2023年高三物理二輪常見模型與方法強化專訓專練

專題13機械能守恒中的桿連接模型、繩連接模型和非質點類模型

特訓目標特訓內容

目標1高考真題(IT—2T)

目標2桿連接模型(3T—7T)

目標3繩連接模型(8T—12T)

目標4非質點類模型(13T—17T)

【特訓典例】

一、高考真題

1.如圖所示，鼓形輪的半徑為R,可繞固定的光滑水平軸。轉動。在輪上沿相互垂直的直徑方向固定四根

直桿，桿上分別固定有質量為，”的小球，球與。的距離均為2R。在輪上繞有長繩，繩上懸掛著質量為〃

的重物。重物由靜止下落，帶動鼓形輪轉動。重物落地后鼓形輪勻速轉動，轉動的角速度為。。繩與輪之

間無相對滑動，忽略鼓形輪、直桿和長繩的質量，不計空氣阻力，重力加速度為g。求：

(1)重物落地后，小球線速度的大小也

(2)重物落地后一小球轉到水平位置A,此時該球受到桿的作用力的大小F；

⑶重物下落的高度h.

【詳解】(1)由題意可知當重物落地后鼓形輪轉動的角速度為①，則根據線速度與角速度的關系可知小球的

線速度為i，=2Ra)

(2)小球勻速轉動，當在水平位置時設桿對球的作用力為R合力提供向心力，則有護丁嬴T=根乙

2R

結合(1)可解得桿對球的作用力大小為P=mj4R204+g2

（3）設重物下落高度為H,重物下落過程中對重物、鼓形輪和小球組成的系統，根據系統機械能守恒可知

MgH=［旃；+!?4加廿而重物的速度等于鼓形輪的線速度，有匕=R。聯立各式解得5=（"+皿*〃

222Mg

2.打樁機是基建常用工具。某種簡易打樁機模型如圖所示，重物A、B和C通過不可伸長的輕質長繩跨過

兩個光滑的等高小定滑輪連接，C與滑輪等高（圖中實線位置）時，C到兩定滑輪的距離均為心重物A和

B的質量均為系統可以在如圖虛線位置保持靜止，此時連接C的繩與水平方向的夾角為60。。某次打樁

時，用外力將C拉到圖中實線位置，然后由靜止釋放。設C的下落速度為舊工時，與正下方質量為2m的

靜止樁D正碰，碰撞時間極短，碰撞后C的速度為零，D豎直向下運動木距離后靜止（不考慮C、D再次

相碰）。A、B、C、D均可視為質點。

（1）求C的質量；

（2）若D在運動過程中受到的阻力尸可視為恒力，求尸的大小；

（3）撤掉樁D,將C再次拉到圖中實線位置，然后由靜止釋放，求A、B、C的總動能最大時C的動能。

【答案】(1)G相；(2)65mg；(3)(4-2V3)mg￡

【詳解】（1）系統在如圖虛線位置保持靜止，以C為研究對象，根據平衡條件可知叫g=2〃zgcos30°

解得mc=y/3m

（2）CO碰后C的速度為零，設碰撞后。的速度v,根據動量守恒定律可知6加/|￡=出m*0+2根丫解得

v=，怪,CD碰撞后。向下運動芻距離后停止，根據動能定理可知0-叁2加=2/上一斤與

2V51021010

解得F=6.5mg

（3）設某時刻C向下運動的速度為匕向上運動的速度為v,圖中虛線與豎直方向的夾角為a,根據機

22

械能守恒定律可知二mcv+2x-m(vcosa)=mcg----2mg---L)^y=mcg------2機g('-----L)

22tanasinatanasina

1CS

對上式求導數可得手?=^mgL+2mgL°^2當半=0時解得cosa=無即a=30°此時

da(sma)(sina)da2

LL]]v'2=gL

y=mcg------2mg(------=于是有不“v2+2x7"(v'cosa)2=，力gL解得3若此時C的最大

tanasina22—H-----

42

2

動能為Ehn=^mcv'=(4-2后mgL

二、桿連接模型

3.如圖所示，一長直輕桿兩端分別固定著質量均為根的小球A和B,兩小球的半徑忽略不計，桿的長度為

I,豎直放置，由于微小的擾動，小球A沿豎直光滑槽向下運動，小球B沿水平光滑槽向右運動。已知重力

加速度為g,下列說法正確的是()

