2024?2025學年第一學期高三期中調研試卷

數學2024.11

注意事項

學生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求：

1.本卷共6頁，包含單項選擇題（第1題?第8題）、多項選擇題（第9題~第11題）、填空題（第12題

?第14題）、解答題（第15題?第19題）.本卷滿分150分，答題時間為120分鐘.答題結束后，

請將答題卡交回.

2.答題前，請您務必將自己的姓名、調研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規定

位置.

3.請在答題卡上按照順序在對應的答題區域內作答，在其他位置作答一律無效.作答必須用0.5毫

米黑色墨水的簽字筆.請注意字體工整，筆跡清楚.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.在復平面內，若i是虛數單位，復數z與3關于虛軸對稱，則z=（）

1-1

A.1+iB.-1-i

C.-1+iD.1-i

2.若對于任意的實數xeR都有cos（x-6）=sinxcos6+cosxsine成立，則。的值可能是（）

3.下列說法中不正確的是（）

A.是的必要不充分條件

B.命題“VxeR,，+2x+2〉0”的否定是“eR,x2+2x+2<05,

C.“若a,l>eR,a+b<8,則a<4且b<4”是假命題

D.設見〃eR,則“a=0或〃=0"是''加〃=0"的充要條件

4.在數列｛&“｝中，an+an+1=2n,則數列｛a“｝前24項和品的值為（）

A.144B.312

高三數學期中試卷第1頁共6頁

C.288D.156

3xx2

5.已知實數x>y>0,則二+—^的最小值為()

j^y-y

A.12B.9

C.6D.3

6.在軸截面頂角為直角的圓錐內，作一內接圓柱，若圓柱的表面積等于圓錐的側面積，則圓柱

的底面半徑與圓錐的底面半徑的比值為()

￡

A.B.V2

4~T

j_

C.D.旦

2~2

7.已知oeR,函數/(x)=(x—4?sin(ox),若存在常數aeR,使得y=/(x+a)為偶函

數，則實數0的值可以為()

3兀71

A.—B.一

83

71兀

C.—D.-

42

已知函數be*>0),若則^―^最大值為()

8.

a

A.e-2B.e-1

C.eD.e2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知向量a=(x,2-x),b=(-l,-x),則()

A.若aJ_6，則x=0或-3

B.若貝Ux=—2或1

C.若同=忖，則x=l或3

D.若x=—1,則向量Z，B夾角的余弦值為1

10.已知AA5C的內角4SC所對的邊分別為a,"c,下列四個命題中正確的是()

高三數學期中試卷第2頁共6頁

A.若A4BC為銳角三角形，則sin5>cos/

B.若8=60°萬=雙，則A4BC是直角三角形

C.若bcosC+ccosB=6,則AA8C是等腰三角形

D.若AA8C為鈍角三角形，且45=3,AC=5,cosC=—,則A4BC的面積為經也

144

11.己知￡,/?(a片⑶是函數=/+辦2+6x+l,(a,6eR)兩個不同的零點，且a,￡=l,占，x2

是函數/(x)兩個極值點，則()

A.a=b

B.tz>3或。<一2

C.C+0-2)2值可能為11

D.使得/儲)+/(上)=。的“的值有且只有1個

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數/(x)=2sin］ox+：｝ft>〉0)在區間［0,1］上的值域為［加,〃］,且"—加=3,則0

的值為▲.

13.如圖，邊長為1的正△ZBC,P是以Z為圓心，以ZC為半徑的圓弧北上除點3以外的

任一點，記△尸48外接圓圓心為O,則就.標=▲.

第13題圖匕

14.若存在實常數4和6,使得函數/⑴和g(x)對其公共定義域上的任意實數x都滿足

/(x)N履+6Ng(x)恒成立，則稱直線》=履+6為/(x)和g(x)的“媒介直線”.已知函數

/(x)=x2(xeA),g(x)=—(x<0),若/(x)和g(x)之間存在"媒介直線"y=kx+b,則實數6的

x

范圍是▲.

高三數學期中試卷第3頁共6頁

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知數列｛%｝是公差大于1的等差數列，02=3,且為+1，。3-1，R-3成等比數列，若數列也,｝

前〃項和為S。，并滿足Sn=264+〃，neN*.

(1)求數列5｝,血｝的通項公式.

(2)若c“=(an-l)(bn-1),求數列｛c“｝前〃項的和..

▲▲▲

16.(15分)

已知向量a=(sinx,cosx),^=(^3cosx,cosx),f(x)=2a-b-\.

