2025屆河南省鄭州市河南實驗中學高三下學期期末質量監測數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題：，，則為()A．， B．，C．， D．，2．已知點是雙曲線上一點，若點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．23．已知函數，則下列結論錯誤的是()A．函數的最小正周期為πB．函數的圖象關于點對稱C．函數在上單調遞增D．函數的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到4．一個正三角形的三個頂點都在雙曲線的右支上，且其中一個頂點在雙曲線的右頂點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知單位向量，的夾角為，若向量，，且，則（）A．2 B．2 C．4 D．66．已知橢圓+=1(a>b>0)與直線交于A，B兩點，焦點F(0，-c)，其中c為半焦距，若△ABF是直角三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．7．中國古代數學著作《孫子算經》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數，三三數之余二，五五數之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”，若正整數除以正整數后的余數為，則記為，例如．現將該問題以程序框圖的算法給出，執行該程序框圖，則輸出的等于（）．A． B． C． D．8．已知，，則的大小關系為（）A． B． C． D．9．設命題：，，則為A．， B．，C．， D．，10．關于函數有下述四個結論：（）①是偶函數；②在區間上是單調遞增函數；③在上的最大值為2；④在區間上有4個零點.其中所有正確結論的編號是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④11．已知復數z滿足（i為虛數單位），則z的虛部為（）A． B． C．1 D．12．定義在上函數滿足，且對任意的不相等的實數有成立，若關于x的不等式在上恒成立，則實數m的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設為偶函數，且當時，；當時，．關于函數的零點，有下列三個命題：①當時，存在實數m，使函數恰有5個不同的零點；②若，函數的零點不超過4個，則；③對，，函數恰有4個不同的零點，且這4個零點可以組成等差數列．其中，正確命題的序號是_______．14．已知是同一球面上的四個點，其中平面，是正三角形，，則該球的表面積為______.15．能說明“若對于任意的都成立，則在上是減函數”為假命題的一個函數是________.16．已知數列滿足，且恒成立，則的值為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）若恒成立，求實數的取值范圍；（2）若方程有兩個不同實根，，證明：．18．（12分）已知的三個內角所對的邊分別為，向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的值19．（12分）已知函數.（1）解不等式；（2）若函數最小值為，且，求的最小值.20．（12分）改革開放年，我國經濟取得飛速發展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識也需要不斷加強.為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識，某小組利用假期進行一次全市駕駛員交通安全意識調查.隨機抽取男女駕駛員各人，進行問卷測評，所得分數的頻率分布直方圖如圖所示在分以上為交通安全意識強.求的值，并估計該城市駕駛員交通安全意識強的概率；已知交通安全意識強的樣本中男女比例為，完成下列列聯表，并判斷有多大把握認為交通安全意識與性別有關；安全意識強安全意識不強合計男性女性合計用分層抽樣的方式從得分在分以下的樣本中抽取人，再從人中隨機選取人對未來一年內的交通違章情況進行跟蹤調查，求至少有人得分低于分的概率.附：其中21．（12分）在等比數列中，已知，.設數列的前n項和為，且，（，）.（1）求數列的通項公式；（2）證明：數列是等差數列；（3）是否存在等差數列，使得對任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數列；若不存在，請說明理由.22．（10分）已知點為橢圓上任意一點，直線與圓交于，兩點，點為橢圓的左焦點.（1）求證：直線與橢圓相切；（2）判斷是否為定值，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，且命題：，，.故選：.本題考查含有一個量詞的命題的否定，屬于基礎題.2．A【解析】

設點的坐標為，代入橢圓方程可得，然后分別求出點到兩條漸近線的距離，由距離之積為，并結合，可得到的齊次方程，進而可求出離心率的值.【詳解】設點的坐標為，有，得.雙曲線的兩條漸近線方程為和，則點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，所以，則，即，故，即，所以.故選：A.本題考查雙曲線的離心率，構造的齊次方程是解決本題的關鍵，屬于中檔題.3．D【解析】

