專題17橢圓與雙曲線共焦點問題微點2橢圓與雙曲線共焦點常用結論及其應用（二）專題17橢圓與雙曲線共焦點問題微點2橢圓與雙曲線共焦點常用結論及其應用（二）【微點綜述】圓錐曲線是高中數學的重要研究對象，其中具有相同焦點的橢圓與雙曲線更是引人矚目，耐人尋味．在近年高考及全國各地模擬考試中，頻繁出現以共焦點的橢圓與雙曲線為背景的兩離心率之積與兩離心率倒數之和的最值與范圍問題，此類問題因涉及知識的交匯、體現綜合運用能力，學生面對此類問題往往束手無策，本文介紹與此類問題有關的結論，通過具體例子說明結論的應用，供同學們復習時參考．一、常用結論【結論1】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，則．證明：由已知得消去得，又，因此．又．【結論2】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，，則．證明：由橢圓與雙曲線的定義得兩式分別平方再相減得．在中，由余弦定理得，，，同理可得，，．由橢圓與雙曲線的焦點三角形面積公式得．【結論3】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，，則．證明：由結論2得，又．注意到．【結論4】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，則．證明：．【評注】結論4反映之間的等量關系式，等式左邊是兩分式之和，分母分別是，分子分別是，等式右邊是與的平方和．【結論5】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，，則，即．證明：證法1：在中，由余弦定理得，即，，即，亦即．證法2：借助焦點三角形面積公式運用面積公式，設橢圓的短半軸長為，雙曲線的虛半軸長為，則，，所以，，，，整理得：，即．【結論6】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，點是橢圓與雙曲線的一個公共點，則橢圓與雙曲線在點處的切線相互垂直．證明：橢圓在點處的切線方程為，該切線的斜率為，雙曲線在點處的切線，該切線的斜率為，；又由結論1得，則橢圓與雙曲線在點處的切線相互垂直．【結論7】若點是橢圓與雙曲線的一個公共點，且它們在點處的切線相互垂直，則橢圓與雙曲線有共同的焦點．證明：由已知得消去得，因此．由已知得，橢圓與雙曲線有共同的焦點．二、應用舉例共焦點的橢圓與雙曲線問題一般有如下八類題型：（一）公共點問題；（二）公共焦點三角形問題；（三）角度問題；（四）公共點處切線有關問題；（五）求離心率的值（或取值范圍）；（六）求橢圓、雙曲線離心率之積的取值范圍或最值問題；（七）求（為正常數）型最值問題；（八）求（為正常數）型最值問題．下面我們在上一節基礎上繼續舉例說明題型（四）至（五）及其解題方法．（四）公共點處切線有關問題例1．1．已知橢圓與雙曲線有公共焦點，點在雙曲線上，則該雙曲線在點處的切線的斜率為_________________．例2．2．若兩曲線在交點處的切線互相垂直，則稱這兩條曲線在點處正交．設橢圓與雙曲線在交點處正交，則橢圓的離心率為__________．共焦點的橢圓與雙曲線問題中涉及離心率一般有如下幾類題型：①求離心率的值（或取值范圍）．解題方法：由結論4或結論5得出的等量關系式，利用此關系式求離心率的值（或取值范圍）．②求兩離心率之積的取值范圍或最值．解題方法：先由結論4或結論5得出的等量關系式，將問題轉化為二元條件最值問題，若求的取值范圍或最值問題，一般可考慮均值不等式、三角換元、消元等方法處理．③求（為正常數）型最值問題．解題方法：先由結論4或結論5得出的等量關系式，將問題轉化為二元條件最值問題，若求（為正常數）的最大值，一般可考慮柯西不等式或三角換元等方法處理．④求（為正常數）型最值問題．解題方法：先由結論4或結論5得出的等量關系式，將問題轉化為二元條件最值問題，若求（為正常數）型最值，一般可考慮柯西不等式、三角換元或常值代換等方法處理．我們先看類型（五），下節中我們繼續研究題型（六）～（八）及其解法．（五）求離心率的值（或取值范圍）例3．3．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是的一個公共點，是以一個以為底的等腰三角形，的離心率為，則的離心率是A．2 B．3 C． D．例4．4．已知、是雙曲線：（，）與橢圓：的公共焦點，點是曲線、在第一象限的交點，若的面積為，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．例5．(2023河南鄭州市·高三一模）5．已知知是橢圓與雙曲線的公共焦點，是在第二象限的公共點.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例6．(2023陜西渭南市，高二期末）6．我們把焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”，已知、是一對相關曲線的焦點，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當時，這一對相關曲線中雙曲線的離心率是A． B． C． D．2例7．7．設，分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為

