專題L1銳角的三角函數【十大題型】

【北師大版】

?題型梳理

【題型1正弦、余弦、正切的概念辨析】.........................................................2

【題型2根據定義直接求角的正或、余弦、正切值】...............................................4

【題型3根據正弦、余弦、正切的定義求邊長】...................................................8

【題型4特殊角的三角函數值的混合運算】.......................................................13

【題型5構造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值】.............................................15

【題型6根據特殊角的三角函數值求角的度數】..................................................20

【題型7已知角度比較三角函數值的大小】.......................................................24

【題型8根據三角函數值判斷銳角的取值范圍】...................................................26

【題型9利用同角三角函數關系求值】...........................................................27

【題型10三角函數的綜合運用】.................................................................30

，舉一反三1

【知識點銳角三角函數】

I.在RSABC中，ZC=90°,則NA的三角函數如下表:

'定義表達式取值范圍關系

AN4的對邊.a

正弦SinA=——77T；---sinA4=—0<sinA<1sinA=cosB

斜邊c

（NA為銳角）cosA=sinB

ANA的鄰邊b22

余弦C°SA=斜邊cosA=—0<cosA<1sinA4-cosA=1

c

（NA為銳角）

正切.NA的對邊,1

tanA=---u一、tanA=一tanA>0tanA=------

NA的鄰邊blan8

（NA為銳角）

2.特殊角的三角函數值

三角函數30°45°60°

sinct鼻昱

222

V3

cosaV2

22~2

tana正1

3

【題型1正弦、余弦、正切的概念辨析】

【例1】（2023秋?山東濟寧?九年級統考期末）如圖，在RSA8C中，CO是斜邊AB上的高，/A為5。，則

下列比值中不等于cosB的是（）

B

D?籌

【答案】c

【分析】根據已知可得N8=NACZ）,然后利用銳角三角函數的定義判斷即可.

【詳解】A.VCD1AB,

JNCDB=NADB=90。,

/.NB+NBCA90。,

???NACB=90。，

工NACD+NBCD=90。,

???NB=N4S

在/?/△ACO中，cosNAC7＞絲，

AC

?

??COSZP—A—C,

故A不符合題意；

B.在陽△O8C中，cosB二總故8不符合題意；

CB

在陽力⑶。中，cos/BCD

C.4岑CD,

*/NA*5。,

???N瓊45。,

/.NB*NBCD,

???cos展Q/D方，

故c符合題意：

D.在出△A4c中，cosB=—,故D不符合題意：

故選:c.

【點睛】本題考查了銳角三角函數，熟練掌握銳角三角函數只與隹度大小有關與角度位置無關是解題的關鍵.

【變式1-1]（2023秋?河北石家莊?九年級統考期末）已知RtZkABC中，4C=90。/為乙8的對邊，a為匕A的

對邊，若b與N4已知，則下列各式正確的是（）

A.a=bsinz.AB.a=bcosZ-AC.a=btan/.AD.a=b+tan乙4

【答案】C

【分析】利用銳角三角函數的定義列出算式，然后變形計算即可.

【詳解】解：如圖所示：【anA=R

D

B

貝（Ja=btanZA.

故選：C.

【點睛】此題考查銳角三角函數的定義，掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

【變式1-2]（2023秋?安徽合肥?九年級統考期末）在中，ZC=90°,若△48C的三邊都縮小5倍,

則sinA的值（）

A.放大5倍B.縮小5倍C.不變D.無法確定

【答案】C

【分析】直接利用銳角的正弦的定義求解.

【詳解】解：???NC=90。，

：.sinA=ZA的對邊與斜邊的比，

的三邊都縮小5倍，

???N4的對邊與斜邊的比不變，

，sinA的值不變.

故選：C.

【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義：在R3A3C中，NC=90。.銳角4的對邊〃與斜邊c的比叫做N4

的正弦，記作sinA.

【變式1-3]（2023秋?吉林長春?九年級校考期中）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現場的一臺起重

機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點8,4。垂直地面，垂足為點D,BC1AD,

【詳解】解：沿0E折疊得到△BOE,

：,BE=AE,

設C￡=x,則3￡=4E=8-x,

在8CE中，根據勾股定理可得：BC2+CE2=BE2,

即42+/=（8—％）2,解得：％=3,

tan^.CBE=^7=->

BC4

故選：B.

【點睛】本題主要考查了折疊的性質，勾股定理，正切的定義，解題的關鍵是掌握折疊前后對應邊相等.

