2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版下學(xué)期期中考試模擬卷C卷

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后,

再選涂其它答案標(biāo)號。

2.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

3.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z（x,y）,若|z—1|=1,貝ij（）

A.(x-l)2+,2=]B.(x+1)2+J=]

C.x2+(y-l)2-lD.x2+(y+l)2=1

2.下列各組向量中，可以作為基底的是（）

A.q=(1,2)，e2=(2,3)B.q=(3,—2)，62=(-6,4)

C.q=(0,0)^2=(-1,3)D.q=(l,l)'e2=(2,2)

3.已知向量a=(2,l),若2a+3/>=(—3,8),則cos(a,a+b)=()

VwM03而63A/10

A.--B.---C.D.

10101010

4.如果復(fù)數(shù)z=—2—2i,那么z=（)

A.2V2B.2C.4D.8

5.平面內(nèi)有向量2,b，c滿足時=同=4，k+.=卜一可=26，則—耳+2忸一4的最小值

是（）

A.限RB.473C.4指D.4

6.已知平面向量°,均為單位向量，且夾角為60°，若向量c與a，B共面，且滿足a.c=b.c=l，

則卜|=（）

A.lB.26c.6D.2

1-i-

7.已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，若上上是實(shí)數(shù)，則z的虛部是（）

z+2

A.-2iB.2iC.-C.-B.2iC.-C.-2D.2

8.復(fù)數(shù)z滿足z（2-i）=3+4i（i為虛數(shù)單位），則口的值為（)

A.5V5B.5C.亞D.A/5

3

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.下列說法正確的是（）

A.零向量是沒有方向的向量B.零向量的長度為0

C.相等向量的方向相同D.同向的兩個向量可以比較大小

10.已知復(fù)數(shù)z=（i是虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是（）

1+i

A.復(fù)數(shù)z的虛部等于_2iB.z對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)在第三象限

Cz+z=-2D.若°是實(shí)數(shù),z+a是純虛數(shù)，則。=1

11.數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形三邊求面積的公式，其求法是：“以小斜募并

大斜幕減中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方

222

122(c+a-b~|

得積若把以上這段文字寫成公式,即s=-cci---------------.現(xiàn)有△ABC滿足

sinA:sinB:sinC=A/7:1:3,且貝M)

外接圓的半徑為2亙

3

B.若ZA的平分線與交于點(diǎn)則A。的長為.

C.若。為BC的中點(diǎn)，貝"勺長為孚

D.若。為△ABC的外心，則AO?(AB+AC)=5

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若向量。=(匕3)，b=(l,4)，c=(2,l)，已知2"3。與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是

13.如圖，裝有水的正方體無蓋容器放在水平桌面上，此時水面為EPGH,已知4石=：的=1.

為了將容器中的水倒出，以為軸向右傾斜容器，使得水能從容器中倒出，當(dāng)水剛好能從容器中倒

出時，水面距離桌面的高度為.

14.已知4(2,3)，6(4,—3),點(diǎn)P在線段崩的延長線上，且25P=3AP，則點(diǎn)p的坐標(biāo)是

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在ZsABC中，角A，B,C所對的邊分別為a,b,c.

⑴求證：2cos——'sin3+」=sinA；

22

(2)若2(c-a)cossin。=csinC—Z?sin3.

(i)求B；

(ii)若6=5，且△ABC的面積為8百，求△ABC的周長.

16.在三角形ABC中，內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,已知asiaB=6COS1A-巳

(1)求角A的大小；

⑵若c=2b,三角形ABC的面積為手，求三角形ABC的周長.

17.如圖，四棱錐P—A6CD中，QA,底面ABC。，PA=AC=2,BC=1,AB=6.

p

(1)若AD，PB,證明：AD〃平面P8C；

J42

(2)若A。，DC,且二面角A—CP—D的正弦值為^—，求AD

7

18.如圖1,在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=4,。是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且

。石，43.將44￡石沿著。七折起，形成四棱錐P—BCDE,其中點(diǎn)A對應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)P,如圖2.

圖2

PF

⑴在圖2中，在線段網(wǎng)上是否存在一點(diǎn)F,使得。尸〃平面尸D￡?若存在，請求出口的值，并

PB

說明理由；若不存在，請說明理由;

TT

⑵在圖2中，平面？既與平面PC。所成的銳二面角的大小為一，求四棱錐尸-5CDE的體積.

