段：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．圖中部分數據丟失，若已知這1000名觀眾評分的中位數估計值為87.5，則m＝________.0.02[由題可知，5(m＋0.025＋0.03)＋(87.5－85)×0.05＝0.5，解得m＝0.02.]考點一總體百分位數的估計[典例1](1)某中學高一年級10位女生的身高(單位：cm)數據為148,155,157,159,162,163,164,165,170,172，則數據的第50,75百分位數分別為()A．162,165 B．162.5,164.5C．162,164.5 D．162.5,165(2)(2025·淄博模擬)將高三某班60名學生參加某次數學模擬考試所得的成績(成績均為整數)整理后畫出頻率分布直方圖如圖，則此班的模擬考試成績的第80百分位數是________.(結果保留兩位小數)(1)D(2)124.44[(1)由題意，該數據已經從小到大排列，10×50%＝5，10×75%＝7.5，所以第50百分位數為eq\f(162＋163,2)＝162.5，第75百分位數為165.故選D.(2)由頻率分布直方圖可知，分數在120分以下的學生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分數在130分以下的學生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.0225)×10×100%＝92.5%，因此，第80百分位數一定位于[120,130)內．因為120＋eq\f(0.80－0.70,0.925－0.70)×10≈124.44，所以此班的模擬考試成績的第80百分位數約為124.44.]1.計算一組n個數據的第p百分位數的一般步驟2．頻率分布直方圖中第p百分位數的計算(1)確定百分位數所在的區間[a，b)．(2)確定小于a和小于b的數據所占的百分比分別為fa%，fb%，則第p百分位數為a＋eq\f(p%－fa%,fb%－fa%)×(b－a)．[跟進訓練]1．(1)某組樣本數據的頻率分布直方圖如圖所示，設該組樣本數據的眾數、平均數、第一四分位數分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關系是(注：同一組中數據用該組區間中點值近似代替)()A．x3<x1<x2 B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2 D．x1<x2<x3(2)身體質量指數，也就是BMI指數，簡稱體質指數，是國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個標準．某校為了解該校學生的身體健康情況，從某班隨機抽取20名學生進行調查，得到這20名學生的BMI指數分別是15,15.3,15.6,15.9,16.2，16.6，17.5，17.8，18.2,18.7,19.3,19.5,20.3,21.1，21.5，22.7,22.9,23.1,23.4,23.5，則這組數據的第65百分位數是________.(1)A(2)20.7[(1)由頻率分布直方圖可知眾數為eq\f(2＋3,2)＝2.5，即x1＝2.5，平均數x2＝0.2×1.5＋0.24×2.5＋0.2×3.5＋0.16×4.5＋0.12×5.5＋0.04×6.5＋0.04×7.5＝3.54，顯然第一四分位數位于[2,3)之間，則0.2＋(x3－2)×0.24＝0.25，解得x3≈2.208，所以x3<x1<x2.故選A.(2)因為20×0.65＝13，所以這組數據的第65百分位數是eq\f(20.3＋21.1,2)＝20.7.]考點二總體集中趨勢的估計[典例2]某社區組織了垃圾分類知識競賽活動，從所有參賽選手中隨機抽取20人，將他們的得分按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分組，繪成頻率分布直方圖(如圖)．(1)求x的值；(2)分別求出抽取的20人中得分落在[0,20)和[20,40)內的人數；(3)估計所有參賽選手得分的平均數、中位數和眾數．解：(1)由頻率分布直方圖的性質得，(0.0050＋0.0075＋x＋0.0125＋0.0150)×20＝1，解得x＝0.0100.(2)由頻率分布直方圖可得，得分落在[0,20)內的人數為20×0.0050×20＝2，得分落在[20,40)內的人數為20×0.0075×20＝3.(3)估計所有參賽選手得分的平均數為0．0050×20×10＋0.0075×20×30＋0.0150×20×50＋0.0125×20×70＋0.0100×20×90＝56.設所有參賽選手得分的中位數為a，則0.0050×20＋0.0075×20＋0.0150×(a－40)＝0.5，解得a＝eq\f(170,3).所有參賽選手得分的眾數估計值為eq\f(40＋60,2)＝50.