A． B．1 C．2 D．不確定例8．8．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，P是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則A．4 B． C．2 D．3例9．(2023江西南昌市·南昌二中高二月考）9．橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點對兩公共焦點、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則A． B．C． D．例10．(2023·湖南邵陽·高二期末）10．設為雙曲線與橢圓的公共的左右焦點，它們在第一象限內交于點是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率范圍為，則雙曲線的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．例11．(2023·云南·高二月考）11．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是兩曲線的一個公共點，且，若雙曲線為等軸雙曲線，則橢圓的離心率為______．例12．(2023全國高二課時練習）12．橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點為，且，若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為___________.例13．(2023全國高三專題練習）13．設，分別為橢圓：與雙曲線：的公共焦點，它們在第一象限內交于點，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為________________________．【強化訓練】一、單選題(2023·吉林長春·模擬預測）14．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓與雙曲線共焦點，雙曲線實軸的兩頂點將橢圓的長軸三等分，兩曲線的交點與兩焦點共圓，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．15．已知橢圓與雙曲線有相同的左右焦點、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，兩曲線的一個公共點為點，且滿足，則的值為（

）A．3 B． C．7 D．(2023·江西·金溪一中高三月考）16．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是兩曲線的一個公共點，且，若雙曲線為等軸雙曲線，則橢圓的離心率（

）A． B． C． D．(2023江西高三其他模擬）17．已知橢圓與雙曲線的焦點相同，離心率分別為，，且滿足，，是它們的公共焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．18．已知中心在坐標原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左，右焦點分別為，，與在第一象限的交點為P，是以為底邊的等腰三角形，若，與的離心率分別為，，則的取值范圍是A． B． C． D．19．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、，點是與的一個公共點，是一個以為底的等腰三角形，，的離心率是，則的離心率是（

）A． B． C． D．(2023·湖北省天門中學模擬預測）20．已知共焦點的橢圓和雙曲線，焦點為，，記它們其中的一個交點為P，且，則該橢圓離心率與雙曲線離心率必定滿足的關系式為（

）A． B．C． D．(2023江蘇泰州市·泰州中學高二開學考試）21．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點，，點使兩曲線的一個公共點，且，若橢圓離心率，則雙曲線的離心率（

）A． B．2 C． D．3(2023·江蘇省天一中學高二期中）22．已知為橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的公共點，且分別為橢圓和雙曲線的離心率，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4(2023·全國·高二期末）23．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5(2023江蘇徐州市高二月考）24．已知點，分別是橢圓和雙曲線的公共焦點，，分別是和的離心率，點為和的一個公共點，且，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．(2023陜西漢中市·高三月考）25．橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點對兩公共焦點，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則A． B．C． D．二、多選題(2023重慶巴蜀中學高三月考）26．已知橢圓：與雙曲線：（，）有公共焦點，，且兩條曲線在第一象限的交點為，若是以為底邊的等腰三角形，，的離心率分別為和，則（

）A． B．C． D．(2023·全國·高二專題練習）27．已知橢圓與雙曲線，有公共焦點（左焦點），（右焦點），且兩條曲線在第一象限的交點為，若△是以為底邊的等腰三角形，，的離心率分別為和，且，則（

）A． B．C． D．(2023·江蘇省響水中學高三月考）28．已知橢圓：的左右焦點分別為，，離心率為，上頂點為，且的面積為.雙曲線與橢圓的焦點相同，且的離心率為，為與的一個公共點，若，則（

