2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知直線/i+N-2=（U：2x+S+l）y+2=0,若則a=o

A.或2B.C.或-2D.-2

【正確答案】B

【分析】由條件結(jié)合直線平行結(jié)論列方程求并對所得結(jié)果進行檢驗.

因為4//4,4：ax+N—2=0,4：2x+（a+l）y+2=0,

所以。（。+1）=1*2,所以/+”2=0,解得a=-2或a=l,

當(dāng)。=一2時，4：2x—歹+2=°,乙&―y+2=°,直線4,乙重合，不滿足要求，

當(dāng)a=l時，4：x+J—2=°,/2：x+〉+l=°,直線/”，2平行，滿足要求，

故選：B.

_12S13_

2.已知等差數(shù)列｛%）前〃項和為S“，若色”,則品（）

_9_1274

A.13B.13C.5D,3

【正確答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前〃項和公式、等差數(shù)列性質(zhì)計算即得.

13（%+〃13）

S13_212_4

生上599（.+。9）9%9133

在等差數(shù)列｛%｝中，由生”，得2

故選：D

\<?S-S=-3,aaa=--

3.己知等比數(shù)列1J的各項均為負(fù)數(shù)，記其前〃項和為若646788,

則02=()

A.-8B.-16C.-32D.-48

【正確答案】B

1

%=--

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)先計算2,再根據(jù)條件建立方程解公比求值即可.

設(shè)包｝的公比為““>°),

一J4一〃6+〃5—一十一一一$a6a7期=——=d]="=——

則由題意可知夕9,82,

+——6=0=>—=2—=—3

化簡得qqq或q(舍去)，

。2=N=一；x25=_16

則42

故選：B

4.已知圓C的圓心在x軸上且經(jīng)過"°」)，'G，-2)兩點，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

2

A(X-3)+/=5B。-35=17

22

C(X+3)+J=17D,必+?+1)2=5

【正確答案】A

【分析】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法計算即可.

因為圓c的圓心在x軸上，故設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程>_")+'=戶6>°),

又經(jīng)過Z")以A2)兩點，

(l-?)2+l2=r2,=3

所』(2-4+(-2)2=，,解得

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(a3)+/=5.

故選：A.

5.已知點((，),點A關(guān)于直線％-V+1=0的對稱點為點B,在NBC中,

\PC\=42\PB\f則"8。面積的最大值為()

A.4V2B,3^2C.2&D,也

【正確答案】C

【分析】先根據(jù)對稱的性質(zhì)求出點8的坐標(biāo)，設(shè)P(x/),再由忸0=及忸因可求出點

尸的軌跡方程，由圖可知△尸8C中5c邊上的高為圓的半徑時，面積最大，從而可

求得結(jié)果.

居-2

二一1,C1

</+1/0=1

3+1=0=}=。

設(shè)8的坐標(biāo)為(”°/°),則?2

2,則8的坐標(biāo)為&°),

設(shè)尸(x/),\PC\=41\PB\n(x+1)2+/=2(x-1)2+2y2=%2+-6x+1=0

(X-3)2+/=8

6.已知點(')，(')，點尸是圓(x—3)+V=1上任意一點，則△尸45面積的最

小值為()

119/而

———o---------

A.6B.2C,2D.2

【正確答案】D

【分析】求出直線48的方程，利用點到直線的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)求出點P到直線4B距

離的最小值即可求得最小值.

兩點'(T°),B(0,3),則iy+32=而,直線方程為了=3X+3,

圓(X―3)2+/=1的圓心c(3,o),

半徑r=l,

J126V10

d—/二—

點C到直線/8：3x-y+3=0的距離#+(-1)25,

,_6所.

Cl—r-------1

因此點尸到直線48距離的最小值為5,

'汨x(處—1)=6—回

所以△尸45面積的最小值是252.

故選：D

22

Fp—~yy=1(tz>0,b>0)斤斤

7.已知△和?分別是雙曲線a，b的左右焦點，以為直徑的圓與雙

曲線交于不同四點，順次連接焦點和這四點恰好組成一個正六邊形，則該雙曲線的離心率為

()

_亞+1

A.CB.也C.G+lD.2

【正確答案】C

【分析】設(shè)雙曲線和圓在第一象限的交點為尸，根據(jù)正六邊形可得點尸的坐標(biāo)，然后再根據(jù)

點尸在雙曲線上得到見80間的關(guān)系式，于是可得離心率.