(1)求函數/(x)解析式，寫出函數/(x)的最小正周期、對稱軸方程和對稱中心坐標.

(2)試用五點作圖法作出函數/(x)在一個周期上的簡圖(要求列表，描點，連線畫圖).

(3)根據(2)中的圖象寫出函數y=/(xXxeA)的單調增區間、最小值及取得最小值時相應x值

的集合.

解：⑴

(3)

▲▲▲

高三數學期中試卷第4頁共6頁

17.（15分）

如圖①，在平面四邊形/BCD中，CB=CD=2V3,tanZCDB=41,。為對角線8。中點，F為BC

中點，￡為線段上一點，且CO=AB,ABLBD.

（1）求/￡的長.

（2）從下面【I】與【II】中選一個作答，如果兩個都作答，則只按第一個解答計分.

【I】在平面四邊形/BCD中，以AD為軸將ABCD向上折起，如圖②，當面CAD_L面48。時，

求異面直線OF與BE所成角的余弦值.

【II】在平面四邊形4SCD中，以AD為軸將A5CD向上折起，如圖③，當NCOE=60°時，求三

棱錐C-的體積.

高三數學期中試卷第5頁共6頁

18.(17分)

已知函數/(x)=aln(x-l),g(x)=x2一2%.

(1)如果函數/(%)在(2,/⑵)處的切線，也是g(x)的切線，求實數〃的值.

(2)若方(%)=8(%)-/(%)在-+1,e+1存在極小值方宿)，試求尸(%)的范圍.

e

(3)是否存在實數0,使得函數6(》)=/6+1)-2步?有3個零點，若存在，求出所有實數。的

(x+11

取值集合，若不存在，請說明理由.

19.(17分)

對于任意幾EN*,向量列,｝滿足%-4=d.

(1)若［=(0,—3),7=(1,1),求的最小值及此時的

(2)若瑪=(%〃/〃)，d=(s,”其中,若對任意〃eN*,西+電+…’0，

設函數/(X)=MH，記網")=/(*)+/(x2)+―-+/(x"),試判斷網〃)的符號并證明你的結論.

(3)記％=(0,0),cn=\an\,對于任意冽EN*,記S(m)=°i+s+Q…+4，若存在實

數c=1和2,使得等式S(rn)=cx+Q…+。=忖一。|+匕2-。|+b3-…+卜加一。|成立,且有

S(m)=507成立，試求機的最小值.

高三數學期中試卷第6頁共6頁

2024?2025學年第一學期高三期中調研試卷

數學（參考答案）2024.11

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

題號12345678

答案CABCB1)AA

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.

題號q1011

答案BCACACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.—13.-14.[-4,0]

122L」

四、解答題：本題共5小題，共77分.

15.（13分）

解：（1）設等差數列｛冊｝公差為d,由題意知

由。2=3,a｝+1?—1?。6-3成等比得,

a1+d=3

(%+2d-iy=(%+lX%+5d-3)'消去可整理品5/T2d+4=0,

2

解得d=2或d=M，因為d>l,所以d=2,代入可得q=l,

所以有=1+2(〃-1)=2〃-1；

又因為數列也,｝前〃項和為Sn，且滿足Sn=26“+〃

所以當〃時有Sn』=2"T+〃-l....................

0?②得bn=2bn_x-\(neN\n>2),.........................

在Sn=2〃+〃中，令〃=1得”=T,

山bn=2bn_x-l(neN\n>2)得，6n-I=2(力“_|一1)(〃eN*,n>2),

又由4-1=-2知"TwO，

所以數列h-l｝是以-2為首項，以2為公比的等比數列，即4-1=-2?2”T=-2”。

W

綜上知：。“=2〃一1；bn=1-2o

rtW

(2)cn=k-lX/>?-1)=(2n-2)(-2)=-l(n-1)2,

23

則Tn=-2((1-1)2'+(2-1)2+(3-l)2+???+(〃-1)2")....................'