A.當小球A沿豎直滑槽下滑距離為:時，小球A的速度為g國

B.小球A到達水平滑槽前瞬間的速度大小為風

C.在小球A到達水平滑槽前，輕桿對小球B一直做負功

D.對小球B施加一個水平向左的恒定推力，可使小球A緩慢向下移動

【答案】A

【詳解】A.設當小球A沿豎直滑槽下滑距離為;時，小球A的速度為匕，小球B的速度為V?，根據機械

能守恒定律得根g=兩小球沿桿方向上的速度相等，則有v,cos60°=v2cos30。聯立兩式解得

匕故A正確；

B.小球A到達水平滑槽前瞬間小球B的速度為0,根據機械能守恒定律得mgl=^mvl解得以=向

故B錯誤；

C.小球A、B組成的系統機械能守恒，小球B的動能開始是0,小球A撞擊水平滑槽前瞬間小球B的動能

還是0,所以輕桿對小球B先做正功后做負功，故C錯誤；

D.對整體進行受力分析，緩慢移動兩小球，受力平衡，水平向左的推力與豎直槽對A的彈力平衡尸=入

再隔離小球A進行受力分析，豎直滑槽對小球A的彈力為FA=mgtan。小球A向下移動，夾角。增大,用

增大，P增大，故D錯誤。

故選A。

4.如圖，一長為乙的輕桿兩端分別用錢鏈與質量均為機的小球A、B連接，A套在固定豎直桿上，B放在

傾角0=30。的斜面上。開始時，輕桿AB與豎直桿的夾角1=30。。現將輕桿由靜止釋放，A沿豎直桿向下

運動,B沿斜面下滑。小球均可視為質點，不計一切摩擦，已知重力加速度大小為g。下列判斷正確的是（）

A.A碰到斜面前瞬間，B重力的功率為零

B.A碰到斜面前瞬間，B的速度大小為

C.A碰到斜面前瞬間，A的速度大小為

D.B下滑過程中，A重力勢能的減少量等于A、B動能增加量之和

【答案】C

【詳解】A.設A碰到斜面前瞬間的速度大小為“，速度分解如圖所示

A

因桿不能伸長，則有VB=vAsin0,A碰到斜面前瞬間B重力的功率為加8%$皿。=；??8匕故A錯誤；

BC.兩球下滑過程中，A、B組成的系統機械能守恒，則有“葉短匕+“成L_2cos（￡_a產破+3叫

解得匕=+，]；%=J。1[+故B錯誤,C正確；

D.由系統機械能守恒，可知B球下滑過程中，A、B兩球重力勢能減少量之和等于A、B動能增加量之和，

故D錯誤。故選C。

5.如圖所示，水平面內固定兩根足夠長的光滑細桿P、Q,兩桿不接觸，且兩桿間的距離忽略不計。可視

為質點的小球。、b質量均為“3。球套在水平桿P上，6球套在水平桿。上，a、6兩小球通過錢鏈用輕桿

連接。在圖示位置（輕桿與細桿。的夾角為45。）給系統一瞬時沖量，使。、b球分別獲得大小均為V、沿

桿方向的初速度。在此后的運動過程中，下列說法正確的是（）

A.b球能達的最大速度大小為2v

B.b球能達的最大速度大小為

C.當輕桿與細桿。的夾角為30。時，a、b兩球的速度大小比為,：1

D.當輕桿與細桿。的夾角為30。時，a、b兩球的速度大小比為班：3

【答案】BC

【詳解】AB.當匕球運動到兩桿交點處時，速度達到最大，此時。球速度為零，根據系統機械能守恒，有