由題意得，以片名為直徑的圓的半徑為10片卜°,

設(shè)雙曲線和圓在第一象限的交點為尸(x，N),

cA/3C

%

由正六邊形的幾何性質(zhì)可得22

［二叵］

二點尸的坐標(biāo)為122J,

22

土—匕=1

又點尸在雙曲線/〃上，

整理得c4-8a2c2+4a4=0,

.?._8/+4=0,解得/=4+2百或/二4一2百,

ye>l?/=4+2百

...e=m+1

8.己知數(shù)列｛""｝是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,在％，"2之間插入1個數(shù)，使這3個

數(shù)成等差數(shù)列，記公差為4,在出，%之間插入2個數(shù)，使這4個數(shù)成等差數(shù)列，公差為

&，…，在°，，，4+1之間插入n個數(shù)，使這〃+2個數(shù)成等差數(shù)列，公差為d",則（）

A.當(dāng)°<q<i時，數(shù)列｛""｝單調(diào)遞減B,當(dāng)q>i時，數(shù)列｛”"｝單調(diào)遞增

c.當(dāng)4〉乙時，數(shù)列｛."｝單調(diào)遞減D.當(dāng)4<.2時，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增

【正確答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列況｝的定義，求出通項，由通項討論數(shù)列的單調(diào)性.

數(shù)列｛4｝是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，則公比為q>°,

d_4+UQT)

由題意%+i=%+(〃+DZ,得"〃+1”+1,

Z+i,G+i)1i

0<q<l時，么<0,有dnn+2,九〉4，數(shù)列雙｝單調(diào)遞增，A選項錯誤;

4+1_“〃+1)”〃+1),]

">1時，服>0,第n+2,若數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增，則n+2,即

〃+23

q>----、T*q>~

"+1,由〃eN，需要2,故B選項錯誤；

一(4-1)%式4-1)

4七時，23,解得2,

一+i="〃+1)+

q>i時，服〉°,由%"+2,若數(shù)列｛"”｝單調(diào)遞減，則〃+2,即

q<"+2=1H——--\<q<—q<ld——--(weN*)

〃+1〃+1,而2不能滿足〃+，亙成立，C選項錯誤；

q(q-1)<qq(q-l)〉3

4<d2時，23,解得°<9<1或2,由AB選項的解析可知，數(shù)列

｛""｝單調(diào)遞增，D選項正確.

故選：D

思路點睛：此題的入手點在于求數(shù)列｛”/的通項，根據(jù)力的定義求得通項，再討論單調(diào)性.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.己知圓C：Y+/=4,點尸為直線x+歹一4二°上一動點，過點尸向圓C引兩條切線

P4、PB,A、B為切點、,則以下四個命題正確的是()

A.圓C上有且僅有3個點到直線/：X-V+0=°的距離都等于1

B,圓C與圓。2：必+/_6》_8卜+機=0恰有三條公切線，則m=16

C.不存在點P，使得N4PB=60°

D,直線48經(jīng)過定點°,1）

【正確答案】ABD

【分析】A選項，圓心C（0'°）到/:%一了+血二。的距離〃=1,為半徑的一半，A正確；

B選項，根據(jù)公切線條數(shù)得到兩圓外切，從而由圓心距和半徑之和相等，列出方程，求出

m=16.c選項，求出°F，直線》+了-4=°時，|0P|最小，此時/4P8最大，求出此

時/4尸8=90°〉60°,（:正確；D選項，°，4尸，8四點共圓，且°?為直徑，設(shè)

尸（加,4一加），求出此圓的方程，兩圓方程相減得到直線48的方程為

加（尸）+4-4%0,求出定點坐標(biāo).

A選項,U/+/=4的圓心為。（。，0）,半徑為2,

|0-0+V2|

d—II—]

圓心C（0,0）到/：》7+夜=°的距離V1+1,為半徑的一半，

故圓C上有且僅有3個點到直線/：X-V+拒=°的距離等于1,A正確；

B選項，圓C與圓02：（x-3）+3-4）=25-祖恰有三條公切線，

則兩圓外切，即J。-。）+（4-。）=2+j25—m,解得加=16,B正確；

C選項，當(dāng)點尸運動到。尸，直線x+J—4=°時，QPI最小，此時/NP8最大，

設(shè)尸（加,4-加），因為x+y-4=°的斜率為一1,

4-m_

則m,解得根=2,故尸（2,2）,尸|=2吟

PB

此時切線長E=\\=\聽—22=2,故ZApQ=/BPO=45。，

故NZP5=90°〉60°,

故存在點尸，使得N4P8=60°,c錯誤；

4N

O\BI24\X

D選項，因為尸PB[OB,故0,4尸,8四點共圓，且。尸為直徑,

m2+（4一加）

設(shè)尸（九4—%）,則°?的中點為

,半徑為2

m2+（4-m）2

故以O(shè)P為直徑的圓方程為I2J12J4L」，

化簡得J—機”+/—（4—機）＞=°,

/一機工+＞2_（4_機）＞=0與C：/+y2=4相減后得到4-mx-（4-m）j=0

即直線43的方程為4_M_（4_M）y=0nm（y_x）+4_4y=0,

y-x=o

y~o~72~衣

直線48經(jīng)過定點（U）,D正確.