頻率分布直方圖的數字特征(1)眾數：最高矩形的底邊中點的橫坐標．(2)中位數：中位數左邊和右邊的矩形的面積和相等．(3)平均數：平均數在頻率分布直方圖中等于各組區間的中點值與對應頻率之積的和．[跟進訓練]2．(1)某射擊運動員連續射擊5次，命中的環數(環數為整數)形成的一組數據中，中位數為8，唯一的眾數為9，極差為3，則該組數據的平均數為()A．7.6 B．7.8C．8 D．8.2(2)(2024·新高考Ⅱ卷)某農業研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量(單位：kg)并整理得下表：畝產量[900，950)[950，1000)[1000，1050)[1050，1100)[1100，1150)[1150，1200)頻數61218302410根據表中數據，下列結論中正確的是()A．100塊稻田畝產量的中位數小于1050kgB．100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg之間(1)B(2)C[(2)對于A，根據題表可知，6＋12＋18＝36<50，所以畝產量的中位數不小于1050kg，故A錯誤；對于B，畝產量不低于1100kg的頻數為24＋10＝34，所以畝產量低于1100kg的稻田的占比為eq\f(100－34,100)×100%＝66%，故B錯誤；對于C，稻田畝產量的極差最大應小于1200－900＝300(kg)，最小應大于1150－950＝200(kg)，故C正確；對于D，由題表得平均值為eq\f(1,100)×(6×925＋12×975＋18×1025＋30×1075＋24×1125＋10×1175)＝1067(kg)，故D錯誤．故選C.]考點三總體離散程度的估計[典例3](2023·全國乙卷)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1,2，…，10)，試驗結果如下：試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的樣本平均數為eq\x\to(z)，樣本方差為s2.(1)求eq\x\to(z)，s2；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高如果，那么認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高.解：(1)由題意，求出zi的值如表所示，試驗序號i12345678910zi968－8151119182012則eq\x\to(z)＝eq\f(1,10)×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，s2＝eq\f(1,10)×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.(2)因為2eq\r(\f(s2,10))＝2eq\r(6.1)＝eq\r(24.4)，eq\x\to(z)＝11＝eq\r(121)>eq\r(24.4)，所以可認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高．標準差(方差)反映了數據的離散與集中、波動與穩定的程度．標準差(方差)較大，數據的離散程度越大；標準差(方差)較小，數據的離散程度越小．[跟進訓練]3．(1)已知數據x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均數是5，方差是9，則xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5)＋xeq\o\al(2,6)＝()A．159 B．204C．231 D．636(2)已知某7個數的平均數為4，方差為2.現加入一個新數據4，此時這8個數的平均數為eq\x\to(x)，方差為s2，則()A．eq\x\to(x)＝4，s2<2 B．eq\x\to(x)＝4，s2>2C．eq\x\to(x)>4，s2<2 D．eq\x\to(x)>4，s2>2(1)B(2)A[(1)根據題意，數據x1，x2，x3，x4，x5，x6中，平均數eq\x\to(x)＝5，方差s2＝9，則s2＝eq\f(1,6)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5)＋xeq\o\al(2,6))－eq\x\to(x)2＝9，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5)＋xeq\o\al(2,6)＝204.故選B.(2)因為某7個數的平均數為4，所以這7個數的和為4×7＝28.因為加入一個新數據4，所以eq\x\to(x)＝eq\f(28＋4,8)＝4.又因為這7個數的方差為2，且加入一個新數據4，所以這8個數的方差s2＝eq\f(7×2＋4－42,8)＝eq\f(7,4)<2.故選A.]