）A． B． C． D．(2023全國·高二專題練習）29．已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，，離心率為，橢圓的上頂點為，且的面積為.雙曲線和橢圓焦點相同，且雙曲線的離心率為，是橢圓與雙曲線的一個公共點，若，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題(2023天津靜海區·高二期中）30．已知橢圓與雙曲線有公共焦點，為與的一個交點，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則_______．(2023江蘇省天一中學高三一模）31．設P為有公共焦點的橢圓與雙曲線的一個交點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則______________.(2023全國高三專題練習）32．若橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是兩條曲線的一個交點，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，，則__________.(2023江蘇省前黃高級中學高二期末）33．，是橢圓和雙曲線的公共焦點，，分別為曲線，的離心率，為曲線，的一個公共點，若，且，則___________.(2023江西·景德鎮一中高二期末（文））34．已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心為原點，焦點在軸上，左、右焦點分別為，，且它們在第一象限內的交點為，是以為底邊的等腰三角形且，若雙曲線的離心率取值范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是____________.(2023·甘肅·永昌縣第一高級中學高二月考（文））35．設，同時為橢圓與雙曲線的左?右焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限內交于點M，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，O為坐標原點，若，則___________.(2023·浙江·高三學業考試）36．已知橢圓：和雙曲線：的焦點相同，，分別為左?右焦點，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，軸，為垂足，若(為坐標原點)，則橢圓和雙曲線的離心率之積為________.(2023江蘇南通·高三期末）37．設橢圓與雙曲線的公共焦點為，將的離心率記為，點是在第一象限的公共點，若點關于的一條漸近線的對稱點為，則________．專題17橢圓與雙曲線共焦點問題微點2橢圓與雙曲線共焦點常用結論及其應用（二）專題17橢圓與雙曲線共焦點問題微點2橢圓與雙曲線共焦點常用結論及其應用（二）【微點綜述】圓錐曲線是高中數學的重要研究對象，其中具有相同焦點的橢圓與雙曲線更是引人矚目，耐人尋味．在近年高考及全國各地模擬考試中，頻繁出現以共焦點的橢圓與雙曲線為背景的兩離心率之積與兩離心率倒數之和的最值與范圍問題，此類問題因涉及知識的交匯、體現綜合運用能力，學生面對此類問題往往束手無策，本文介紹與此類問題有關的結論，通過具體例子說明結論的應用，供同學們復習時參考．一、常用結論【結論1】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，則．證明：由已知得消去得，又，因此．又．【結論2】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，，則．證明：由橢圓與雙曲線的定義得兩式分別平方再相減得．在中，由余弦定理得，，，同理可得，，．由橢圓與雙曲線的焦點三角形面積公式得．【結論3】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，，則．證明：由結論2得，又．注意到．【結論4】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，則．證明：．【評注】結論4反映之間的等量關系式，等式左邊是兩分式之和，分母分別是，分子分別是，等式右邊是與的平方和．【結論5】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，，則，即．證明：證法1：在中，由余弦定理得，即，，即，亦即．證法2：借助焦點三角形面積公式運用面積公式，設橢圓的短半軸長為，雙曲線的虛半軸長為，則，，所以，，，，整理得：，即．【結論6】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，點是橢圓與雙曲線的一個公共點，則橢圓與雙曲線在點處的切線相互垂直．證明：橢圓在點處的切線方程為，該切線的斜率為，雙曲線在點處的切線，該切線的斜率為，；又由結論1得，則橢圓與雙曲線在點處的切線相互垂直．【結論7】若點是橢圓與雙曲線的一個公共點，且它們在點處的切線相互垂直，則橢圓與雙曲線有共同的焦點．證明：由已知得消去得，因此．由已知得，橢圓與雙曲線有共同的焦點．二、應用舉例共焦點的橢圓與雙曲線問題一般有如下八類題型：（一）公共點問題；（二）公共焦點三角形問題；（三）角度問題；（四）公共點處切線有關問題；（五）求離心率的值（或取值范圍）；（六）求橢圓、雙曲線離心率之積的取值范圍或最值問題；（七）求（為正常數）型最值問題；（八）求（為正常數）型最值問題．下面我們在上一節基礎上繼續舉例說明題型（四）至（五）及其解題方法．（四）公共點處切線有關問題例1．1．已知橢圓與雙曲線有公共焦點，點在雙曲線上，則該雙曲線在點處的切線的斜率為_________________．例2．2．若兩曲線在交點處的切線互相垂直，則稱這兩條曲線在點處正交．設橢圓與雙曲線在交點處正交，則橢圓的離心率為__________．共焦點的橢圓與雙曲線問題中涉及離心率一般有如下幾類題型：①求離心率的值（或取值范圍）．解題方法：由結論4或結論5得出的等量關系式，利用此關系式求離心率的值（或取值范圍）．②求兩離心率之積的取值范圍或最值．解題方法：先由結論4或結論5得出的等量關系式，將問題轉化為二元條件最值問題，若求的取值范圍或最值問題，一般可考慮均值不等式、三角換元、消元等方法處理．③求（為正常數）型最值問題．解題方法：先由結論4或結論5得出的等量關系式，將問題轉化為二元條件最值問題，若求（為正常數）的最大值，一般可考慮柯西不等式或三角換元等方法處理．④求（為正常數）型最值問題．解題方法：先由結論4或結論5得出的等量關系式，將問題轉化為二元條件最值問題，若求（為正常數）型最值，一般可考慮柯西不等式、三角換元或常值代換等方法處理．我們先看類型（五），下節中我們繼續研究題型（六）～（八）及其解法．（五）求離心率的值（或取值范圍）例3．3．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是的一個公共點，是以一個以為底的等腰三角形，的離心率為，則的離心率是A．2 B．3 C． D．例4．4．已知、是雙曲線：（，）與橢圓：的公共焦點，點是曲線、在第一象限的交點，若的面積為，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．例5．(2023河南鄭州市·高三一模）5．已知知是橢圓與雙曲線的公共焦點，是在第二象限的公共點.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例6．(2023陜西渭南市，高二期末）6．我們把焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”，已知、是一對相關曲線的焦點，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當時，這一對相關曲線中雙曲線的離心率是A． B． C． D．2例7．7．設，分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為

