10.2平面向量的數(shù)量積（精練）（提升版）題組一題組一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．(2023·河南·高三開學(xué)考試（文））已知向量，，且，若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．0 B． C． D．2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知向量，，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為7 D．若，則與的夾角為鈍角3．(2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知向量，，，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若向量與的夾角為，則C．若，則向量D．若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是4．(2023·山東日照·二模）（多選）已知向量，，則（

）A． B． C． D．5．(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知,,其中，則以下結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則或C．若，則D．若，則6．(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知向量，，則下列說法正確的是（

）A． B．，的夾角為C．在上的投影向量為 D．在上的投影向量為7．(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知向量，，，，則（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為D．若向量與向量的夾角為銳角，則的取值范圍是題組二題組二平面向量的數(shù)量積1．(2023·昆明模擬）四邊形中，，，，，則（）A．2 B．1 C．4 D．32．(2023·江蘇）在△ABC中，若（

）A． B． C． D．3．(2023·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，為的重心，在邊上，且，則______．4．(2023·浙江·高三開學(xué)考試）在中，，若，則___________.題組三題組三巧建坐標(biāo)1．(2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知是等邊三角形，，分別是和的中點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______．2．(2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，H，D分別是邊BC，AC上一點(diǎn)，，，，則___________.3．(2023·全國·高三專題練習(xí)（文））已知是邊長為的正三角形，為線段上一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的取值范圍為________.4．(2023·山西二模）在菱形中，，點(diǎn)在菱形所在平面內(nèi)，則的最小值為（）A． B．-3 C． D．5．(2023·湖北模擬）（多選）正方形ABCD的邊長為2，E是BC中點(diǎn)，如圖，點(diǎn)P是以AB為直徑的半圓上任意點(diǎn)，，則（）A．最大值為 B．最大值為1C．最大值是2 D．最大值是6（2023高三上·連云港期中）（多選）已知是邊長為2的等邊三角形，是邊上的點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，那么（）A． B．C． D．7．(2023·廣東二模）（多選）如圖，已知扇形OAB的半徑為1，，點(diǎn)C、D分別為線段OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)E為上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的最小值為0 B．的最小值為C．的最大值為1 D．的最小值為08．（2023高三上·五華月考）如圖，矩形中，，，以為直徑的半圓上有一點(diǎn)，若，則的最大值為．題組四題組四最值1．(2023·湖南·長沙市麓山濱江實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開學(xué)考試）如圖放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸正半軸上（含原點(diǎn)）上滑動(dòng)，則的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)滿足，，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足，，則的最大值是（

）A． B． C． D．3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，滿足，且，則最小值為（

）A． B． C． D．5．(2023·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)在以為圓心2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，且，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．27．(2023·菏澤二模）已知半徑為1的圓O上有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，且，則的最小值為．8．(2023·棗莊模擬）已知均為單位向量，且夾角為，若向量滿足，則的最大值為．9．(2023·臨沂模擬）邊長為1的正六邊形ABCDEF，點(diǎn)M滿足，若點(diǎn)P是其內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則的最大值是．10．(2023·河?xùn)|模擬）在中，點(diǎn)M，N是線段上的兩點(diǎn)，，，則，的取值范圍是.11．(2023·天津市模擬）在梯形中，與相交于點(diǎn)Q．若，則；若，N為線段延長線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．12．(2023·通州模擬）在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P在AB邊上，則向量在向量上的投影向量的長度是，的最大值是．13．(2023·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知向量，是單位向量，若，且，則的取值范圍是___________．14．(2023·遼寧·高三期末）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，滿足，，若，則的取值范圍是10.2平面向量的數(shù)量積（精練）（提升版）題組一題組一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．(2023·河南·高三開學(xué)考試（文））已知向量，，且，若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．0 B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，得（舍）或，即，所以?所以，解得．故選：D．2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知向量，，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為7 D．若，則與的夾角為鈍角答案：AC【解析】若，則，解得，故選項(xiàng)A正確；若，則，解得或，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由題得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，，與的夾角不為鈍角，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．3．(2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知向量，，，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若向量與的夾角為，則C．若，則向量D．若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是答案：AB【解析】對(duì)于A，由題可得，所以由，得，解得，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，故，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋源嬖?，使得，則由，得或，所以或，所以C不正確；對(duì)于D，若與的夾角為銳角，則，且與不共線，所以，即，解得，又，，與不共線，所以，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，所以D不正確．故選：AB4．(2023·山東日照·二模）（多選）已知向量，，則（