故選：ABD

結(jié)論點睛：設(shè)“（久1%*（叼必），以線段48為直徑的圓的方程為

（x-x1）（x-x2）+（^-y1）（j-j2）=0

P?+i__=卜

10.在數(shù)列MJ中，如果對任意〃'2（〃eN*）,都有pnpn_x（左為常數(shù)），則稱數(shù)

列MJ為比等差數(shù)列，左稱為比公差.則下列說法錯誤的是（）

A.等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，且比公差左=1

B.等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列

c.若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，｛4｝是等比數(shù)列，則數(shù)列｛%,'｝一定是比等差數(shù)列

D.若數(shù)列""｝滿足%=%=1,%+i=%+*（〃之2）,則該數(shù)列不是比等差數(shù)列

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)比等差數(shù)列定義直接驗證可判斷A；令2—1,依定義驗證可判斷B；令

4=°,4=1,然后依定義驗證可判斷C；根據(jù)遞推公式求出前4項，然后依定義驗證可

判斷D.

%+i_%_

若為等比數(shù)列，公比9/°,則4,*,

--2=0=左#1

所以%,故選項A錯誤；

"=Q

若a=1,也｝是等差數(shù)列，則3,故也｝為比等差數(shù)列，故選項B錯誤；

4+也+i。也

令4=0,4,=1,則%也=0,此時anbn。”—也t無意義，故選項c錯誤;

a

因為數(shù)列｝滿足=。2=1,0"+1=%+n-\（〃之2）,

aa

〃32_i3_]

a

所以%=2,%=3，故〃26%22,

所以｛%｝不是比等差數(shù)列，故選項D正確.

故選：ABC.

II.法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線

的交點。的軌跡是以坐標(biāo)原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.若矩形

G的四邊均與橢圓54相切，則下列說法正確的是（）

A.橢圓°的蒙日圓方程為，+/=9

B.若G為正方形，則G的邊長為3啦

C.若“是橢圓C蒙日圓上一個動點，過”作橢圓C的兩條切線，與該蒙日圓分別交于

尸，°兩點，則△”尸。面積的最大值為18

D.若尸是直線/：x+2y-3=°上的一點，過點尸作橢圓C的兩條切線與橢圓相切于

_4

兩點、,。是坐標(biāo)原點，連接。尸，當(dāng)/"PN為直角時，自P=°或3

【正確答案】ABD

【分析】A選項，求出廠=+加,可得到蒙日圓方程；B選項，設(shè)出邊長，得到方程,

求出答案；C選項，=由基本不等式求出最值；D選項，直線

/:x+2y-3=°與/+/=9的交點即為所求點，聯(lián)立后得到點坐標(biāo)，進而得到左。尸.

22

二+3=1伍〉6〉0)

解：對于A,橢圓a，b的四個頂點處的切線，

恰好圍成長、寬分別為2a和幼的矩形，蒙日圓為此矩形的外接圓，半徑廣=信+?,

22

C：土+匕=122_Q

故橢圓54的蒙日圓方程為x+7故A正確；

對于B,由題意可知正方形G是圓必+丁=9的內(nèi)接正方形，

設(shè)正方形G的邊長為切，可得機2+機2=(2x3)2,解得m=3啦，

即正方形G的邊長為3啦，故B正確；

對于C,由題意可得"PL”。，則0°為圓Y+/=9的一條直徑，

2

則IPQ\=2r=6t由勾股定理可得IHP「+|HQ|=|PQ「=36,

…小叫心"二9

當(dāng)且僅當(dāng)I"PR"21=30時，等號成立，

因此，A"。。面積的最大值為9,故C錯誤；

對于D,過直線，：x+2y—3=（）上一點尸作橢圓C的兩條切線，切點分別為M,N,

當(dāng)為直角時，點尸在橢圓C的蒙日圓上,

即為直線/：》+2了_3=0與圓/+/=9的交點,

[9

X=——

I5

x+2y-3=0(x=3,12

由lX+.V=9，解得[片0或〔5,

即點尸的坐標(biāo)為（3,0）或

_4

則直線。尸（。為坐標(biāo)原點）的斜率為0或3,故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在V4BC中，4B=5,AC=7,BC=6,則以8,C為焦點，且過A點的雙曲線的離心

率為.