【變式2-1]（2023?內蒙占?二模）如圖，在財BCD中,AD>AB,按如下步驟作圖：①以點A為圓心，以AB的

長為半徑作弧，交AD于點E,②分別以點從E為圓心，以大于號的長為半徑在BE右側作弧，兩弧交

于點G,③射線AG交8c于點￡若48=5,BE=6,則cos~1F3的值為（）

A.-B.-C.-D.-

4355

【答案】D

【分析】根據題意可得，證明和18F￡1是菱形，再根據勾股定理可得OF=JBF2-B0?=4,即可解得.

【詳解】???以點A為圓心，以力B的長為半徑作弧，交AD于點E,

=AE,

???分別以點&E為圓心，以大于號的長為半徑在8E右側作弧，兩弧交于點G,

：.LEAF=4BAF,

VZEHFF,

???/￡?力F=乙AFB,

：,LBAF=UFB,

??AB=BF,

???四邊形48FE是平行四邊形，

???團/4BFE是菱形，

：.AF1BE,BPzSOF=90°,

,:BE=6,

：.BO=-BE=3,

2

根據勾股定理可得，

OF=y)BF2-BO2=4

.\cosz.AFB=^,

故選：D.

【點睛】此題考查了基本作圖-作角平分線、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形判定與性質、平行四邊形的

判定與性質、銳角三角函數，解題的關鍵是熟悉菱形的性質.

【變式2-2］（2023?黑龍江哈爾濱?統考模擬預測）己知正方形4BCD中，48=3,點E為直線BC上一點，BE=

2EC,連接4E.則sin，O/E的值為.

【答案】曰或警

【分析】由正方形性質，BC=AB=3,ADWBC,^Z.DAE=LAEBX分情況討論：若點E在線段8c上，可

求=2,AEX=x^L3>于是sin4DA￡\=sinZ.FF,?!=若點￡在線段8c延長線上，可求E2c=BC=3,

BE?=6,AE2=3V5,于是siMDA%=sin/A%B=y.

【詳解】解：正方形為BCD中，BC=AB=3,ADWBC

：,LDAE=/-AEB.

若點E在線段BC上，則8Ei+EiC=|BEi=3

ABEi=2.

222

：.AE1=JAB+BE^=>/34-2=V13.

/.sinZ-DAEi=sin48￡\A=77=^==誓；

若點E在線段BC延長線上，則B%-E2C=E2C=BC=3,

：,BE2=6.

2

:.AE2=JAB+3.="+62=3V5.

：.sin^DAE2=sin/4%B=瞪=裊=？.

???siMD/lE的值為?或誓.

【點睛】本題考查正方形的性質，正弦的定義：根據正方形性質求解相關線段是解題的關鍵.

【變式2-3】（2023?福建龍巖?九年級統考自主招生）如圖，在△ABC中，點尸為其重心，連接BF并延

長分別交BC、4c于點力、E,且/B=4C=13,CD=5,則cos/EBC=.

【分析】先根據三角形重心的性質得到為△A8C的中線，AF=2DF,再根據等腰三角形的性質得到AD1

BC,BD=CD=5,則利用勾股定理得到4。=12,所以。9=4,接著計算出8凡然后根據余弦的定義求

解.

【詳解】解：?.?點尸為△力8c的重心，

???</）為△48C的中線，AF=2DF,

*：AB=AC=13,CD=5,

.*.AD1BC,BD=CD=5,

在RtUBD中，AD=y/AB2-BD2=V132-52=12,

：,DF=-AD=4,

在Rt△805中，BF=BF=7BD2+DF2=V52+42=同,

???cosZy-FoBnD=—BD=,5—=5--d-

BF屈41

故答案為：空

41

【點睛】本題考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對

邊中點的距離之比為2:1.也考查了等腰三角形的性質和解直角三角形.

【題型3根據正弦、余弦、正切的定義求邊長】

【例3】(2023?山西忻州?統考模擬預測)如圖，四邊形是邊長為8的正方形，E是邊CB延長線上的一

點，=6.點尸在該正方形的邊上運動，當=時，設直線CF與直線及4相交于點H,則FH的長

為?