）A． B． C． D．答案：BD【解析】由，，，對(duì)于A，若，由，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，符合題意，故B正確；對(duì)于C，若，由，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，故D正確.故選：BD.5．(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知,,其中，則以下結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則或C．若，則D．若，則答案：BCD【解析】對(duì)于A，若，則，則，因?yàn)?，所以，則或或，故A不正確；對(duì)于B，若，則，則，因?yàn)?，所以，所以或，所以或，故B正確；對(duì)于C，，則，故C正確；對(duì)于D，若，則，則，則，即，所以，故D正確.故選：BCD.6．(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知向量，，則下列說法正確的是（

）A． B．，的夾角為C．在上的投影向量為 D．在上的投影向量為答案：AC【解析】由，，可知，，對(duì)于A選項(xiàng)，，故，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)為，的夾角，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，在上的投影向量為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.7．(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知向量，，，，則（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為D．若向量與向量的夾角為銳角，則的取值范圍是答案：ABC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，，，所以，解得，所以A正確.對(duì)于B，由，得，則解得，故，所以B正確.對(duì)于C，因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，為，所以C正確.對(duì)于D，因?yàn)?，，向量與向量的夾角為銳角，所以，解得；當(dāng)向量與向量共線時(shí)，，解得，所以的取值范圍是，所以D不正確.故選：ABC.題組二題組二平面向量的數(shù)量積1．(2023·昆明模擬）四邊形中，，，，，則（）A．2 B．1 C．4 D．3答案：D【解析】，故，所以.

故答案為：D.2．(2023·江蘇）在△ABC中，若（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，即，又，故，所?故選：B.3．(2023·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，為的重心，在邊上，且，則______．答案：【解析】因?yàn)闉榈闹匦模裕驗(yàn)椋?，則，因?yàn)?，所以，即，所以，在中，．方法一：因?yàn)?，，所以，．方法二：以坐?biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由方法一可知，，所以．4．(2023·浙江·高三開學(xué)考試）在中，，若，則___________.答案：【解析】,所以.故答案為：題組三題組三巧建坐標(biāo)1．(2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知是等邊三角形，，分別是和的中點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______．答案：4【解析】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)的邊長為4，則，，，，，，，設(shè)，則，，由得，所以，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，也就是以為直徑的圓，易知該圓與的三邊有4個(gè)公共點(diǎn)．故答案為：2．(2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，H，D分別是邊BC，AC上一點(diǎn)，，，，則___________.答案：12【解析】如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，HD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，所以，，所以.故答案為：3．(2023·全國·高三專題練習(xí)（文））已知是邊長為的正三角形，為線段上一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的取值范圍為________.答案：【解析】取線段的中點(diǎn)，連接，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，、，，，故.故答案為：?4．(2023·山西二模）在菱形中，，點(diǎn)在菱形所在平面內(nèi)，則的最小值為（）A． B．-3 C． D．答案：C【解析】由菱形中，，可得且，設(shè)交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，取中點(diǎn)，則，，設(shè)，則，所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值。故答案為：C．5．(2023·湖北模擬）（多選）正方形ABCD的邊長為2，E是BC中點(diǎn)，如圖，點(diǎn)P是以AB為直徑的半圓上任意點(diǎn)，，則（）A．最大值為 B．最大值為1C．最大值是2 D．最大值是答案：B,C,D【解析】以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)，則，，，由，得且，，A不符合題意；時(shí)，B符合題意；，C符合題意；，D符合題意．故答案為：BCD.6（2023高三上·連云港期中）（多選）已知是邊長為2的等邊三角形，是邊上的點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，那么（）A． B．C． D．答案：A,C【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，所以易知，所以為中點(diǎn)，A．因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以成立，故正確；B．因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，故錯(cuò)誤；C．因?yàn)椋?，所以，故正確；D．因?yàn)椋裕裕叔e(cuò)誤，故答案為：AC.7．(2023·廣東二模）（多選）如圖，已知扇形OAB的半徑為1，，點(diǎn)C、D分別為線段OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)E為上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的最小值為0 B．的最小值為C．的最大值為1 D．的最小值為0答案：BCD【解析】以為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，所以，，設(shè)，則，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，的最小值?1，A不符合題意；，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，，的最小值為，B符合題意；設(shè)，又，所以，可得，，，所以，其中，又，所以，所以，，，，所以，的最小值為0，CD符合題意.故答案為：BCD.8．（2023高三上·五華月考）如圖，矩形中，，，以為直徑的半圓上有一點(diǎn)，若，則的最大值為．答案：【解析】建立如圖平面直角坐標(biāo)系，