由可判斷選項A；當時，可判斷選項B；利用整體換元法可判斷選項C；可判斷選項D.【詳解】由題知，最小正周期，所以A正確；當時，，所以B正確；當時，，所以C正確；由的圖象向左平移個單位，得，所以D錯誤.故選：D.本題考查余弦型函數的性質，涉及到周期性、對稱性、單調性以及圖象變換后的解析式等知識，是一道中檔題.4．D【解析】

因為雙曲線分左右支，所以，根據雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點坐標為，，將其代入雙曲線可解得．【詳解】因為雙曲線分左右支，所以，根據雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點坐標為，，將其代入雙曲線方程得：，即，由得．故選：．本題考查了雙曲線的性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．5．C【解析】

根據列方程，由此求得的值，進而求得.【詳解】由于，所以，即，解得.所以所以.故選：C本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數量積的運算，考查向量模的求法，屬于基礎題.6．A【解析】

聯立直線與橢圓方程求出交點A，B兩點，利用平面向量垂直的坐標表示得到關于的關系式，解方程求解即可.【詳解】聯立方程，解方程可得或，不妨設A(0，a)，B(-b，0)，由題意可知，·=0，因為，，由平面向量垂直的坐標表示可得，，因為，所以a2-c2=ac，兩邊同時除以可得，，解得e=或（舍去），所以該橢圓的離心率為.故選：A本題考查橢圓方程及其性質、離心率的求解、平面向量垂直的坐標表示；考查運算求解能力和知識遷移能力；利用平面向量垂直的坐標表示得到關于的關系式是求解本題的關鍵；屬于中檔題、常考題型.7．C【解析】從21開始，輸出的數是除以3余2，除以5余3，滿足條件的是23，故選C.8．D【解析】

由指數函數的圖像與性質易得最小，利用作差法，結合對數換底公式及基本不等式的性質即可比較和的大小關系，進而得解.【詳解】根據指數函數的圖像與性質可知，由對數函數的圖像與性質可知，，所以最小；而由對數換底公式化簡可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，綜上可知，故選：D.本題考查了指數式與對數式的化簡變形，對數換底公式及基本不等式的簡單應用，作差法比較大小，屬于中檔題.9．D【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結果即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題：，，則為：，.故本題答案為D.本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關系，是基礎題.10．C【解析】

根據函數的奇偶性、單調性、最值和零點對四個結論逐一分析，由此得出正確結論的編號.【詳解】的定義域為.由于，所以為偶函數，故①正確.由于，，所以在區間上不是單調遞增函數，所以②錯誤.當時，，且存在，使.所以當時，；由于為偶函數，所以時，所以的最大值為，所以③錯誤.依題意，，當時，，所以令，解得，令，解得.所以在區間，有兩個零點.由于為偶函數，所以在區間有兩個零點.故在區間上有4個零點.所以④正確.綜上所述，正確的結論序號為①④.故選：C本小題主要考查三角函數的奇偶性、單調性、最值和零點，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.11．D【解析】

根據復數z滿足，利用復數的除法求得，再根據復數的概念求解.【詳解】因為復數z滿足，所以，所以z的虛部為.故選：D.本題主要考查復數的概念及運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.12．B【解析】

結合題意可知是偶函數,且在單調遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結合導函數與原函數的單調性關系,構造新函數,計算最值,即可.【詳解】結合題意可知為偶函數,且在單調遞減,故可以轉換為對應于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.本道題考查了函數的基本性質和導函數與原函數單調性關系,計算范圍,可以轉化為函數,結合導函數,計算最值,即可得出答案.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．①②③【解析】

根據偶函數的圖象關于軸對稱，利用已知中的條件作出偶函數的圖象，利用圖象對各個選項進行判斷即可.【詳解】解：當時又因為為偶函數可畫出的圖象，如下所示：可知當時有5個不同的零點；故①正確；若，函數的零點不超過4個，即，與的交點不超過4個，時恒成立又當時，在上恒成立在上恒成立由于偶函數的圖象，如下所示：直線與圖象的公共點不超過個，則，故②正確；對，偶函數的圖象，如下所示：，使得直線與恰有4個不同的交點點，且相鄰點之間的距離相等，故③正確．故答案為：①②③本題考查函數方程思想，數形結合思想，屬于難題.14．【解析】