【分析】根據正方形的性質得到=8C=8,Z.CBF=/.ABE=90°,在&△ABE中，AE=yjAB2+BE2=

V824-62=10,根據三角函數的定義得至UsinSW=第二|.由"=4E,點尸在該正方形的邊上可知點”

在邊A8和力。上，①當點尸在邊上時，如圖，根據全等三角形的性質得到乙艮4E=乙86,BE=BF=6,

求得4F=8-6=2,根據三角函數的定義得到②當點尸在邊AD上時，如圖，同理可證Rt△

力BEwRt^CBF(HL),根據全等三角形的性質得到BE=D尸=6，求得力尸=8-6=2,Z.CFD=Z-E,根據

平行線的性質得到上E=z44凡求得A”=FH,過點H作HG1A廣于G,得到AG=FG=1,根據三角函

數的定義得到

【詳解】解：???四邊形力BCO是邊長為8的正方形，

：.AB=BC=8,Z,CBF=乙ABE=90°,

在Rt△48E中，AE=7AB2+BE2=V82+62=10,

BE

：?s\nz.EAB=—=—6=3

AE105

由CF=4E,點/在該正方形的邊上可知點尸在邊AB和AD上,

當點尸在邊4B上時，如圖,

在RtA/lBE和RtZiCBF中，

AE=CF

AB=CB'

:.Rt△ABE=Rt△CFF(HL),

???/.BAE=乙BCF,BE=BF=6,

???AF=8—6=2,

???Z.AFH=乙BFC,Z.FAH+Z-AFH+乙AHF=Z.BCF+乙BFC+LCBF=180°,

：?^AIIF=乙CBF=90°,

,r,uFHFH3

**-S[n￡FAH=^=T=?

-FH=

J

當點尸在邊4。上時，如圖，

H

同理可證Rt△ABE=Rt△CDF(HL),

???BE=DF=6,

AF=AD-DF=8-6=2,乙CFD=乙E,

???四邊形ABC。是正方形，

AD\\EC,

:.LE=Z.HAF,

vZ.CFD=Z-AFH,

:，Z.HAF=Z.AFH,

???AH=FH,

是等腰三角形,

過點H作HG14F于G,則4G=FG=^AF=1,

在Rt△AFG中，cosz.GFH=焉=/=cosz.F=^=

??.FG=1；

綜上所述：尸”的長為：|或也

故答案為：?或*

【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質，解直角三角形，全等三角形的判定和性質，平行線

的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

【變式3-1］（2023秋?福建泉州?九年級福建省泉州第一中學?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，LBAC=90°,

點G為△ABC的重心，若4c=6,tan乙4BG=/那么BC的長等于.

【分析】點G為△A8C的重心，就是三角形的三條中線交點，因比延長BG交力C于點。，利用中線的定義求

W\AD,利用正切的定義求出AB,最后利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：延長BG交AC于點。，

???點G為△A8C的重心,

，8。是中線,

：.AD=-AC=3,

《tan44BG=-

3

.AD

??一=一1，

AB3

*?AB=9?

:?BC=>JAB2+AC2=3V13,

故答案為：3y/13.

【點睛】本題考查了重心概念、正切的定義以及勾股定理等知識，根據重心概念添加合適輔助線，構造直角

一:角形求解是解題的關鍵.

【變式3-2］（2023春?浙江杭州?九年級校聯考期中）如圖，在平行四邊形力8。。中，力￡平分乙ZM8,已知CE=3,

BE=4,DE=5.

（1）求證：BE1CD；

⑵求sinzfME.

【答案】（I）見解析

【分析】（I）根據平行四邊形的性質得出出。=4氏AD=CB,DC\\AB,推出/0E4=/EAB,再根據角平

分線性質得出，。力E=4DE4推出4D=DE=5,得出48=CD=8,由勾股定理的逆定理即可得出結論;

（2）由平行線得出乙A8E=4BEC=90。，由勾股定理求出力E=4A/5,最后利用銳角三角函數蟀答即可.

【詳解】（I）證明：???四邊形/BCO是平行四邊形，

：.DC=AB,AD=BC,DC\\AB,

：.LDEA=Z.EAB,

平分NOAB,

：.LDAE=乙EAB,

：.￡DAE=乙DEA,

'?AD=DE=5,

：.BC=5,AB=CD=DEICE=8,

,：CE24-BE2=32+42=25=BC2,

???z118cE是直角三角形，/.BEC=90°,

???BE1CD；

(2)解:^ABWCD,

：.LABE=乙BEC=90°,

：.AE=yjAB2+BE2=V82+42=4右

/.s\nZ.DAE=s\nz.EAB=器=4=*.

AE4\55

【點睛】本題考查了平行四邊形性質，角平分線定義，平行線的性質，等腰三角形的判定、三角函數等知識

點，證明4。=DE是解題的關鍵.

【變式3?3](2023?甘肅蘭州?統考一模)如圖，在中,AB=AC,。是BC的中點,過點4作A￡||BC,

且HE=DC,連接CE.

Ar

⑴求證：四邊形/DUE是矩形：

(2)若45=5,cosB=|,求CE的長.