A． B．1 C．2 D．不確定例8．8．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，P是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則A．4 B． C．2 D．3例9．(2023江西南昌市·南昌二中高二月考）9．橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點對兩公共焦點、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則A． B．C． D．例10．(2023·湖南邵陽·高二期末）10．設為雙曲線與橢圓的公共的左右焦點，它們在第一象限內交于點是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率范圍為，則雙曲線的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．例11．(2023·云南·高二月考）11．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是兩曲線的一個公共點，且，若雙曲線為等軸雙曲線，則橢圓的離心率為______．例12．(2023全國高二課時練習）12．橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點為，且，若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為___________.例13．(2023全國高三專題練習）13．設，分別為橢圓：與雙曲線：的公共焦點，它們在第一象限內交于點，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為________________________．【強化訓練】一、單選題(2023·吉林長春·模擬預測）14．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓與雙曲線共焦點，雙曲線實軸的兩頂點將橢圓的長軸三等分，兩曲線的交點與兩焦點共圓，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．15．已知橢圓與雙曲線有相同的左右焦點、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，兩曲線的一個公共點為點，且滿足，則的值為（

）A．3 B． C．7 D．(2023·江西·金溪一中高三月考）16．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是兩曲線的一個公共點，且，若雙曲線為等軸雙曲線，則橢圓的離心率（

）A． B． C． D．(2023江西高三其他模擬）17．已知橢圓與雙曲線的焦點相同，離心率分別為，，且滿足，，是它們的公共焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．18．已知中心在坐標原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左，右焦點分別為，，與在第一象限的交點為P，是以為底邊的等腰三角形，若，與的離心率分別為，，則的取值范圍是A． B． C． D．19．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、，點是與的一個公共點，是一個以為底的等腰三角形，，的離心率是，則的離心率是（

）A． B． C． D．(2023·湖北省天門中學模擬預測）20．已知共焦點的橢圓和雙曲線，焦點為，，記它們其中的一個交點為P，且，則該橢圓離心率與雙曲線離心率必定滿足的關系式為（

