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素養拓展15平面向量中的最值（范圍）問題（精講+精練）一、知識點梳理一、知識點梳理一、平面向量中的最值（范圍）問題平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現了知識的交匯組合．其基本題型是根據已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數量積、向量夾角、系數的范圍等，解題思路通常有兩種：一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，先將問題轉化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據平面圖形的特征直接進行判斷；二是“數化”，即利用平面向量的坐標運算，先把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集、方程的有解等問題，然后利用函數、不等式、方程有關知識來解決．二、極化恒等式設a，b是平面內的兩個向量，則有SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②將兩式相減可得SKIPIF1<0，這個等式在數學上我們稱為極化恒等式．①幾何解釋1（平行四邊形模型）以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為一組鄰邊構造平行四邊形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．即“從平行四邊形一個頂點出發的兩個邊向量的數量積是和對角線長與差對角線長平方差的SKIPIF1<0”．②幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結論的基礎上，若設M為對角線的交點，則由SKIPIF1<0變形為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，該等式即是極化恒等式在三角形中的體現，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型．注：具有三角幾何背景的數學問題利用極化恒等式考慮尤為簡單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極化恒等式看到向量的數量積可轉化為中線長與半底邊長的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長度(數量)之間的橋梁，實現向量與幾何、代數的巧妙結合．二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】（極化恒等式的應用）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上任意一點，求SKIPIF1<0的最小值．【典例2】（數量積的最值（范圍））已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若點M是SKIPIF1<0所在平面內的一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（模的最值（范圍））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1【典例4】（夾角的最值（范圍））平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓練-刷模擬】1.極化恒等式的應用1．如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如圖，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點是線段SKIPIF1<0上一動點.若以SKIPIF1<0為圓心?半徑為1的圓與線段SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，且，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則的值是A． B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．34．已知SKIPIF1<0的斜邊SKIPIF1<0的長為4，設SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）．A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05．已知圖中正六邊形SKIPIF1<0的邊長為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點P在正六邊形的邊上運動，SKIPIF1<0為圓O的直徑，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知邊長為2的正方形ABCD內接于圓O，點P是正方形ABCD四條邊上的動點，MN是圓O的一條直徑，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為鈍角，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上的兩個動點，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．8．如圖，圓SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內切圓，已知SKIPIF1<0，過圓心SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0的取值范圍是_________．2.數量積的最值（范圍）問題一、單選題1．已知菱形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為菱形的中心，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如圖，已知SKIPIF1<0是半徑為2，圓心角為SKIPIF1<0的扇形，點SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是圓弧SKIPIF1<0上的動點（包括端點），則SKIPIF1<0的最小值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知半徑為1的圓O上有三個動點A，B，C，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知△ABC是單位圓O的內接三角形，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<06．已知邊長為2的菱形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一動點，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知菱形ABCD的邊長為2，SKIPIF1<0，點E在邊BC上，SKIPIF1<0，若G為線段DC上的動點，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．2 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．48．圓SKIPIF1<0為銳角SKIPIF1<0的外接圓，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題9．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是.10．如圖所示，△ABC是邊長為8的等邊三角形，點P為AC邊上的一個動點，長度為6的線段EF的中點為點B，則SKIPIF1<0的取值范圍是.11．如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0為圓心為SKIPIF1<0、半徑為1的圓的動直徑，則SKIPIF1<0的取值范圍是.12．如圖，在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，點D，E分別在邊AB，AC上，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，點F為線段DE上的動點，則SKIPIF1<0的取值范圍是．13．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是其外心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分別有兩動點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0恰好將SKIPIF1<0分為面積相等的兩部分.則SKIPIF1<0的最大值為.14．如圖，在邊長為2的正方形SKIPIF1<0中．以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓分別交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當點SKIPIF1<0在劣弧SKIPIF1<0上運動時，SKIPIF1<0的最小值為．3.模的最值（范圍）問題一、單選題1．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（θ為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角），則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．23．已知SKIPIF1<0為單位向量，向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．44．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是單位向量，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知在三角形ABC中，SKIPIF1<0，點M，N分別為邊AB，AC上的動點，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，點P，Q分別為MN，BC的中點，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．在長方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上運動，點SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上運動，且保持SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知單位向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0垂直，若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知SKIPIF1<0均為單位向量，且夾角為SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題11．已知向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為．12．已知SKIPIF1<0是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是．13．平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的最小值是．14．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.15．已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為平面單位向量，則SKIPIF1<0的最大值16．已知SKIPIF1<0為正交基底，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.17．已知SKIPIF1<0為坐標原點，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是4.夾角的最值（范圍）問題一、單選題1．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角是銳角，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則夾角SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為單位向量，其夾角為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知單位向量SKIPIF1<0，若對任意實數x，SKIPIF1<0恒成立，則向量SKIPIF1<0的夾角的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知平面向量SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的正弦值的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．若平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0夾角的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角最大值時SKIPIF1<0為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知不共線的平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

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