【答案】(1)見解析

(2)4

【分析】(1)根據題意可得四邊形4DCE是平行四邊形，根據三線合一得出4。1BC,可得々WC=90。，即

可得證；

(2)根據cosB=：=?得出8。=)8=3,在RtZk4BD中，根據勾股定理得出力0=4,根據矩形的性質即

SABS

可求解.

【詳解】(1)證明：???AEWBC,RAE=DC,

四邊形力DCE是平行四邊形，

???AB=AC,。是BC的中點，

???AD1BC,

:.LADC=90°,

???平行四邊形力。CE是矩形；

（2）解：v/.ADC=90°,AB=5,cosB=-=—,

5AB

...BD=^AB=3,

在Rt△力BD中，

根據勾股定理得：AD=>/AB2-BD2=V52-32=4,

由（1）可知，四邊形40CE是矩形，

:.CE=AD=4,即CE的長為4.

【點睛】本題考杳了矩形的性質與判定，三線合一，己知余弦求邊長，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題

的關鍵.

【題型4特殊角的三角函數值的混合運算】

【例4】（2023?四川遂寧?射洪中學?？家荒＃┯嬎悖篔（一31+（7T—2022）0-12cos45。-2|+

【答案】V2

【分析】根據算術平方根的性質、零指數累、特殊角的三角函數值和絕對值運算及負整數指數需分別求解，

然后從左向右依次計算，求出算式的值即可.

【詳解】解：原式=3+1-|2'9一2|+（-2）

=4-|^-2|-2

=4-2+72-2

=<2

【點睛】本題考查實數的運算，解答此題的關鍵是要明確：在進吁實數運算時，和有理數運算一樣，要從高

級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從

左到右的順序進行.

【變式4-1】（2023春?黑龍江哈爾濱?九年級校考階段練習）先化簡，再求代數式（￡-長）+巖的值，其

中a=tan600+2tan450.

【答案】-4,當

a-23

【分析】先將分子分母因式分解，除法改寫為乘法，括號里面通分計算，再根據分式混合運算的運算法則和

運算順序進行化簡，然后根據特殊角度的銳角三角函數值混合運算，求出。的值，最后將?。的值代入計算即

可.

【詳解】解：后-*)+黑

2a+4a-2a+2

(Q—2)(Q+2)(Q+2)(Q—2)JQ+6

a+6a+2

________________x______

(a—2)(tz+2)Q+6

i

-a^2：

Va=tan600+2tan45°=V5+2xl=2+V5,

???原式=￡=1_V3

2+V3-2—3

【點睛】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運算順序和法則，熟記各個特殊角度的銳角三角函

數值是解題的關鍵.

【變式4-2］（2023春?福建龍巖?九年級?？茧A段練習）計算:

(1)-?/2sin450+tan60°—2cos30°；

tan60°-tan45°+2sin600+6tan230°.

*Z^l+tan60°-tan45°

【答案】（1）1

(2)4

【分析】（1）先將各個特殊角度的銳角三家函數值化簡，再進行計算即可;

（2）先將各個特殊角度的銳角三家函數值化簡，再進行計算即

【詳解】(1)解：\/2sin45o+tan60°-2cos30°

l垃lV3

=x/2x—+V3-2X—

=1+V3-V3

=1；

(2)解：tan6°°~tan45\+2sin600+6tan230°

l+tan600tan45a

V3-1V3

--------+2x--+6x

1+V3x1-----2

G—1l1

=-----=+V3+6X-

1+V33

4-2V3廠

=---+代+2

=2-V3+V3+2

=4.

【點睛】本題主要考查了特殊角度的銳角三角函數值的混合運算，解題的關鍵是熟記各個特殊角度的銳角三

角函數值.

【變式4-3］（2023春.黑龍汀哈爾濱.九年級?？茧A段練習）先化簡,再求代數.式也32ab-b）的值,

aa

其中a=3tan3(r+l；b=V2sin450.

【答案】告;

a-b曾3

【分析】分別化簡代數式和字母的值，再代入計算.

［詳解］原式:七2+（七誓）

2(Q-b)a

a(a—b)2

2

a-b

：a=3tan30°+1=3Xy+1=V3+1；b=V2sin450=V2xy=1,

2_W3

，原式==

a-bV3+1-1-3?

【點睛】本題考查分式的化簡求值，分母有理化，特殊角三角函數值，解題的關鍵是先化簡，然后把給定的

值代入求解.