課時分層作業(七十)(本試卷共97分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．(2025·菏澤模擬)下面是某城市某日在不同觀測點對細顆粒物(PM2.5)的觀測值：396275268225168166176173188168141157若在此組數據中增加一個比現有的最大值大25的數據，下列數字特征沒有改變的是()A．極差 B．中位數C．眾數 D．平均數C[根據題意，若在此組數據中增加一個比現有的最大值大25的數據，即最大值變為396＋25＝421，極差為最大值與最小值的差，會發生改變；加入數據前，中位數為eq\f(173＋176,2)＝174.5，加入數據后，中位數為176，發生改變；眾數為數據中出現次數最多的數，不會改變；平均數體現數據的整體水平，會發生改變．故選C.]2．某工廠隨機抽取20名工人，對他們某天生產的產品件數進行統計，數據如表，則該組數據的第75百分位數是()件數7891011人數37541A．8.5 B．9C．9.5 D．10C[抽取的工人總數為20,20×75%＝15，那么第75百分位數是所有數據從小到大排序的第15項與第16項數據的平均數，第15項與第16項數據分別為9,10，所以第75百分位數是eq\f(9＋10,2)＝9.5.故選C.]3．一組數據按從小到大的順序排列為1,3,5,6，m,10,12,13，若該組數據的中位數是極差的eq\f(5,8)，則該組數據的第60百分位數是()A．7.5 B．8C．9 D．9.5C[這組數據一共8個數，中位數是eq\f(6＋m,2)，極差為13－1＝12，所以eq\f(6＋m,2)＝12×eq\f(5,8)，解得m＝9.又8×60%＝4.8，則第60百分位數是第5個數據9.故選C.]4．為落實黨中央的“三農”政策，某市組織該市所有鄉鎮干部進行了一期“三農”政策專題培訓，并在培訓結束時進行了結業考試．如圖是該次考試成績隨機抽樣樣本的頻率分布直方圖，則下列關于這次考試成績的估計錯誤的是()A．眾數為82.5B．中位數為85C．平均數為86D．有一半以上干部的成績在80～90分C[由頻率分布直方圖知，眾數為82.5，A正確；由(0.01＋0.03＋0.06)×5＝0.5，即中位數為85，B正確；由(0.01×72.5＋0.03×77.5＋0.06×82.5＋0.05×87.5＋0.03×92.5＋0.02×97.5)×5＝85.5，C錯誤；由(0.06＋0.05)×5＝0.55>0.5，則有一半以上干部的成績在80～90分之間，D正確．故選C.]5．(2022·全國甲卷)某社區通過公益講座以普及社區居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：則()A．講座前問卷答題的正確率的中位數小于70%B．講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差B[講座前中位數為eq\f(70%＋75%,2)>70%，A錯誤；講座后問卷答題的正確率只有一個是80%,4個85%，剩下全部大于等于90%，所以講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%，B正確；講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差，C錯誤；講座后問卷答題的正確率的極差為100%－80%＝20%，講座前問卷答題的正確率的極差為95%－60%＝35%>20%，D錯誤．故選B.]6．若一組樣本數據x1，x2，…，xn的平均數為10，另一組樣本數據2x1＋4,2x2＋4，…，2xn＋4的方差為8，則兩組樣本數據合并為一組樣本數據后的平均數和方差分別為()A．17,54 B．17,48C．15,54 D．15,48A[由題意可知，數據x1，x2，…，xn的平均數為10，則eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝10，則eq\i\su(i＝1,n,x)i＝10n，所以數據2x1＋4,2x2＋4，…，2xn＋4的平均數為eq\x\to(x′)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(2xi＋4)＝eq\f(2,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＋4＝2×10＋4＝24，方差為s′2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,[)(2xi＋4)－(2eq\x\to(x)＋4)]2＝eq\f(4,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－10)2＝eq\f(4,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\f(4,n)×n×102＝eq\f(4,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－400＝8，所以eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)＝102n.