3

19.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知acos_B+仍一夜4cosA=0.

⑴求A;

(2)若〃=逐，ZkA5c的面積為&—1,求AABC的周長.

參考答案

1.答案：A

解析：由復(fù)數(shù)的幾何意義可得z=x+yi,

所以，|z-l|=|(x-l)+yi|=^(x-l)2+y2=1,

化簡可得(x—獷+/=1.

故選：A.

2.答案：A

解析：對于A,因為q=(1,2)，62=(2,3)不共線，且都是非零向量，所以A符合題意;

對于B,因為=—2q，所以6與e,共線，故B不符合題意；

對于C,因為q=(0,0)為零向量，所以C不符合題意；

對于D,因為％=2q，所以6與共線，所以D不符合題意;

故選：A.

3.答案：D

解析：因為0=(4,1),匕=(一1,〃)

所以2a+=(242)+(—3,3〃)=(2/1—3,2+3〃),

又因為2a+3〃=(-3,8),

22-3=-3

所以《

2+3//=8

2=0

解得＜

、〃=2

則a=(0,1),Z?=(-l,2)

所以a+〃=(—1,3),

而z/八小("+8)33M

所以COS(Q,Q+。)-----r=---7==----

'/?+.lxVW10

故選：D

4.答案：A

解析：：z=—2—2i

|z|=《(H+(—2)2=272.

故選：A.

5.答案：C

解析：由題意可得a,匕，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)g=(4,0)/=(0,1),W=(x,y),

可得|“一《+2卜=^/(x-4)2+y2+2y1x2+(^-1)2>

表示C(x,y)到A(4,0)的距離與C(x,y)到8(0,1)的距離的2倍的和，

設(shè)P(0,—2)，可得|a—c|+2,—d=|CA|+|C5曰PA|=4有，由此可得結(jié)論.

|a+Z?|=|a-Z?|=2^>:.a-b=0>:.aLb<

設(shè)@=(4,0),&=(0,1),c=(x,y)

:.a-c=(4-x,-y)，b-c=(-x,l-y)

/.|a-c|+2|z7-c|=-^/(x-4)2+y2+2yjx2+(^-l)2

表示C(x,y)到A(4,0)的距離與C(x,y)到3(0,1)的距離的2倍的和,

設(shè)P(0,—2)，則21cfi|=|CP|

:.\a-c\+2\b-c\=\CA\+\CB\>\PA\=445

故選：c.

6.答案：B

解析：^c=ma+rib9因為=JWcos(a,B)=lxlx—=—，

a-c-a?(機(jī)a+〃/?)=m+；幾=1

即［

b-c-b'(md+nb^=gm+n=1

解得加二n——^所以c=2〃+2人,

333

2百

所以

r

故選：B.

7.答案：D

解析：依題意，設(shè)2=疝，meR,且加。0,

nl1-i1-i

則——二-----r

z+22+mi

(1—i)(2—mi)2—m—(m+2)i

(2+mi)(2—mi)m2+4

1-i

因——是實(shí)數(shù),

z+2

故加+2=0,解得加二一2,

則z=—2i,z=2i,

故z的虛部是2.

故選：D.

8.答案：D

34i_(3+4i)(2+i)

解析：方法一：由題意:z=+

2-i(2-i)(2+i)

2+lli211.

----=—I—i,

555

方法二：根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì),

|3+4i|_732+42_5

=也.

l2-ilj2?+(—丁小

故選：D

9.答案：BC

解析：對于選項A,因為零向量的方向是任意的，所以選項A錯誤，

對于選項B,因為零向量是方向任意,長度為0的向量，所以選項B正確，

對于選項C,因為相等向量是方向相同，長度相等的向量，所以選項C正確，

對于選項D,向量不能比較大小，向量的模長可以比較大小，所以選項D錯誤,

故選：BC.