之—相聲二:根用解得Vm=J5v故A錯誤，B正確；

CD.當輕桿與細桿的夾角為30。時，根據速度關聯，小球6沿輕桿方向的速度分量與小球。沿輕桿方向的

速度分量相等，即以cos30。=匕cos60。解得b=立故C正確，D錯誤。故選BC。

V"1

6.如圖所示，左側豎直墻面上固定半徑為0.3m的光滑半圓環，右側豎直墻面上與圓環的圓心。等高處固

定一水平光滑直桿。質量為2kg的小球a套在半圓環上，質量為1kg的小球b套在直桿上，兩者之間用長

為L=0.4m的輕桿通過兩錢鏈連接。現將a從圓環的最高處靜止釋放，讓其沿圓環自由下滑，不計一切摩擦，

a、b均視為質點，g取10m/s2,則以下說法中正確的是（）

A.小球。滑到與圓心。等高的P點時，a、6兩球的速度大小相等

B.小球。滑到與圓心。等高的尸點時，。的速度大小為"m/s

C.小球。從尸點下滑至桿與圓環相切的。點（圖中未畫出）過程中，a、b兩球組成的系統機械能守恒

90

D.小球。從P點下滑至桿與圓環相切的。點（圖中未畫出）的過程中，桿對小球6做的功為

【答案】BCD

【詳解】A.當。滑到與。同高度尸點時，a的速度v沿圓環切向向下，。沿桿方向速度為零，所以6的速

度為零，故A錯誤；

B.由機械能守恒定律可得但方尺=；色爐解得丫=7^^=611次故B正確；

C.小球。從P點下滑至桿與圓環相切的。點（圖中未畫出）過程中，a、b兩球組成的系統除了兩球的機

械能在變化，系統沒有其他形式能量在變化，所以系統機械能守恒。故C正確；

D.桿與圓相切時，如圖所示。

。的速度沿桿方向，設此時6的速度為與，根據桿不可伸長和縮短，有匕=^cos。由幾何關系可得

c°sO=/^=0-8在圖中,球a下降的高度/z=Rcos，，a、6系統機械能守恒，則有

叫^//=31+：*-：加/2對6,由動能定理得W=故D正確。故選BCD。

乙乙乙乙X7

7.意大利物理學家喬治?帕里西榮獲2021年諾貝爾物理學獎，他發現了從原子到行星尺度的物理系統中無

序和漲落間的相互影響，深刻揭示了無序體系中的隱藏對稱性。如圖為一個簡單無序系統模型，兩個質量

均為機的小球〃、N用兩根長度均為/的輕質細桿a、6連接，細桿a的一端可繞固定點。自由轉動，細桿

b可繞小球M自由轉動。開始時兩球與。點在同一高度，。=0時刻由靜止釋放兩球，兩球在豎直面內做無

序運動；，=4時刻，細桿。與豎直方向的夾用。=30°,小球N恰好到達與。點等高處且速度方向水平向右。

重力加速度為g，不計摩擦和空氣阻力，下列說法正確的是（）

NvOMN

-------~U>O?---------O

\/:a------b

\/e\

M*

A.%時刻，小球M的速度方向豎直向下

B.%時刻，M、N兩球的速度關系

m

C.。到。過程中，a、b兩桿對M球做功之和為一3Mgl

8

D.。到％過程中，細桿b對N球的沖量大小為三標而

【答案】BC

【詳解】A.細桿a的一端可繞固定點0自由轉動，則M的速度方向始終與桿a垂直，。時刻小球M的速

度方向不是豎直向下，選項A錯誤；