將兩組數據合并后，新數據x1，x2，…，xn,2x1＋4,2x2＋4，…，2xn＋4的平均數為eq\x\to(x″)＝eq\f(1,2n)[eq\i\su(i＝1,n,x)i＋eq\i\su(i＝1,n,)(2xi＋4)]＝eq\f(1,2)×eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(3xi＋4)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,n)\i\su(i＝1,n,x)i＋4))＝eq\f(1,2)(3×10＋4)＝17，方差為s″2＝eq\f(1,2n)[eq\i\su(i＝1,n,)(xi－17)2＋eq\i\su(i＝1,n,)(2xi＋4－17)2]＝eq\f(1,2n)(5eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－86eq\i\su(i＝1,n,x)i＋458n)＝eq\f(1,2n)(5×102n－860n＋458n)＝54.故選A.]二、多項選擇題7．(2023·新高考Ⅰ卷)有一組樣本數據x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則()A．x2，x3，x4，x5的平均數等于x1，x2，…，x6的平均數B．x2，x3，x4，x5的中位數等于x1，x2，…，x6的中位數C．x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，…，x6的標準差D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差BD[取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，則x2，x3，x4，x5的平均數等于2，標準差為0，而x1，x2，…，x6的平均數等于3，標準差為eq\r(\f(22,3))＝eq\f(\r(66),3)，故A，C均不正確；根據中位數的定義，將x1，x2，…，x6按從小到大的順序進行排列，中位數是中間兩個數的算術平均數，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位數是將x2，x3，x4，x5按從小到大的順序排列后中間兩個數的算術平均數，與x1，x2，…，x6的中位數相等，故B正確；根據極差的定義，知x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差，故D正確．故選BD.]8．下列結論正確的是()A．若隨機變量X，Y滿足Y＝2X＋1，則D(Y)＝2D(X)＋1B．若隨機變量X～N(3，σ2)，且P(X<6)＝0.84，則P(3<X<6)＝0.34C．線性相關系數r的絕對值越接近1，兩個變量的線性相關程度越強D．按從小到大排序的兩組數據，甲組：27,30,37，m,40,50；乙組：24，n,33,44,48,52，若這兩組數據的第30百分位數、第50百分位數分別對應相等，則m＋n＝70BCD[對于A，D(Y)＝4D(X)，A錯誤；對于B，P(3<X<6)＝P(X<6)－P(X≤3)＝0.84－0.5＝0.34，B正確；對于C，線性相關系數r的絕對值越接近1，兩個變量的線性相關程度越強，C正確；對于D，由6×30%＝1.8,6×50%＝3，依題意，30＝n，且eq\f(37＋m,2)＝eq\f(33＋44,2)，解得n＝30，m＝40，因此m＋n＝70，D正確．故選BCD.]三、填空題9．(2025·淄博模擬)甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成績如表(單位：環)：甲108999乙1010799如果甲、乙只有1人能入選，那么入選的最佳人選應是________.甲[甲的平均數為eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(10＋8＋9＋9＋9)＝9，乙的平均數為eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(10＋10＋7＋9＋9)＝9，甲的方差為seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(10－9)2＋(8－9)2]＝eq\f(2,5)，乙的方差為seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(10－9)2×2＋(7－9)2]＝eq\f(6,5).