）A． B．C． D．(2023江蘇泰州市·泰州中學高二開學考試）21．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點，，點使兩曲線的一個公共點，且，若橢圓離心率，則雙曲線的離心率（

）A． B．2 C． D．3(2023·江蘇省天一中學高二期中）22．已知為橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的公共點，且分別為橢圓和雙曲線的離心率，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4(2023·全國·高二期末）23．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5(2023江蘇徐州市高二月考）24．已知點，分別是橢圓和雙曲線的公共焦點，，分別是和的離心率，點為和的一個公共點，且，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．(2023陜西漢中市·高三月考）25．橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點對兩公共焦點，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則A． B．C． D．二、多選題(2023重慶巴蜀中學高三月考）26．已知橢圓：與雙曲線：（，）有公共焦點，，且兩條曲線在第一象限的交點為，若是以為底邊的等腰三角形，，的離心率分別為和，則（

）A． B．C． D．(2023·全國·高二專題練習）27．已知橢圓與雙曲線，有公共焦點（左焦點），（右焦點），且兩條曲線在第一象限的交點為，若△是以為底邊的等腰三角形，，的離心率分別為和，且，則（

）A． B．C． D．(2023·江蘇省響水中學高三月考）28．已知橢圓：的左右焦點分別為，，離心率為，上頂點為，且的面積為.雙曲線與橢圓的焦點相同，且的離心率為，為與的一個公共點，若，則（

）A． B． C． D．(2023全國·高二專題練習）29．已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，，離心率為，橢圓的上頂點為，且的面積為.雙曲線和橢圓焦點相同，且雙曲線的離心率為，是橢圓與雙曲線的一個公共點，若，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題(2023天津靜海區·高二期中）30．已知橢圓與雙曲線有公共焦點，為與的一個交點，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則_______．(2023江蘇省天一中學高三一模）31．設P為有公共焦點的橢圓與雙曲線的一個交點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則______________.(2023全國高三專題練習）32．若橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是兩條曲線的一個交點，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，，則__________.(2023江蘇省前黃高級中學高二期末）33．，是橢圓和雙曲線的公共焦點，，分別為曲線，的離心率，為曲線，的一個公共點，若，且，則___________.(2023江西·景德鎮一中高二期末（文））34．已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心為原點，焦點在軸上，左、右焦點分別為，，且它們在第一象限內的交點為，是以為底邊的等腰三角形且，若雙曲線的離心率取值范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是____________.(2023·甘肅·永昌縣第一高級中學高二月考（文））35．設，同時為橢圓與雙曲線的左?右焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限內交于點M，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，O為坐標原點，若，則___________.