BC.設力時刻小球M、N的速度大小分別為VM,VN,如圖所示

二者沿桿b方向的分速度相等，有

2

%sind=vMcos(90°-20)可得％=V3vM由系統機械能守恒，有mglcos6=；mv^+1/nvN解得％

2

方向向右下方，與水平方向的夾角為30。；%=4Tgi方向水平向右。

2

0到。過程中，對M球根據動能定理有mglcos。+喔=；mvM解得叫=一也也選項C正確；

28

D.。到「過程中，對N球根據動量定理有（矢量運算）〃物1+4=嬴N解得.=仙&1_麗選項D錯誤。

故選BC。

三、繩連接模型

8.如圖所示，水平光滑長桿上套有一個質量為m4的小物塊A,細線跨過。點的輕小光滑定滑輪一端連接

A,另一端懸掛質量為，加的小物塊B,C為。點正下方桿上一點，滑輪到桿的距離OC=鼠開始時A位于

尸點，PO與水平方向的夾角為30。，現將A、B同時由靜止釋放，則下列分析正確的是（）

A.物塊A在運動過程中最大速度為幽

VmA

B.物塊A過C點后，向右運動最遠距離為2/Z

C.尸。與水平方向的夾角為45。時，物塊A、B速度大小關系丫人=夜力

D.物塊A由尸點出發第一次到達C點的過程中，物塊B的機械能先增大后減小

【答案】C

【詳解】A.當物塊A運動到。點正下方C時，物塊A的速度達到最大，B速度為零，根據系統機械能守

恒有-無）=〈g用解得%=、也逆故A錯誤；

sin30°2\mA

B.根據系統機械能守恒及對稱性，物塊A過C點后，向右運動的最大距離與初始PC間的距離相等，即

CP=—^=耳故8錯誤；

tan30°

C.當尸。與水平方向的夾角為45。時，有匕饃$45。=蚱解得以=3%故?正確；

D.物塊A由尸點出發第一次到達C點的過程中，物塊B在豎直方向先向下加速后向下減速，細線對物塊

B的拉力一直做負功，所以物塊B的機械能一直減小，故D錯誤。故選C。

9.如圖所示，把光滑細鐵絲制成半徑H=0.6m的半圓形軌道并豎直固定在地面上，圓心。正上方/z=0.8m

處有輕質定滑輪，質量機=2kg的小球A套在細鐵絲上，一根不可伸長的輕繩繞過處于同一水平線上的兩個

定滑輪，一端連接小球A,另一端連接質量”=4kg的小球B,兩小球均可看作質點。現托住小球B,使小

球A與地面恰好無擠壓，然后由靜止釋放小球B。小球B始終沒有落地，不計滑輪的大小和一切阻力，重

力加速度取g=10m/s2。下列說法正確的是（）

A.釋放瞬間，小球A和小球B的加速度大小滿足5aA+8?B=30m/s2

B.兩球剛開始運動時，小球A和小球B的速度大小滿足。

C.小球A運動的最大速度為4萬n/s

D.由釋放到小球A的速度最大的過程中，細繩對小球B做的功為-32J

【答案】AD

0.84

【詳解】A.有幾何關系可知，連接小球A的繩與豎直方向夾角的余弦值為cos6==不設釋放

VO.82+O.62

4

瞬間繩的拉力為T,對小球A,在豎直方向上17-/卷=加4對小球B,在豎直方向上圖-T=

解得5aA+8每=30m/s2故A正確;