【題型5構造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值】

【例5】（2023秋?九年級課時練習）如圖,在RtZkAB。中,乙4cB=90。,1。_L4B于點將△ACD沿直線CD

折疊，點力在AB邊上的點E處，已知4c=5,DE=3,則sin^BCE的值為（）

【答案】A

【分析】作EF_L8C于點F,先這么乙4。。二匕氏再根據折疊的性質、勾股定理得到NOCE=4B,C04,

由余弦定義得到*=黑=±由正弦定義得到sinNB=*=賓,據此設BF=4x,8E=5x,EF=3x,解出

Ccbe5ADDC

%=總，從而得到EF=g,最后根據正弦定義解答即可.

【詳解】解：如圖，作EF_L8C于點4

???AC1BC

：.AC\\EF

???z?l=乙BEF

vCD1AB,Z.A+Z.ACD=Z.BEF+48=90°

Z.ACD=Z.B

???折疊

AC=CE=5,DE=AD=3/ACD=乙DCE

:.乙DCE=乙B,CD=泗2-32=4

二cosZ-DCE=cosZ-B

CDBF4

:.--=---=一

CEBE5

設BF=4x,8E=5x

二EF=3%

：?sinz.fi=——=——

ABBE

53x

:.--------=—

6+5x5x

7

"X=15

7

???EF=3x=—

?J

7

EFc7

s\nLBCE=—=-=—

CE525

故選：A.

【點睛】本題考查正弦、余弦、勾股定理、平行線的判定與性質等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題

關鍵.

【變式5-1】(2023?內蒙古包頭?二模)如圖,在矩形ABC。中，8。是對角線，力E1BD,垂足為E,連接CE.若

乙ADB=30°,則COSNOEC的值為()

BC

ATB.更C..D.在

2372

【答案】C

【分析】過。作CT1BD于F,設A8=x,根據矩形的性質和含30度角的直角三角形的性質求得BE=ix,

DF=^x,CF=yx,在RtaCFE中，利用勾股定理求得X，然后根據余弦定義求解即可.

【詳解】解：過C作G71BD于F,則乙4E8=乙CFD=乙CFB=90°,設48=x,

BC

???四邊形/18C。是矩形，

：,AB=CD=x,乙BAD=^.ADC=90°,

Vz/IDB=30°,

；?BD=2AB=2x,乙DAE=Z.CDE=60°,

：.LBAE=乙DCF=30。,

：,BE=^AB=^x,DF=^CD=1x,

則CF=y/CD2-DF2=Jx2一(i)=y

在RtACFE中，EF=BD-BE-DF=x,

/.CE=\/CF2+EF2=J(苗x)+%2=

：?cos乙DEC=^=-5-=

CEV77

2Xr

故選：C.

【點睛】本題考查r矩形的性質、含30度角的直角三角形的性質、勾股定理以及余弦定義，熟練掌握含30

度角的直角三角形的性質，添加輔助線構造直角三角形是解答的關鍵.

【變式5-2]（2023春?湖南永州?九年級校考開學考試）如圖，在2x4的方格中，兩條線段的夾角（銳角）

為/I,則tanz_l=.

【答案】1

【分析】由勾股定理的逆定理可得乙CE。=90。，可得4=iECO=45。，由平行線的性質和銳角三角函

數可求解.

【詳解】解：如圖，取格點E,連接CE,DE,則CEII4B,

E

VCE=V5,DE=瓜CD=V10,

???DE=CE,CE2+DE2=10=CD2,

/CED=90°,

乙EDC=4ECD=45°,

vCE||AB,

???Z1=LDCE=45。，

tanzl=1,

故答案為：1.

【點睛】本題考查了銳角三角函數，勾股定理的逆定理，添加恰當輔助線構造直角三角形是本題的關鍵.

【變式5-3］（2023春?黑龍江哈爾濱?九年級?？茧A段練習）在AABC中，-1BC=60。，點。是直線8c上一

點，若48=16,BD=10（8。＞BD）,sin/B/O的值為

【答案】苧或^

【分析】分兩種情況：點。在線段8C上，點。在線段BC的反向延長線上，分別畫出圖形，進行求解即可.

【詳解】解：如圖1,點。在線段BC上，過點A作力E1BC于點E,過點3作BF14D于點F,

在乙A8E中，乙ABC=60°,/.AEB=90%

：.LBAE=30°,

'：AB=16,

：.BE=\AB=8,

2

：,AE=7AB2-BE?=V162-82=873,

'：BD=10,

:,DE=80—BE=10—8=2,

=J(8⑹2+22=14,

：.AD=yjAE2+DE2

???S^D=^AD-BF=^D-AE,

、反_

.?.B昨甯10X840\/I

14-7

40日

???siM84D="=^=詈;

如圖2,點。在線段BC的反向延長線上，過點A作力E18C于點E,過點8作1于點F,

A

在△力8E中，/.ABC=60°,^AEB=90%

：.LBAE=30°,

'：AB=16,

???BE="B=8,

：,AE=7AB2-BE?=V162-82=8百,

*：BD=10,

：.DE=80+BE=10+8=18,

：.AD=y/AE2+DE2=J(8百『+182=2^/1^,

VSMB。=-ADBF=-BD-AE,

22

廿BDAE10x8百40\/43

Dr=------=----j=----------,

AD2V12943

40\語

DC?5743

Asinzfi/1D=絲=3_=

AB1686；

綜上可知，sin/84。的值為當或警.