(2023·浙江·高三學業考試）36．已知橢圓：和雙曲線：的焦點相同，，分別為左?右焦點，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，軸，為垂足，若(為坐標原點)，則橢圓和雙曲線的離心率之積為________.(2023江蘇南通·高三期末）37．設橢圓與雙曲線的公共焦點為，將的離心率記為，點是在第一象限的公共點，若點關于的一條漸近線的對稱點為，則________．參考答案：1．##分析：依題意，注意到點在橢圓上，由此得到橢圓在點處的切線方程；再結合上述性質得到橢圓與雙曲線在其公共點處的斜率間的關系，進而求出雙曲線在點處的切線的斜率．也可以利用結論6直接得到答案．【詳解】根據結論6，由題意得橢圓在點處的切線方程為，即，該直線的斜率為，由結論5得知，該雙曲線在點處的切線的斜率為．故答案為：.2．分析：設橢圓與雙曲線的交點為，聯立兩曲線方程解得的值，再寫出兩曲線在的切線方程及斜率，由解出的值，進而可求橢圓的離心率.【詳解】解：設橢圓與雙曲線的交點為，解方程組，得，橢圓在處的切線方程為，斜率；雙曲線在處的切線方程為，斜率；因為橢圓與雙曲線在交點處正交，所以，所以，即，解得.所以橢圓的離心率.故答案為：.3．B【詳解】試題分析：設則所以的離心率是,選B.考點：橢圓與雙曲線定義【思路點睛】(1)對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節部分：比如橢圓的定義中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，雙曲線的定義中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，拋物線上的點到焦點的距離與準線的距離相等的轉化.(2)解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的定義及幾何性質、點的坐標的范圍等.4．A【解析】求出焦點坐標，設點（，），利用三角形面積和點在橢圓上求出點坐標，代入雙曲線方程，并由雙曲線中可求得，從而得雙曲線離心率．，解得，即，代入雙曲線的方程，【詳解】由題意，，得，設點（，），則，解得，即，代入雙曲線的方程，并將代人，化得，則，又，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.【點睛】本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質，解題時要注意在橢圓與雙曲線中關系的不同．5．B【解析】求出橢圓焦點得雙曲線焦點，從而得雙曲線的，利用勾股定理和橢圓的定義求得得雙曲線的實軸長，可得雙曲線離心率．【詳解】易知橢圓的焦點坐標為，設雙曲線方程為，則，記，由在橢圓上有，∴，即，，∴雙曲線離心率為．故選：B．【點睛】關鍵點點睛：本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是利用雙曲線與已知橢圓共焦點，有公共點求出半焦距和半實軸長，注意點橢圓與雙曲線的定義的不同：橢圓中是，雙曲線中是．6．A分析：設，，設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，根據余弦定理可得，利用橢圓和雙曲線的定義，結合離心率的公式，求得結果.【詳解】設橢圓的長半軸長為，橢圓的離心率為，則，．雙曲線的實半軸長為，雙曲線的離心率為，，，設，，則，當點P被看作是橢圓上的點時，有，當點P被看作是雙曲線上的點時，有，兩式聯立消去得，即，所以，又，所以，整理得，解得或（舍去），所以，即雙曲線的離心率為，故選A．【點睛】該題考查的是有關橢圓和雙曲的有關問題，涉及到的知識點有橢圓和雙曲線的定義，新定義，橢圓和雙曲線的離心率，余弦定理，屬于中檔題目.7．C分析：根據題意，設它們共同的焦距為2c、橢圓的長軸長2a、雙曲線的實軸長為2m，由橢圓和雙曲線的定義及勾弦定理建立關于a、c、m的方程，聯解可得a2+m2=2c2，再根據離心率的定義求解．【詳解】由題意設焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，設P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|﹣|PF2|=2m