求得等邊三角形的外接圓半徑，利用勾股定理求得三棱錐外接球的半徑，進而求得外接球的表面積.【詳解】設是等邊三角形的外心，則球心在其正上方處.設，由正弦定理得.所以得三棱錐外接球的半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：本小題主要考查幾何體外接球表面積的計算，屬于基礎題.15．答案不唯一，如【解析】

根據對基本函數的理解可得到滿足條件的函數.【詳解】由題意，不妨設，則在都成立，但是在是單調遞增的，在是單調遞減的，說明原命題是假命題.所以本題答案為，答案不唯一，符合條件即可.本題考查對基本初等函數的圖像和性質的理解，關鍵是假設出一個在上不是單調遞減的函數，再檢驗是否滿足命題中的條件，屬基礎題.16．【解析】

易得，所以是等差數列，再利用等差數列的通項公式計算即可.【詳解】由已知，，因，所以，所以數列是以為首項，3為公差的等差數列，故，所以.故答案為：本題考查由遞推數列求數列中的某項，考查學生等價轉化的能力，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）詳見解析【解析】

（1）將原不等式轉化為，構造函數，求得的最大值即可；

（2）首先通過求導判斷的單調區間，考查兩根的取值范圍，再構造函數，將問題轉化為證明，探究在區間內的最大值即可得證．【詳解】解：（1）由，即，即，令，則只需，，令，得，在上單調遞增，在上單調遞減，，的取值范圍是；（2）證明：不妨設，當時，單調遞增，當時，單調遞減，，當時，，，要證，即證，由在上單調遞增，只需證明，由，只需證明，令，，只需證明，易知，由，故，，從而在上單調遞增，由，故當時，，故，證畢．本題考查利用導數研究函數單調性，最值等，關鍵是要對問題進行轉化，比如把恒成立問題轉化為最值問題，把根的個數問題轉化為圖像的交點個數，進而轉化為證明不等式的問題，屬難題．18．（1）（2）【解析】

利用平面向量數量積的坐標表示和二倍角的余弦公式得到關于的方程,解方程即可求解;由知,在中利用余弦定理得到關于的方程,與方程聯立求出,進而求出,利用兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】由題意得，,由二倍角的余弦公式可得,,又因為，所以，解得或，∵，∴.在中,由余弦定理得,即①又因為,把代入①整理得，，解得，，所以為等邊三角形，，∴,即.本題考查利用平面向量數量積的坐標表示和余弦定理及二倍角的余弦公式解三角形;熟練掌握余弦的二倍角公式和余弦定理是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.19．（1）（2）【解析】

（1）利用零點分段法，求得不等式的解集.（2）先求得，即，再根據“的代換”的方法，結合基本不等式，求得的最小值.【詳解】（1）當時，，即，無解；當時，，即，得；當時，，即，得.故所求不等式的解集為.（2）因為，所以，則，.當且僅當即時取等號.故的最小值為.本小題主要考查零點分段法解絕對值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.20．，概率為；列聯表詳見解析，有的把握認為交通安全意識與性別有關；.【解析】

根據頻率和為列方程求得的值，計算得分在分以上的頻率即可；根據題意填寫列聯表，計算的值，對照臨界值得出結論；用分層抽樣法求得抽取各分數段人數，用列舉法求出基本事件數，計算所求的概率值.【詳解】解：解得.所以，該城市駕駛員交通安全意識強的概率根據題意可知，安全意識強的人數有，其中男性為人，女性為人，填寫列聯表如下：安全意識強安全意識不強合計男性女性合計所以有的把握認為交通安全意識與性別有關.由題意可知分數在，的分別為名和名，所以分層抽取的人數分別為名和名，設的為，，的為，，，，則基本事件空間為，，，，，，，，，，，，，，共種，設至少有人得分低于分的事件為，則事件包含的基本事件有，，，，，，，，共種所以.本題考查獨立性檢驗應用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，屬于中檔題.21．（1）（2）見解析（3）存在唯一的等差數列，其通項公式為，滿足題設【解析】

（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得數列的遞推公式，即可知結果為常數，即得