故答案為：呼或鬻

【點睛】此題考杳了求銳角三角函數、勾股定理、含30。角的直角三角形等知識，分類討論是解題的關鍵.

【題型6根據特殊角的三角函數值求角的度數】

【例6】（2023?湖南衡陽??？寄M預測）在^ABC中，乙4、28均為銳角，且|tanB-V3|+（2cos4-V3）2=0,

則ZMBC是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】先根據非負數的性質求出tanB與cosA的值，再根據特殊角的三角函數值求出乙4、乙8的值即可.

2

[詳解】解：v|tan^-V3|+(2cosA->/3)=0,

二|tanB—=0,(2cos4—遮；=0,

tan5=V3,2cosA-V3=0,

:.LB=60。，cosA=y,LA=30°,

在么ABC中,ZC=180°-60°-30°=90°,且NAW匕8,

??.△ABC是直角三角形.

故選：C.

【點睛】本題考杳實數的綜合運算能力，足各地中考題中常見的計算題型.解題的關鍵是熟記特殊角的二角

函數值，并充分利用非負數的性質.

【變式6-1](2023秋?上海青浦?九年級?？计谥?在中，若力8=AC=2,BC=2百,則〃=度.

【答案】120°

【分析】根據等腰三角形的性質和銳角三角函數可求得:乙/1=60。，即可求得N4=120°

【詳解】???在△力8c中，AB=AC=2,BC=273

???A/WC是等腰三角形，

過點力作ADJ.8C,

：,BD=-BC=V3,/-BAD=-^A

22

sin^BAD=—=

AB2

?"BAD=60°,

：.LA=120°,

故答案為:120°

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和銳角三角函數，能夠結合等腰三角形的性質求解銳角三角函數是解

決本題的關鍵

【變式6-2】（2023秋?云南昆明?九年級云大附中?？计谀┤袅庑蔚闹荛L為8vL高為2,則菱形兩鄰角的

度數比為（）

A.6：IB.5：IC.4：1D.3：1

【答案】D

【分析】如圖，〃/為菱形Z1BCD的高,21〃=2,利用菱形的性質得到八8=2企,利用正弦的定義得到“=45。,

則“=135°,從而得到乙C/B的比值.

【詳解】解：如圖，4H為菱形718co的高，AH=2.

???菱形的周長為8夜，

AB=2\[2,

在RtAABH中,sinB=%=意=今

???=45°,

,:AB“CD,

二zC=135°,

二zC:乙B=3:1.

【點睛】本題考查了菱形的性質：菱形具有平行四邊形的一切性質；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角

線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.也考杳了直角三角形斜邊上的中線性質.

【變式6-3]（2023春?浙江杭州?九年級專題練習）在中，45=6,為銳角且cos8=5tanC=3V3.

BC

⑴求乙8的度數.

⑵求8。的長.

(3)求△A8C的面積.

【答案】(1)乙8=60。

(2)BC=4

(3N4BC的面積為

【分析】(1)根據函數值直接得到48的度數.

(2)過點A作441BC于H,根據cosB=:求出=3,利用勾股定理求出4H,再利用tan。=3通求出CH=

1.進而求出8c的長：

(3)根據面積公式直接計算可得.

【詳解】(1)??28為銳角且COS8=5

工&B=60°：

(2)過點4作力，1BC于H,

VcosB=

2

?BH1

?A?B=—29

\*AB=6,

???BH=3,

在Rt△ABH中，AH=>JAB2-BH2=V62-32=36，

VtanC=373,

?譚=3次,

CH

即蜉=3V3,

Cn

解得CH=1,

???BC=BH+CH=3+1=4；

A

(3)S^ABC==1x4x3V3=6vs.

【點睛】此題考查了銳角三角函數，熟練掌握各銳角的三角函數值及各銳角三角函數的計算公式是解題的關

鍵.