B.兩球剛開始運動時，由速度分解可得VA=；K故B錯誤；

C.小球A和小球B組成的系統機械能守恒，當小球A運動到軌道最高點時速度最大，此時小球B的速度

為0,由系統機械能守恒定律得壽-儂?=》成1ax解得%=2&m/s故C錯誤；

D.由動能定理得W+壽-（〃-尺）］=。解得卬=-32J故D正確。故選AD。

io.如圖所示，一輕繩繞過無摩擦的兩個輕質小定滑輪a、。2和質量為機的小球連接，另一端與套在光滑

直桿上質量也為，"的小物塊連接，已知直桿兩端固定，與兩定滑輪在同一豎直平面內，直桿與水平面的夾

角。=60。，直桿上C點與兩定滑輪均在同一高度，C點到定滑輪。?的距離為3重力加速度為g,設直桿

足夠長，小球運動過程中不會與其他物體相碰。現將小物塊從C點由靜止釋放，當小物塊沿桿下滑距離也

為L時（圖中。處），下列說法不正確的是（）

A.小物塊剛釋放時，輕繩對小球的拉力大于

B.小球下降最大距離為

C.小物塊在。處的速度與小球速度大小之比為2：1

D.小物塊在。處的速度v=捶巫

5

【答案】AC

【詳解】A.物塊從C點由靜止釋放時，小球將向下運動，瞬時加速度豎直向下，故輕繩對小球的拉力一定

小于小球的重力比g,故A錯誤；

B.當連接物塊的繩子與桿垂直時，小球下降的距離最大，根據幾何知識得A%=乙-八m60。=乙（1-#）

故B正確；

CD.小物塊沿桿下滑距離4時，由幾何知識，可知三角形AO|DC為等邊三角形，將小物塊的速度分解為沿

繩子方向和垂直繩子方向，如圖所示

物塊沿繩子方向的分速度等于小球的速度，則有％=ocos60。可得。:。球=2:1對物塊和小球組成的系統，由機

械能守恒定律可得mgLsin6（T=gnw2+gm*解得v=v球=JgJJgZ故C正確,D錯誤。

本題選擇錯誤的，故選AC。

11.如圖所示，一傾角為。=30。的光滑斜面與半徑為R的光滑J圓弧在最高點對接，斜面固定在水平地面

上，圓弧最低點與水平地面相切。質量分別為，"和M的物塊A與2（可視為質點）通過跨過斜面頂端光滑

定滑輪的輕繩（長為1.5R）連接。初始時輕繩伸直，將物塊8由圓弧的最高點靜止釋放，當物塊8到達圓

弧最低點時，物塊A的速度為%,重力加速度為g,則以下說法正確的是（）

A.物塊B到達圓弧最低點時速度大小也為％

B.當物塊2到達圓弧最低點時，物塊A的機械能最大

C.輕繩對物塊A做的功為說+］趣機gR

2

D.物塊B經過圓弧最低點時受到的支持力小于Mg+2M藍

【答案】BCD

A.如圖1所示，設物塊8滑至圓弧最低點時的速度為v,將其分解為沿繩方向的速度匕和垂直繩方向的速

度v2,其中分速度匕=%由幾何關系可得v=a%故A錯誤；

B.在物塊8沿圓弧向下運動時，減小的機械能轉化為物塊A的機械能，則物塊8到達圓弧最低點時，物

塊A的機械能最大，故B正確；

C.輕繩對物塊A做的功等于其機械能的增加量W=；相片+mg揚?sin30。=g相片+手mgR故C正確；

2

D.對滑至圓弧最低點的物塊8進行受力分析如圖2所示，由牛頓第二定律可得尸+圖=知會

解得F=Mg+2MA■-7；故D正確。故選BCD。

12.如圖所示，傾角為6=30。的斜面體固定在足夠高的水平桌面上，AP與桌邊緣平齊，在斜面上固定放置

半徑為廠、內壁光滑的半圓管軌道AE2（管內徑遠小于r），。為圓心，E為圓心等高處，最低點A、最高點

8的切線水平，A8是半圓管軌道的直徑。在管口8點處有光滑輕質小定滑輪（圖中未畫出），一輕繩跨過

滑輪，一端與管內的小球連接，另一端與小物塊連接，小物塊豎直懸掛，小球位于最低點A,開始時整個裝

置被鎖定，繩剛好拉直，某時刻解鎖，整個裝置由靜止開始運動，已知小球質量為機，小物塊質量為羨，

兩者均可視為質點，不計空氣阻力，重力加速度為g。下列說法正確的是（）

A.解鎖瞬間，小物塊加速度大小為g

B.小球無法通過B點

C.小球運動到E點時速度大小為」如二笑

D.從解鎖至小球運動到E點的過程中，繩子對物塊做功為-生尹mgr

O

【答案】CD

【詳解】A.解鎖瞬間繩子拉力突變，則此時小球加速度大小不為g,故A錯誤;

B.從A到2,由系統機械能守恒有詈?ir-mg-2rsine=gm2（"；2）gr＞。則小球可以

m-\——V解得=

2

通過5點，故B錯誤;

C.從A到E,由系統機械能守恒有等x5-mg/sin。=gm

m-\——VE解得=（乃一；）gr故C正確;