①由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a

②又∵，∴，可得∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④將④代入③，化簡得a2+m2=2c2，即，可得，所以=.故選：C【點睛】8．A分析：設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長a2，焦距2c．結合橢圓與雙曲線的定義,得，,在△F1PF2中,根據余弦定理可得到與c的關系式,變形可得的值.【詳解】如圖所示:設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，則根據橢圓及雙曲線的定義：，，∴，，設，，則在中由余弦定理得，，∴化簡得，該式可變成．故選A．【點睛】本題考查了橢圓及雙曲線的定義和離心率，考查了余弦定理的應用;涉及圓錐曲線的離心率時,常通過結合圓錐曲線a,b,c的關系式和其他已知條件,轉化只含有a,c的關系式求解.9．B分析：設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，并設，，利用橢圓和雙曲線的定義以及余弦定理可得出、關于的等式，從而可得出、的關系式.【詳解】設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，并設，，焦距為，在中，由余弦定理得，由橢圓和雙曲線的定義得，解得.代入，得，即，，即，，因此，.故選B.【點睛】本題考查共焦點和共交點的橢圓和雙曲線的綜合問題，要充分結合橢圓、雙曲線的定義以及余弦定理列等式求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10．A分析：設橢圓的標準方程為，根據橢圓和雙曲線的定義可得到兩圖形離心率之間的關系，再根據橢圓的離心率范圍可得雙曲線的離心率取值范圍.【詳解】設橢圓的標準方程為，，則有已知，兩式相減得，即，，因為，解得故選：A.11．分析：設，由橢圓和雙曲線的定義，解方程可得，再由余弦定理，可得，與的關系，結合離心率公式，可得，的關系，計算可得所求值．【詳解】設，為第一象限的交點，設橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，由橢圓和雙曲線的定義可得，解得，在三角形中，，由余弦定理可得，，即有，可得，即為，由雙曲線為等軸雙曲線，所以，可得.故答案為：．12．【解析】設點為第一象限內的點，設橢圓與雙曲線的焦點都在軸上，設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，兩曲線的焦距為，橢圓和雙曲線的離心率分別為、，利用余弦定理、橢圓和雙曲線的定義可得出，進而可得出，結合可求得的值，即可得解.【詳解】設橢圓與雙曲線的焦點都在軸上，設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，兩曲線的焦距為，橢圓和雙曲線的離心率分別為、，不妨設為第一象限的點，在橢圓中：①，在雙曲線中：②，聯立①②解得，，，在中由余弦定理得：，即即，即，所以，，因為橢圓的離心率，所以雙曲線的離心率，故答案為：.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關于、的齊次方程，然后轉化為關于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.13．分析：由題意，根據橢圓和雙曲線的定義，表示出焦半徑，整理齊次方程，根據離心率定義以及二次函數的性質，可得答案.【詳解】由橢圓及雙曲線定義得，，，因為，所以，，，因為，，，所以，則，因為，，由，所以，因此．故答案為：.14．C分析：設雙曲線的實半軸長為a，由題意可得橢圓的長半軸為3a，設曲線在第一象限的交點P，焦半徑為x,y，由橢圓及雙曲線的定義可得x,y的值，再由勾股定理可得a,c的關系，進而求出雙曲線的離心率．【詳解】設雙曲線的實半軸長為a，由雙曲線實軸的兩頂點將橢圓的長軸三等分，可得橢圓的長半軸為3a，半焦距為c，設P為橢圓與雙曲線在第一象限的交點，設，，則，可得，由題意P在以為直徑的圓上，所以，所以可得，即離心率，故選：C15．D【解析】根據題意，由雙曲線與橢圓的定義，結合離心率的概念，分別求出，，即可得出結果.【詳解】因為，不妨令，，，因為點P是橢圓與雙曲線位于第二象限的交點，記橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，兩曲線的焦距為，根據橢圓與雙曲線的定義可得：，，因此，，所以.故選：D.16．D分析：首先設，，為第一象限的焦點，根據題意得到，從而得到，利用余弦定理得到，再根據即可得到.【詳解】設，，為第一象限的焦點，則.在中，，所以，化簡得：，即，因為雙曲線為等軸雙曲線，所以，所以，解得.故選：D17．C分析：設，，利用余弦定理可得，再分別利用橢圓與雙曲線的定義可得，可得，結合，解方程即可得答案.【詳解】設，，在橢圓：中，，，在雙曲線：中，，即，則所以，又因為，所以，解得，故選：C.