【題型7已知角度比較三角函數值的大小】

【例7】(2023秋?湖南衡陽?九年級湖南省衡南縣第一中學?？茧A段練習)三角函數sin40。、cosl6。、tan50°

之間的大小關系是()

A.tan500>cos16°>sin40°B.cos160>sin400>tan50°

C.cos160>tan50°>sin40°D.tan50°>sin400>cos16°

【答案】A

【分析】首先把sin40。、cosl6。轉換成相同的銳角三角函數；再根據正弦值是隨著角的增大而增大，進行分

析，可以知道I>sin74o>sin40。,又根據正切值隨著角度增大而增大,因此tan50°>tan45°=1,即可得出

正確選項.

【詳解】解：???sina=cos(9()o-a)(0<a<90°),

Acos16°=sin(90°-16°)=sin74°,sin90°=1

/.l>sin74°>sin40°,

Vtan50°>tan45°=1,

/.tan500>sin74°>sin40°,

AtanSO0>cosl6°>sin40°,

故選：A.

【點睛】本題考查三角函數值的大小比較，掌握正余弦的轉換方法：一個角的正弦值等于它的余角的余弦值;

以及正余弦值、正切值的變化規律是本題的關鍵.

【變式7-1]（2023春?九年級課時練習）已知NB是△ABC中最小的內角，則tanB的取值范圍是.

【答案】OVtanBW百

【分析】在三角形中，最小的內角應不大于60度，找到相應的正切值即可，再根據tan60*V5和一個銳角的

正弦值隨著角的增大而增大，進行分析.

【詳解】解：根據三角形的內角和定理，易知三角形的最小內角不大于60。.

根據題意，知：

00<ZB<60°.

又tan600=V3,

/.0<tanB<x/3.

故答案為:0<tanB<V3

【點暗】此題主要考查了二角形的內角和定理、特殊角的銳角二力函數值和銳用二角函數值的變化規律，得

出0OVNBW60。是解題關鍵.

【變式7-2]（2023春?九年級單元測試）在RtAABC中，如果一條直角邊和斜邊的長度都縮小至原來的，那

么銳角A的各個三角函數值（）

A.都縮小:B.都不變C.都擴大5倍D.無法確定

【答案】B

【分析】在RQ43C中，如果一條直角邊和斜邊的長度都縮小至原來的；，根據勾股定理可知，另?條直角

邊也縮小至原來的不再根據三邊對應成比例的兩個三角形相似，可知這兩個直角三角形相似，由相似三角

形的對應角相等，可知銳角4的大小不變，所以銳角A的各個三角函數值也都不變.

【詳解】解：在RSABC中，設NC=90。，BC=a,AC=b,AB=c,則反叱一。2.

如果在△4*。中，4*,即一條直角邊a和斜邊c的長度都縮小至原來的，

那么由勾股定理，可知-（\a）2=^b.

??,％：。=乎：吟:c,???△4夕CS^ABC,??.N/T=NA,，銳角A的各個三角函數值都不變.

故選B.

【點睛】根據已知條件得出/A的大小不變，是解題的關鍵.

【變式7-3]（2023?上海靜安?校考一模）如果0。<乙4<60。，那么sinA與cos/1的差（）.

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能確定

【答案】D

【分析】利用銳角三角函數的增減性分類討論，即可得到答案.

【詳解】解：當0°<Z/1<45。時，45°<90°一4AV90°,

???sinA<sin（90°-Z.A）,

，s\nA<cosA,

???sinA-cosA<0；

當/4=45。時，90°-z/l=45%

:.sin/l=sin（90°—乙4）,

sin4=cos力，

???sinA-cos力=0；

當45°<V60%30°<90°-Z./4<45%

???sinA>sin（90°—Z.A）,

???sinA>cosA,

???sinA-cosA>0,

綜上所述，sinA與cos4的差不能確定，

故選：D.

【點睛】本題考查了銳角三角函數的增減性，解題關鍵是掌握在0。~90。之間（不包括0。和90。），角度變大,

正弦值、正切值也隨之變大，余弦值隨之變小.注意分類討論.

【題型8根據三角函數值判斷銳角的取值范圍】

【例8】（2023春?九年級單元測試）若乙A是銳角，coszA〉?，則NA應滿足.

【答案】0°<Z/1<30°

【分析】首先明確cos3（T=:,再根據余弦函數隨角增大而減小卻可得出答案.

【詳解】解：???330。=苧，余弦函數隨角增大而減小，

.??。。<^A<30°,

故答案為：0。〈乙4V30。.

【點睛】本題考查特殊角的三角函數值，熟記特殊角的三角函數值，了解銳角三角函數的增減性是解題的關

鍵.

【變式8-1]（2023春?九年級課時練習）已知曰<cosAVsin70。，則銳角A的取值范圍是

【答案】20OVNAV30。.

【詳解】Vy<cosA<sin70°,sin70°=cos20°,

:.cos300<cosA<cos20°,

A20o<ZA<30°.