2

D.從解鎖到小球運動至E點過程中，設繩對小物塊做功為W,對小物塊由動能定理有W+等x/=gx￡片

解得卬=一與雪咫廠故D正確。故選CD。

四、非質點類模型

13.如圖，容量足夠大的圓筒豎直放置，水面高度為心在圓筒側壁開一個小孔P,筒內的水從小孔水平射

出，設水到達地面時的落點距小孔的水平距離為無，小孔P到水面的距離為戶短時間內可認為筒內水位不

變，重力加速度為g,不計空氣阻力，在這段時間內下列說法正確的是（）

A.水從小孔P射出的速度大小為向

B.y越小，則x越大

C.尤與小孔的位置無關

h

D.當>=時，x最大，最大值為//

【答案】D

【詳解】A.取水面上質量為根的水滴，從小孔噴出時由機械能守恒定律可知加gy=：加丫2解得丫=8點

選項A錯誤;

BCD.水從小孔尸射出時做平拋運動，則尸片By=ggC解得x=v=2Jy①一y）可知x與小孔的位

置有關，由數學知識可知，當產即產://時x最大，最大值為刀，并不是y越小x越大，選項D正確,

BC錯誤。故選D。

14.全長為c且質量分布均勻的長鐵鏈由若干節組成，已知圓形管狀軌道半徑為R,L>2兀R,R遠大于一

節鐵鏈的高度和長度，整個管道內壁光滑。如圖所示，鐵鏈具有初速度且靠自身慣性能通過圓形管狀管道

繼續前進，下列判斷正確的是（

R

>

A.鐵鏈的每一節通過最高點的速度大小都相等

B.在鐵鏈的第一節完成圓周運動的過程中，第一節鐵鏈機械能不守恒

C.鐵鏈的第一節與最后一節到達最高點時的速度大小不相等

D.鐵鏈的第一節回到最低點至最后一節剛進入圓狀軌道的過程中鐵鏈的重力勢能保持不變

【答案】BD

【詳解】AD.從第一節鐵鏈進入圓軌道到第一節鐵鏈回到最低點的過程中，鐵鏈整體的重力勢能不斷增加，

則整體的速度逐漸減小，此段過程中通過最高點的鐵鏈速度在減小；當最后一節進入軌道后，整體的重力

勢能會逐漸減小，則速度逐漸增大；在第一節回到最低點至最后一節進入軌道的過程中鐵鏈整體的重力勢

能不變，速度保持不變，A錯誤，D正確；

B.鐵鏈各部分之間有彈力作用，若選一節研究，在完成圓周運動過程中有除重力或彈簧彈力的其他外力做

功，機械能不守恒，B正確；

C.第一節到達最高點和最后一節到最高點時系統的重心位置相同，由++可知鐵鏈的第一

節與最后一節到達最高點時的速度大小不相等，C錯誤；故選BD。

15.如圖所示，在豎直平面內半徑為R的四分之一圓弧軌道AB、水平軌道BC與斜面CD平滑連接在一起，

斜面足夠長.在圓弧軌道上靜止著N個半徑為廠（「4R）的光滑剛性小球，小球恰好將圓弧軌道鋪滿，從最

高點A到最低點B依次標記為1、2、3……N.現將圓弧軌道末端B處的阻擋物拿走，N個小球由靜止開

始沿軌道運動，不計摩擦與空氣阻力，下列說法正確的是

A.N個小球在運動過程中始終不會散開

B.第1個小球到達最低點的速度？=闞

C.第N個小球在斜面上向上運動時機械能增大

D.N個小球構成的系統在運動過程中機械能守恒，且總機械能E=

【答案】AC

【詳解】在下滑的過程中，水平面上的小球要做勻速運動，而曲面上的小球要做加速運動，則后面的小球

對前面的小球要向前壓力的作用，所以小球之間始終相互擠壓，沖上斜面后后面的小球把前面的小球往上

壓，所以小球之間始終相互擠壓，故N個小球在運動過程中始終不會散開，故A正確；把N個小球看成整

體，若把弧AB的長度上的小球全部放在高度為R的斜面上，通過比較可知，放在斜面上的N個小球的整

體的重心位置比較高.而放在斜面上時，整體的重心的高度為：yR,選擇B點為0勢能點，則整體的重力