【正確答案】3

【分析】由雙曲線定義以及焦距、離心率公式即可列式求解.

2a=AC—AB=2,2c=BC=6=>tz=l,c=3=>e=—=3

由題意知a

故3.

faIa-1a2-3aa,+2o2,=06?>2,neN*）

13.數(shù)列MJ滿足%-1,且"""T〃TV4則該數(shù)列前5項和可

能是（填一個值即可）

【正確答案】5（答案不唯一）

［分析］由條件可得（"〃一%T）（""_2%T）=°,即有％=""T或%=2%T,結(jié)合

4=1運算即可得.

片一3aMi+2舉、=0〃eN*）

12179'J

即（%-%）（%-2%）=0,

所以%=4-1或%=2%i,

又”=1,故該數(shù)列前5項可能為：1、1、1、1、1,或1、1、1、1、2,

或1、1、1、2、2,或1、1、2、2、2,或L,或1、2、4、8、8,或1、2、4、8、16,

該數(shù)列前5項和可能是5、6、7、8、L、23、31.

故5（答案不唯一）.

14.已知直線I：乙一歹+3-3左=°的圖象與曲線c：歹=J-/+2x有且只有一個交點，則

實數(shù)k的取值范圍是.

,6-20

k-----------

【正確答案】1<k43或3

【分析】求出動直線所過定點，化簡曲線為半圓，作出圖象，數(shù)形結(jié)合可得解.

由日-y+3-3左=0可得后（x-3）-（歹-3）=0,即直線過定點尸G，3）,

由y=J-x?+2x可得J?+x」—2x=0（。N0）,即曲線c：（x_l）2+V=l（y?0）

作出曲線C與直線的圖象，如圖，

k,—3-0—°3k,――3-0——1,

當(dāng)直線過點MR，。）時，斜率3-2,當(dāng)直線過點°（°，°）時，斜率P°3-0

,\k+3-3k\,

a=—i—=1

直線與曲線C相切時，圓心到直線的距離<k-+l,

,6-2V3-6+26”

2k=----------k--------->3

即3H-12左+8=°,解得3或3(由圖可知不符合題意，舍去)，

,6-273

k----------

由圖可知，當(dāng)直線斜率上滿足1(左43或3時，直線與曲線只有一個交點.

,6-26

k—______

故1(左43或3

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知等差數(shù)列｛4｝滿足02=3,旬=2&—5.

(1)求｛""｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列包｝的前〃項和為北,且D+1-也，若著〉36°,求加的最小值.

【正確答案】(1)2〃-1

(2)10

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛""｝的公差為"，然后利用公式構(gòu)建基本量為'"的方程求解即可.

(2)先將等差數(shù)列｛4｝的通項代入，=心一成，得到數(shù)列也｝的通項，再求和，解不等式即

可.

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列&"｝的公差為d,

+d=3

則￡1+8"=2(%+51)-5解得%=1,d=2,

故%=%+("-l)d=2〃-1

【小問2詳解】

由⑴可得%=2〃+1,則4=(2"+1)2-(2〃-1)2=8",

所以“一如=8(〃之2),則數(shù)列也｝是是等差數(shù)列，

（8+8”）〃

T“=\-------^-=4n7+4n

故2

因為*＞360,所以4丁+4加〉360,所以4G7+10）（%-9）＞0,

所以機＞9或加＜T0.

因為加eN+,所以冽的最小值是io.

16.已知直線過點“（4,1）.

1

（1）若直線在％軸上的截距是在歹軸上的截距的5倍，求直線的方程；

（2）已知V48C的一個頂點為A,AB邊上的中線CM所在的直線方程為x—2y+2=°,

AC邊上的高BH所在的直線方程為2》+-2=0.求BC所在直線的方程.

y——1工

【正確答案】（1）4或2x+y—9=0

（2）%一4y+10=0

【分析】（1）分直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0和不為0兩種情況，設(shè)出直線方程，將

“（4」）代入得到直線方程；

（2）根據(jù)垂直得到直線NC的方程為3x—2y+'=0,將N（4,l）代入，求出直線NC的方

程，聯(lián)立直線CM和直線NC的方程求出C0，4）,再設(shè)以根,〃），則〔2'2

12'2J在直線x-2y+2=。，80〃）在2》+3了-2=0,從而得到方程組，求

出機，〃，得到^（―2,2）,利用兩點式求出直線方程.