【變式8-2]（2023?上海?九年級假期作業）已知Jkina—T）'=9sin*則銳角a的取值范圍是.

【答案】0<a<30°

【分析】根據二次根式的性質可得出sina4，再由銳角正弦函數的增減性質可得出結論.

【詳解】由題意知:一sina20,故sina4，即sinagsin30。，由正弦函數是增函數.

知0VaW300

【點睛】本題考查了二次根式的性質和正弦函數的性質，熟練掌握性質和特殊角的三角函數值是解題關鍵.

【變式8-3]（2023秋,全國?九年級專題練習）已知sinaVcosa,則銳角a的取值范圍是.

【答案】00<a<45°.

【分析】根據銳角三角函數的增減性即可求解.

【詳解】解：由sinaVcosa,得

00<a<45°,

故答案為:0°<a<45°.

【點睛】同角三角函數的關系、銳角三角函數的增減性是解題的關鍵.

【題型9同角三角函數關系】

【例9】（2023春?九年級單元測試）在△力8c中，ZC=90°,貝Ijsin4+8$4的值（）

A.大于1B.等于1C.小于1D.不確定，與41的值有關

【答案】A

【分析】根據銳角三角函數的概念表示出sim4=%cos/1=所以sinA+cosA=竺之再根據三角形的三邊

CCC

關系進行分析.

【詳解】解：設直角三角形中，乙4的對邊是a,鄰邊是b,斜邊是c.

根據銳角三角函數的概念，得

sin.4=cos/1=

cc

所以sin4+cosA=

再根據三角形的三邊關系，得a+b>c,

故sinA+cos力的值大于1.

故選：A.

【點睛】本題考查了解直角三角形，首先理解銳角三角函數的概念，再結合三角形的三邊關系進行分析.

【變式9-1]（2023秋?福建泉州?九年級?？计谥校┒呛瘮祍in70。，cos70。，tan70。的大小關系是（）

A.sin700>cos70°>tan70°B.tan70°>cos700>sin700

C.tan70°>sin700>cos70°D.cos70°>tan70°>sin700

【答案】C

【分析】首先根據銳角三角函數的概念，知：sin70。和cos70。都小于1,tan70。大于1,故tan70。最大：只需

比較sin70。和cos70。，又cos70。=sin20。，再根據正弦值隨著角的增大而增大，進行比較解答即可.

【詳解】根據銳角三角函數的概念,ton70°<1,cos70°<1,tan70°>1.

又.「cos7。。=sin20。，正弦值隨著角的增大而增大，

.,.sin70°>sin20°=cos70°,

/.tan70°>sin70°>cos20°,

故選C.

【點睛】本題考查銳角三角函數.掌握銳角三角函數的性質是解題關犍.

【變式9-2]（2023春.全國?九年級專題練習）求證：若a為銳角，則siMa+cos2a=1.要求：

m

（1）如圖，銳角a和線段m,用尺規作出一個以線段m為直角邊，a為內角，乙/1CB為90。的Rt△力BC（保留作

圖痕跡，不寫作法）.

（2）根據（I）中所畫圖形證明該命題.

【答案】（I）見解析

（2）見解析

【分析】（1）作線段=過點作zJ\MC=a,射線AN,交CM于點B,ZkABC即為所求:

（2）利用勾股定理，三角函數的定義證明即可.

【詳解】（1）解：如圖，Rta/IBC即為所求.

AB2=AC2+BC2,

BCAC

sina=—,cosa=一,

ABAB

BC2,AC2BC-+AC2AB2

：,sm"7a+cos?'a=-；4--；=----；—=—；1.

AB2AB2AB2AB2

【點睛】本題考查了作一個角等于已知角、作垂線、作三角形、勾股定理、三角函數，熟練掌握勾股定理和

三角函數是解題關鍵.

【變式9-3］（2023春?九年級單元測試）已知：根據圖中數據完成填空，再按要求答題:

B

22

如圖I：sinz/l1+sinzB1=_

22

如圖2：sinz/l2+sinzF2=_

22

如圖3：sinz/l3+sinz.F3=_

①觀察上述等式,猜想：如圖察在Rt△48。中，〃=90。，都有sin?乙4+sin2-B=_；

②如圖4,在RtaABC中，乙C=90。，^A,乙B,“的對邊分別是a,b,c,利用三角函數的定義和勾股定理,

證明你的猜想;

③已知：乙4+48=90°,且sin4/1=0.7,求sin匕B.

【答案】1,1,1①1②見解析③sin”密

【分析】根據正弦函數的定義，計算即可得出結果；