【點睛】方法點睛：在處理焦點三角形問題時，一般要考慮橢圓和雙曲線的定義，注意余弦定理的應用，得到基本量之間的關系，從而轉化為離心率問題，一般此類問題比較靈活，需要基礎扎實，運算能力強.18．B分析：結合橢圓性質和雙曲線性質，用c表示，結合c的范圍，計算，即可．【詳解】結合題意可知,故對于橢圓而言,解得,此時,對于雙曲線而言,,解得,滿足,解得,故,令,則,其中,可知在單調遞減,可知當趨于1的時候,趨于無窮大,當t=2時，，故，故選B．【點睛】考查了圓錐曲線的性質，考查了利用函數單調性判定函數的范圍，難度偏難．19．C分析：根據題意得到，得到，，計算得到答案.【詳解】不妨設橢圓：，雙曲線：，則，故，故，.的離心率是，即，故，故.故選：.【點睛】本題考查了橢圓和雙曲線的綜合應用，意在考查學生的綜合應用能力.20．C分析：設橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長，焦距，根據橢圓及雙曲線的定義可以用表示出,在中根據余弦定理可得到的值.【詳解】如圖，設橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，則根據橢圓及雙曲線的定義，，設，則在中由余弦定理得，化簡，該式變成.故選：C.21．C分析：設，由橢圓和雙曲線的定義，解方程可得s，t，由余弦定理，可得a，m與c的關系，結合離心率公式，可得e1，e2的關系，計算可得所求值．【詳解】設，P為第一象限的交點，由橢圓和雙曲線的定義可得，解得，中，，可得，即，可得，即，由，可得，故選：C【點睛】本題主要考查了橢圓和雙曲線的定義和性質，主要是離心率，余弦定理，考查了化簡整理的運算能力，屬于中檔題．22．B分析：先設橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長，焦距．因為涉及橢圓及雙曲線離心率的問題，所以需要找，，之間的關系，而根據橢圓及雙曲線的定義可以用，表示出，，并且，在中根據余弦定理可得到：，即可得到，再將分子分母同除，即可得解．【詳解】解：如圖，設橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，則根據橢圓及雙曲線的定義：；，，設，，則：在中由余弦定理得，；化簡得，該式可變成，．；故選：B．23．C分析：依據橢圓和雙曲線定義和題給條件列方程組，得到關于橢圓的離心率和雙曲線的離心率的關系式，即可求得的值.【詳解】設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，令，不妨設則，解之得代入，可得整理得，即，也就是故選：C24．D【解析】設橢圓的長半軸長為,雙曲線的實半軸長為,焦點坐標為,由橢圓與雙曲線的定義和余弦定理,可得,再由求的取值范圍.【詳解】設橢圓的長半軸長為,雙曲線的實半軸長為,焦點坐標為,不妨設為第一象限的點,由橢圓與雙曲線的定義得,①,,②,由余弦定理得,③聯立①②③得,由,,得,,,,則,,,,,,又,,.故選:D.【點睛】本題考查橢圓?雙曲線的離心率的范圍,考查余弦定理和定義法的運用,需要一定的計算能力,屬于中檔題.25．B分析：先將橢圓和雙曲線的、、分別設出,并設,,在中,根據余弦定理可得,根據幾何意義,整理為；再分別根據橢圓與雙曲線的定義,將該式分別整理為,,利用,對等式兩邊同除,分別得到,,建立兩式的聯系,即可得出結果【詳解】設橢圓的長半軸為,雙曲線的實半軸為,半焦距為,設,,,橢圓與雙曲線的離心率分別為，,由余弦定理可得，,即,即①,在橢圓中，由定義得,①化簡可得,即,等式兩邊同除,得,即②在雙曲線中，由定義得,①化簡可得,即,等式兩邊同除,得,即③聯立②③得,即,故選B【點睛】本題考查橢圓與雙曲線共焦點,橢圓與雙曲線的定義,離心率的定義,余弦定理的使用,考查運算能力26．AD分析：通過橢圓以及雙曲線的焦距相等推出關系式，判斷的正誤；利用定義推出離心率的關系，判斷、的正誤；求解離心率的范圍判斷的正誤即可．【詳解】設，的焦距為，由，共焦點知，故正確；△是以為底邊的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故，錯；由，得，又，得，所以，從而，故正確．故選：．27．ACD分析：A由已知共焦點及橢圓、雙曲線參數的關系判斷；B、C由橢圓、雙曲線的定義可得，而，即可判定；D記，應用余弦定理可得，由已知及B、C分析，即可判斷.【詳解】設，的焦距為，由，共焦點知：，故A正確；△是以為底邊的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故B錯；由且，易得，故C正確；在△中，記，根據定義．由余弦定理有．整理得，兩邊同時除以，可得，故．將代入，得．故D正確故選：ACD．28．AC分析：先由的面積為，得橢圓離心率，再在中用橢圓、雙曲線定義分別表示離心率，由余弦定理建立等量關系，最后消元求解雙曲線離心率.【詳解】的面積為，，解得，則，為與的一個公共點，不妨設M在第一象限，在中，設，則由橢圓定義得，，即①，由雙曲線定義得，，即②，又，則由余弦定理得，，由①②得，，，代入上式化簡得，，解得.故，，，，AC正確，BD錯誤.故選：AC.【點睛】橢圓與雙曲線的離心率是重要的幾何性質，在焦點三角形中求解離心率問題，要注意定義的應用