10.答案：BCD

l-3i^(l-i)(l-3i)

解析:由題意，復(fù)數(shù)=-l-2i,

1+i-(l-i)(l+i)

對于A項：z=-L_2i，所以復(fù)數(shù)z的虛部等于_2,所以A項錯誤；

對于B項：2=_1-23對應(yīng)的點(diǎn)(-1,-2)在復(fù)平面的第三象限,所以B項正確;

對于C項：z+W=(-l-2i)+(—l+2i)=-2,所以C項正確；

對于D項：因為z+a是純虛數(shù)且a是實(shí)數(shù),即“—1—2i為純虛數(shù)，所以a—1=0，解得a=1，

所以D項正確.

故選：BCD.

11.答案：BD

解析：由sinA:sin3:sinC=近：1:3及正弦定理可得a:Z?:c=J7:1:3,不妨設(shè)a=J7/"，b=m,

》2+02_。22+92_72]

利用余弦定理可得==5'由可得

4=巴，所以sinA=3.又S4ABC='機(jī)'5：1114=迪根2=之叵，解得"2=1,所以。=近，6=],

32AABC244

對于A,設(shè)ZVIBC外接圓的半徑為R,由正弦定理可得一L=g=2R,所以R=亙，故A

sinA。33

錯誤；

對于B,解法1：由S4ABC=8小或)+S“CD得，一c?AD,sin—I—b-AD-sin—=-----，即

2o2o4

-(b+c)-ADsin-=AD=^-,故B正確；

解法二：分別作BE,CP垂直于A。，垂足分別為E,F,如圖①所示,

圖①

=—AD-BE+—AD-CF=—AD-c-sin—+—AD-Z??sin—

△的222626

=^AD-(b+c)-sin^=AD=^-,故B正確;

Dr\An1o

解法三：由內(nèi)角平分線定理知，——=——=3,所以AD=—A3+—AC,則

CDAC44

2

-21239227“24,,十.

AD-AB+-ACI=-AB'+-ABAC+—AC=—，所以ADrA=-----，故B正確;

4416816164

些=四=3,所以如也

解法四：由內(nèi)角平分線定理知，因為

CDAC4

ADUBD^c^AD^CD^-^

cosZBDA+cosZADC=0所以=Q即

2ADBD2ADCD

4AD2+BD2+3CD2-3b2-c2=0所以

\2

22

3xl+3--3x14

^_3b2+c2-BD2-3CD2_—,所以AD=S3,故B

/A\lTy2——7

44164

正確;

對于C,解法一：若。為BC的中點(diǎn)，易知AD=；(AB+AC),如圖②所示，所以

IAD|2=；(|ABI?+|+2ABACxl9+l+2x3xlx113V13.

w，可得1叫=故C

92

圖②

BD=DC$

解法二因為cosZBDA+cosZADC=0所以

AD2+BD2-C2AD-+CD2-b1C

+---------------二0所以

2ADBD2ADCD

I="，所以4。=史，故C錯誤;

2242

解法三：由余弦定理知，cos8=.+-—]=訴2皆一仔，

在AADB中，

2ac2xj7x32V7

AD2=C2+(^\-2C--COSB=—,所以AD=反，故C錯誤;

Uj242

對于D,解法一：延長A。交外接圓于點(diǎn)A，連接AS,A,C,如圖③所示,

圖③

易知AA即為直徑，所以可知A,C1AC,利用投影向量的幾何意義可得

22

AO-(AB+AC)=1(A4,-AJB+A4,-AC)=|(|AJB|+|AC|)=1X(9+1)=5,故D正確.

解法二：取的中點(diǎn)H,連接。H,OA,如圖④所示，

----_1-212

則WLAB,所以AOAB=(A"+"O>AB=A〃AB=eAB,同理，AOAC=-AC,

1-21-21

所以AO-(AB+AC)=AO?AB+AO-AC=—AB+-AC=-x(9+l)=5,故D正確.故選BD.

222

9

12.答案:—00,------3

2I

解析：由。=(左,3)力=(1,4>得2a—3Z>=(2左一3,-6).

又2a-3b與c的夾角為鈍角，

.?.2(2左-3)-6<0,得％<3，

若(2a-3人)〃c，則2左一3=—12，即左=—g.

當(dāng)左=_|時,2。_3b與c共線且反向，不合題意?

綜上，發(fā)的取值范圍為卜0,-2［一別，

故答案為：~，號|一|小

,?8A/5

13.答案：—

5

解析：如圖，平面AADA與水面的夾角為/4”片，

則平面BMC1與水平桌面的夾角為NAMB].