高三數學期中試卷參考答案第1頁共8頁

貝」I27；=-2((1-1)22+(2-1)23+(3-1)24+???+(〃-2)2"+(n-l)2n+,)................④,

③?④化簡整理得7；=(2-〃)2*2_8；

所以7；=(2-〃)2"+2一8。13分

16.(15分)

解：(1)1*1a=(sinx,cosx\b=(VJcosx,cosx)，f(x)=2ab-\,

JVftA/(^)=2a-b-\=2V3sinxcosx+2cos2x-1=VJsin2x+cos2x=2sin2x+—

即/(x)=2sin(2x+?)xeR

2分

函數/(x)最小正周期為幾，3分

對稱軸方程x=9+竺,AcZ

4分

對稱中心(一］+當，。),"wZ............................................................................................5分

(2)1.列表：(注：不在所給表格中列出數據，不在所給坐標系中畫圖的不得分)

c乃n3乃

2x+—0n21

6~2T

乃7t5萬2乃\\7U

X

12777T~V2

y=2sin2」020-20

8分

2.描點、連線，畫圖得

10分

高三數學期中試卷參考答案第2頁共8頁

(3)函數/(x)=2sin(2x+^

,xeR的單調增區間為ku---4—,kwZ；??????|2分

36

最小值為一2；..................................................................13分

取得最小值時x值的集合卜卜=今+%乃｝,%€2。...............................15分

注：單調區間為開區間，半開半閉區間均正確，所有需要注明％cZ的地方，沒有標注〃wZ

者不得分。

17.（15分）

解：（1）在AC6。中，由CB=CD=26,tan/CDB=五，

。為6。中點可知，CO上BD,cosZCDB=—,sinZCDB=—

33f

所以在H/ACOD中，有OD=2,CO=2g,.....................................2分

于是30=2,BD=4,AB=2日,

由45_L知'AB?+BD?=J8+16=276,

AO=』BO2+AB?=>/4+8=2石，.........................................4分

法一：

因為6EJ./O,ABLBD,所以ZABE=ZAOB,因為sin乙4。6=坐=名旦=巫，所以

OA2后3

sinZABE=—f又sin/BAD=吧=工=旦,在等腰A^E,由正弦定理得

3AD2763

ABAE0|12VIAE2拉2及r-

sinZ.AEBsinAABEsin2ZABEsinZ.ABE2cosAABE273

亍

（也可利用MBE為等腰三角形求解）

故有AE=^6....................................

法二：由法一知N/IBE=NB4E,于是有BE=4E,

同理可得N4O8=NO/18=NQ8E,于是有BE=DE

所以E為AD中點，又AD二癡故AE二癡.

（也可利用MBO?^DBA結合BELAO求解）

法三：因所以可以B為坐標原點，

旅，而為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，

高三數學期中試卷參考答案第3頁共8頁

設族=/1詬（/LC[0,1D，由靛.刀=0,解得/1=，（下略）

C

（2）若選【I】取AC中點G,連結GE,BG,7

因。為80中點，尸為8c中點，

所以在MC0中，布OFIICD,O產①；

由（1）知E為AD中點，BE=、AD=K，又G為AC中點，

2圖②

所以在A4CO中，有GEHCD,GE=-CD@；

2

由①@知。尸〃GE,GE=C,所以N8EG或其補角為異面直線。b與5E所成的角。

....................................................................................................................................10分

又因為面。6。_1面46。，AB1BD,45u面46。,面BCDc面45。=6。，

所以48_1面5。。，又8Cu面5CO,所以48_L8C,又G為AC中點，所以有5G=1/C.

2

而4C=〃爐+叱=2氐所以6G二石，在MGE中，由余弦定理得:

BE?+GE?-BG?6+3-5_V2

cosZ.BEG=15分

2BEGE2n忑一3'

（建立空間直角坐標系的方法也參照上述標準評分）

若選【II】如圖③，由（1）知，在ACOE中，CO=2V2,OE=LAB=亞，又NCOE=60。

2

由余弦定理得CE=VEh五弄二=[8+2-2?2痣?人」=癡

V2c

由OE1+CE2=CO2知C￡_LOE③；

型DLOC,BDA.AB,AB〃OE,所以80_LOE,

又OCQE是平面COE內兩條相交直線，所以8。，面。。七，B

而CEu面CEO,所以8O_LC￡④，

又OE,BD是平面ABD內兩相交直線⑤，

由③④⑤知CE_L面/8。o...............................................................................-:-10分

（也可以由三角形CEO與三角形CED均為直角三角形證）（還可以直接過C作OE的垂

線，證并求出高）

又Sm=-ABBD=-242-4=442,

i^nDU22

所以三棱錐C-48。的體積g”D=gsA^?CE=g?4Vm=g石。........15分

高三數學期中試卷參考答案第4頁共8頁

(注：第17題第2問在答題卡中要求畫出圖形，不畫圖扣2分，只畫圖無解答不得分)

18.(17分)