【小問1詳解】

當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0時，設(shè)直線的方程為^=.，k力0,

k=L

將”（4,1）代入得，4k=1,解得4,

1

y=-x

故直線的方程為“4,

=1

當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線的方程為。2。，

將44,1）代入得。2a，解得2,

故直線的方程為2x+y-9=0,

1

y—_JQ

所以直線的方程為4或2x+y-9=0；

【小問2詳解】

因為高BH所在的直線方程為2》+3y一2=0,

所以設(shè)直線NC的方程為3》_2>+/=0,

將幺（4,1）代入3x_2y+f=0得，12-2+/=0,解得”—10,

故直線ZC的方程為3x_2j_10=0,

x=6

聯(lián)立x_2y+2=0與3x_2y_]0=0得[y=4

故C（6M）,

設(shè)3的〃），則〔丁'亍1

/口山〕加+42x〃+k

（22J在直線x-2>+2=°上，故2=0

2?,

又5（以〃）在2x+3y-2=0上,故2加+3〃-2=0②,

m=-2

聯(lián)立①②得，1〃=2,故8（—2,2）,

y-4_x-6

BC所在直線的方程為2—4——2—6,即x_4y+10=0

17.已知圓℃—2/+產(chǎn)=1

(1)直線過點PG，2)且與圓C相切，求直線的方程；

(2)圓0：一+/一3》一P=()與圓c交于幺、8兩點，求公共弦長|幺回.

31

y——x—

【正確答案】(1)"44或x=3

(2)O

【分析】(1)根據(jù)直線斜率是否存在分類討論，再結(jié)合點到直線距離及直線與圓相切列出關(guān)

系式求解即可得出答案.

(2)先聯(lián)立方程組求出公共弦所在直線48方程；再根據(jù)點到直線距離求出圓心0(2，0)到

直線48的距離；最后根據(jù)弦長公式即可得出答案.

【小問1詳解】

由圓C:(x-2)2+/=1可得：圓心坐標(biāo)為°。，0),半徑為

1。若直線斜率不存在，則直線方程為》=3,此時點C(2，0)到直線的距離為3-2=1=八，

故直線》=3與圓C相切，符合題意；

2。若直線斜率存在，設(shè)直線方程為>=—3)+2,即了=丘-3k+2.

由直線與圓C相切可得：&+父,解得4.

31

y=-x——

此時直線的方程為：“44,

31

y=-x——

綜上直線的方程為："44或x=3.

【小問2詳解】

(x-2)2+y2=l

<

聯(lián)立〔/+/-3x-y=0,得：直線4B方程為x-y-3=°.

d」2-3匚亞

圓心°°，°)到直線Z3距離為V22,

\AB\=2i1-V=6

故公共弦長YIJ

18.若數(shù)列匕｝共有機e6*,近3)項，成村”也)都有l(wèi)nc,+ln0,=R,其

中R為常數(shù)，則稱數(shù)列｛'"｝是一個項數(shù)為加的“對數(shù)等和數(shù)列”，其中尺稱為“對數(shù)等和常數(shù)”.已

知數(shù)列｛%｝是一個項數(shù)為冽的對數(shù)等和數(shù)列，對數(shù)等和常數(shù)為R.

(1)若加=9,%=］，％=4,求為的值；

b-“加+1T

(2)定義數(shù)列也｝滿足：'%,2,3,…，m.

(i)證明：數(shù)列3"｝是一個項數(shù)為加的對數(shù)等和數(shù)列；

m

G?1

(ii)已知數(shù)列I，是首項為1024,公比為4的等比數(shù)列，若氏二°,求2的值.

【正確答案】⑴"9=16

20481

(2)(i)證明見解析；(ii)32

【分析】(1)由題干信息可得氏=歷16,即可得答案;

(2)(i)注意到即可證明結(jié)論；

(ii)由題可得以表達(dá)式，后由裂項求和法可得答案.

【小問1詳解】

依題音火=+仙。5-山16又火=In%+lna9

所以M49=R=In16即為=16

【小問2詳解】

h—*+1h-%

Ui~Um+\-i.ii_i

(i)依題意%,貝U4+IT,因此“4心"1,

從而In”+ln*1=0,即數(shù)列也｝是一個項數(shù)為切的對數(shù)等和數(shù)列.

bm=n=1024（

3）依題意，1024⑷,

（/n°

即14）⑴，即加=11,則4=1024,1=4,1

又R=0,故Inq+In。冽+J=0,即=1,

65山=12」=4一

此時生%,即4，q=Z,

注意到以2-6=（1）2-5—02）2：

m111190d.21

E也=之「-2"6=.[（I/_?_2）2!-6]=10X26-（-1）X2-5=――

所以/=1T/=1”.

Jj?

19.已知橢圓0片+/-的左、右焦點分別為片、月川（-2,0）為橢圓的一

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