因為eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，所以甲、乙的平均水平相同．因為seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲的成績穩定，故甲入選．]10．某校組織學生參與航天知識競答活動，某班8位同學成績如下：7,6,8,9,8,7,10，m.若去掉m，該組數據的第25百分位數保持不變，則整數m(1≤m≤10)的值可以是________.(寫出一個滿足條件的m值即可)7或8或9或10(填上述4個數中任意一個均可)[7,6,8,9,8,7,10，m，若去掉m，該組數據從小到大排列為：6,7,7,8,8,9,10，則7×0.25＝1.75，故第25百分位數為第二個數即7，所以7,6,8,9,8,7,10，m，第25百分位數為7.而8×0.25＝2，所以7為第二個數與第三個數的平均數，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10.]四、解答題11．(15分)某地旅游主管部門為了更好地為游客服務，在景區隨機發放評分調查問卷100份，并將問卷評分數據分成6組：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．(1)已知樣本中分數在[80,85)的游客為15人，求樣本中分數小于80的人數，并估計第75百分位數；(2)已知樣本中男游客與女游客比例為3∶2，男游客樣本的平均值為90，方差為10，女游客樣本的平均值為85，方差為12，由樣本估計總體，求總體的方差．解：(1)由頻率分布直方圖，可得分數在[85,100]內的頻率為(0.06＋0.05＋0.04)×5＝0.75，所以分數在[85,100]內的人數為100×0.75＝75，所以分數小于80分的人數為100－75－15＝10.由題意可設第75百分位數為x，其中x∈[90,95)，則1－(0.05×5＋0.04×5)＋(x－90)×0.05＝0.75，解得x＝94.故樣本中分數小于80的人數為10人，第75百分位數約為94.(2)由已知可得總樣本平均值為eq\x\to(z)＝eq\f(n,m＋n)·eq\x\to(x)＋eq\f(m,m＋n)eq\x\to(y)＝eq\f(3,2＋3)×90＋eq\f(2,2＋3)×85＝88，又由s2＝eq\f(n,n＋m)[seq\o\al(2,x)＋(eq\x\to(z)－eq\x\to(x))2]＋eq\f(m,n＋m)[seq\o\al(2,y)＋(eq\x\to(z)－eq\x\to(y))2]＝eq\f(3,2＋3)[10＋(88－90)2]＋eq\f(2,2＋3)[12＋(88－85)2]＝eq\f(42,5)＋eq\f(42,5)＝eq\f(84,5)，所以用樣本估計總體，總體的方差為eq\f(84,5).12．(15分)(2025·日照模擬)某濱海城市沙灘風景秀麗，夏日美麗的海景和清涼的海水吸引了不少前來游玩的游客．某飲品店通過公開競標的方式獲得賣現制飲品的業務，為此先根據前一年沙灘開放的160天的進入沙灘的人數，做前期的市場調查來模擬飲品店開賣之后的利潤情況，考慮沙灘承受能力有限，超過1.4萬人即停止預約．以下表格是160天內進入沙灘的每日人數(單位：萬人)的頻數分布表．人數/萬人[0，0．2)[0.2，0．4)[0.4，0．6)[0.6，0．8)[0.8，1．0)[1.0，1．2)[1.2，1．4]頻數/天881624a4832(1)繪制160天內進入沙灘的每日人數的頻率分布直方圖(用陰影表示)，并求出a的值和這組數據的65%分位數；(2)據統計，每10個進入沙灘的游客當中平均有1人會購買飲品，X(單位：個)為進入該沙灘的人數(X為10的整倍數，如有8006人，則X取8000)．每杯飲品的售價為15元，成本為5元，當日未售出飲品當垃圾處理．若該店每日準備1000杯飲品，記Y為該店每日的利潤(單位：元)，求Y和X的函數關系式；(3)以頻率估計概率，求該店在160天的沙灘開放日中利潤不低于7000元的概率．解：(1)由題意，8＋8＋16＋24＋a＋48＋32＝160，解得a＝24.因為eq\f(8＋8＋16＋24＋24,160)＝0.5，eq\f(8＋8＋16＋24＋24＋48,160)＝0.8，所以65%分位數在區間[1.0,1.2)內，則65%分位數為1.0＋0.2×eq\f(0.65－0.5,0.8－0.5)＝1.1.畫出頻率分布直方圖如圖所示．(2)由題意知，當X≥10000時，Y＝10×1000＝10000(元)，當X＜10000時，Y＝eq\f(X,10)×10－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1000－\f(X,10)))×5＝1.5X－5000，所以Y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10000X≥10000，,1.5X－50000≤X＜10000.))(3)記銷售的利潤不少于700