解：(1)函數/(x)=aln(x-l)定義域為(1,+8),/'(2)=。,/(2)=0,

x-}

所以函數/(x)=aln(x-l)在(2,/⑵)處的切線方程為=a(x-2),...............2分

又因為/:y=a(x-2)也是g(x)=W-2x的切線,故有

卜=/-2x,消去y整理得，*2-1+2卜+2a=0,

[y=ax-2a

[t]A=(a+2)2-8a=(a-2)2=0?得a=2......................................4分

(2)因為/(x)=aln(x-l)g(x)=x2一2%，所以

尸(6=g(x)-f(x)=x2-2x-flln(x-l),(x>l),

尸'(x)=2x-2---,............................................5分

x-\x-\

因為x>l,所以x-l>0,ifip(x)=2(x-1)2-a,

由F(x)=g(x)-/(x)在，+1,e+1]存在極小值得：

e

2

7-a<°,解得...............................8分

o(e+l)>02e2-a>0e

2

此時存在/e—+1,e+l?2(x0-1)-a=0,

e

當，+l<XVXo時，/(x)vO,產(x)單調遞減；

當Xo〈x<e+1時，尸(x)>0,尸(x)單調遞增;..............................9分

于是有尸(x)有極小值為：

\2c.(.\a../?aa.a.2_7

斤(%)=與-2x0-aln(x0-l)=--l-alnJ-=---ln--Lp-<a<2e,

2

令f=]"€(A,e2),iBF(x0)=y-ylny-l=^(/)=/-/ln/-l,-v</<e?

qr(t)=-\nt,當，時，q'")=-ln/>0,g?)單調遞增，所以?-1,0；

高三數學期中試卷參考答案第5頁共8頁

當fe。")時,^(z)=-lnr<0,則單調遞減，所以g(f)w(-e2-i,o)；

綜上可得產(X。)范圍為夕(小(—/TO].......................................11分

(3)G(x)=f(x+1)-2+=aInx-——=alnx+—---2,x>0,......12分

(x+lfx+1x+1

4a(x+1)2-4x_av2+(2a-4卜+a

G，(x)=13分

r(^7xfx+l)2Mx+1)2

令〃（x）=ar2+（2a-4）r4-a（x>0）,

當aVO時，A（x）<0,則G'（x）<0,G（x）在（0,+8）上單調遞減，不滿足題意，舍去；

當a>0時，因為G（1）=O,記々=1，則G（x）除1外還有兩個零點，則G（x）不單調，所以

〃（x）存在兩個不同的零點，所以有卜=（2a-4y-4a2>0,解得0<a<[,

a>0

當0<a<1時，設〃（》）的兩個零點為孫〃（加<〃），

4

貝!Jm+〃=2>0,mn-1>所以Ov/nvlv〃，

a

當xe(0,m)時，A(x)>0,Gr(x)>0,則G(x)單調遞增；

當〃)時，h(x)<0,G*(x)<0,則G(x)單調遞減；

當xe(〃,+oo)時，〃(x)>0,G'(x)>0,則G(x)單調遞增；........................15分

又G(1)=O,所以G(m)>O,G(〃)vO,

而Ge"]=-4+―Y—=--<0?He?<I,又G(/w)>0,

I)e°+\+1

"2\.2

Gea=——>0,且e">l,又G(〃)<0,

【)/+1

所以存在X|CXjC卜ej,使得G(xJ=6(與)=0,

即G(x滴三個零點，國,西,為，

綜上，實數a的范圍為(0,1)..................................................17分

高三數學期中試卷參考答案第6頁共8頁

19.(17分)

解：(1)因為品+[-%=d對任意成立,

所以有%-q=d

ay—a2=d

aad

n-n-\=

將上述各式相加得W=[+(〃-lB，又因為[=(0,-3)2=(1,1),

所以冊=a]+(〃-l)t/=(0,-3)+(n-1,/J-1)=(n-l,n-4)?..........................1分

所以有卜/=一l)2+(〃-4)2=一10〃+17=J1”一g)，又neN*,....2分

所以當〃=2或〃=3時，=V5,此時￡=(1,一2)或1二(2,-1)...............4分

Imin

(2)可判定F(")>0...........................................................5分

(i)因為"eN*,$+.+…+x“x0所以數列卜“｝不可能是各項均為0的常數列；

...............................................................................6分

(ii)當數列卜.｝為非零常數列時，任意“eN*,x.=x尸0

若小>0,則.(")=/&)+/&)+…+/(%)=屋=為>0,

X|+x2+'-'+xnnx]

若苞<0,則.(")=/(XJ+/&)+…+/(x")=二^=_再>0,

X[+必+…+/叫

故當數列卜“