由題意可得三棱柱43陽-。。內(nèi)的體積為4*4*1=16,

所以;=16,解得4〃=2,

所以sin幺=&1=型.

1MB,5

水面距離桌面的高度為3與sinA\MB}=呼

14.答案：（-2,15）

解析：設(shè)點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

一點(diǎn)P在線段BA的延長線上，且2BP=3AP，2BP=3AP，

即2（OP—08）=3（0P—OA）,:.OP=3OA-2OB=3（2,3）-2（4,-3）=（-2,15）-

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為（—2,15）.

故答案為：（-2,15）.

15.答案：（1）證明見解析

⑵（i）B/；（ii）16

3

解析：(1)因為j?+C=7i—A，所以sin'*'=sin'——=cos—?

222

又因為cos——=sin—，所以原式左邊=2sin—?cos—=sinA=右邊，得證.

2222

(2)(i)由(1)可得(c—〃)sinA=csinC—Z?sin6.

又由正弦定理得(c—=c1-b1,即a1-\-c2—b2=ac,

由余弦定理得cosB="2=--

lac2

因為0<5<兀，得B=4.

3

(ii)由題知以.0=86，由SAABc=gacsin3,得ac=32-

又由余弦定理方1=儲+02-2accos5，可得/=/+c?-ac=(a+c)2-3ac，

即25=(a+c)2—96，所以a+c=H-

所以a+Z?+c=16，故ZiABC的周長為16?

16.答案：(l)y

(2)2^/3+2

ah

解析：(1)由正弦定理二一=1一

sinAsinB

得asin5=Z?sinA,

所以bsinA=Z?cos〔A—S)

所以sinA=cosfA--=^-cosA+—sinA，

{6J22

整理得sinA=GcosA,

因為A￡(0,兀)，所以sinA>0

因此cosA>0,所以tanA=s’11A=6,

cosA

兀

所以A=一.

3

⑵由△ABC的面積為半,

得!歷sinA=2,解得bc=§,

233

又c=2b,則。=：百，c=—A/3.

33

1648

由余弦定理得/9=c92+b92-2bccosA=1-------=4,

333

解得a=2,b+c=2百,

所以△ABC的周長為2百+2.

17.答案：(1)證明見解析

(2)AD=A/3

解析：(1)證明：由于上4,底面ABCD,40<=底面43。。，二必，40,

又ADLPB,PAPB=P,PA,P3u平面E4B,..AD,平面B48,

又ABu平面B4B,.?.AD_LAB.

AB1+BC2=AC2,：.AB±BC,：.BC//AD,

A￡><t平面尸BC,BCu平面？BC,〃平面尸BC.

(2)由題意知。C,AD,A尸兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A。所在直線為x軸，OC所在直線為y

軸，過點(diǎn)。且平行于AP的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則Q(0,0,0),設(shè)A(a,O,O),

則CD="-/,C(0j4-a2,0),尸(a,0,2),CD=(0,—,4一〃,0(AC=^-a,^4-a2,0

CP=(a,_,4_a?,2).

設(shè)平面CPD的法向量為n-(x,y,z),

CDn=O—A/4-y=0

則《,即,可取〃=(2,0,—a).

CPn=Qax-yj4-a2y+2z=Q

設(shè)平面ACP的法向量為m=（x”y,zj，

m-CP=0町一力三+210,可取吁（k,a,。）.

則，即1

機(jī)?AC=0—axx+“一4/=0

J42

二面角A-CP-D的正弦值為?一

7

???余弦值的絕對值為正,

7

\m-n\2"-/_A/7

故|cos〈/n,"〉|=一,

\m\-\n\"―八/.“+/7

又。＞0,=V3,即AD=#.

PF1

18.答案：（1）存在，——=-,理由見解析

PB3

28

⑵§

PF1

解析：（1）當(dāng)一=—時，CF〃平面PDE.

PB3

理由如下：

過點(diǎn)C作CHJ_團(tuán)，垂足為H,

在PE上取一點(diǎn)M,使得PM=LpE,

3

連接FM,

因為PF=-PB,

33

所以FM//EB,FM=-EB