由題意知，點(diǎn)P的軌跡是以(2，0)為圓心，以2為半徑的圓，其方程為(x-2)2+y2=4(0≤y≤2)，

則其參數(shù)方程為，

其中A(0，-3)，B(4，-3)，D(0，0)，P(x，y)

則

則由得，即，

則，其中

當(dāng)時(shí)，λ+μ取得最大值為

故答案為：

題組四最值題組四最值1．(2023·湖南·長沙市麓山濱江實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開學(xué)考試）如圖放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸正半軸上（含原點(diǎn)）上滑動(dòng)，則的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．答案：C【解析】如圖令，由于，故，，如圖，，故，，故同理可求得，即，所以所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為2，故選：C．2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)滿足，，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足，，則的最大值是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意知，即點(diǎn)到三點(diǎn)的距離相等，可得為的外心，又由，可得，所以，同理可得，所以為的垂心，所以的外心與垂心重合，所以為正三角形，且為的中心，因?yàn)?，解得，所以為邊長為的正三角形，如圖所示，以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，可得設(shè)，其中，又因?yàn)?，即為的中點(diǎn)，可得，所以.即的最大值為.故選：B.3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】單位向量滿足，即，作，以射線OA，OB分別作為x、y軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，，設(shè)，則，由得：，令，即，，其中銳角滿足，因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是.故選：D4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，滿足，且，則最小值為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)椋?，又，所以，如圖所示：不妨設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，即，表示點(diǎn)C在以為圓心，以2為半徑的圓上，所以最小值為，故選：D5．(2023·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意不妨設(shè)，設(shè)，則．∵，∴，即表示圓心為，半徑為1的圓，設(shè)圓心為P，∴．∵表示圓P上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，，∴的取值范圍為，故選：C．6．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)在以為圓心2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，且，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．2答案：B【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，即，設(shè)(其中)，則，所以，因?yàn)?，則，可得，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取的最小值，最小值為.故選：B.7．(2023·菏澤二模）已知半徑為1的圓O上有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，且，則的最小值為．答案：【解析】因?yàn)?，又，所以，所以，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系：則，，設(shè)，則，，，所以，設(shè)，即，依題意直線與圓有交點(diǎn)，所以，得，所以的最小值為.故答案為：8．(2023·棗莊模擬）已知均為單位向量，且夾角為，若向量滿足，則的最大值為．答案：【解析】，因?yàn)榫鶠閱挝幌蛄?，且夾角為，所以有，，即，而，所以有，因此的最大值為，故答案為：9．(2023·臨沂模擬）邊長為1的正六邊形ABCDEF，點(diǎn)M滿足，若點(diǎn)P是其內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則的最大值是．答案：1【解析】由題，作圖如下因?yàn)?，所以為線段中點(diǎn)，由邊長為1的正六邊形ABCDEF，知，因?yàn)辄c(diǎn)P是正六邊形ABCDEF內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），顯然，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，在方向上的投影最大，且兩者同向共線，又因?yàn)?，所以故答案為?.10．(2023·河?xùn)|模擬）在中，點(diǎn)M，N是線段上的兩點(diǎn)，，，則，的取值范圍是.答案：；【解析】由題意，，