北師大版（2019）必修第一冊2.1生活中的變量關系學習目標LearningObjectives探索新知Explorenewknowledge題型突破Breakthroughinquestiontypes當堂檢測Classroomtest學習目錄ParentConferenceDirectory壹叁貳肆學習目標PART01學習目標01了解生活中兩個變量的依賴關系01能辨析依賴關系和函數關系的區別和聯系02探索新知PART02探索新知02情境導學

通過播放視頻，你發現了哪些量不可以改變？哪些量可以改變？（1）瓶口的大小不可以改變，水的數量也不能改變.（2）但瓶中水的高度可以改變，石塊的數量可以改變，投的石塊越多，水面越高.探索新知02例1下圖是某高速公路加油站的圖片，加油站在地下常用圓柱體儲油罐儲存汽油等燃料。儲油罐的長度d、截面半徑r是常量，油面高度h，油面寬度w、儲油量V是變量。儲油量V與油面高度h存在著依賴關系，也與油面寬度w存在著依賴關系.思考V，h，w是否具有某種關系？對于油面高度h的每一個取值，都有唯一的儲油量V和它對應，但是，取一個油面寬度w的值，卻對應著兩個儲油量V.探索新知02例2自2008年京津城際列車開通運營以來，高速鐵路在中國大陸迅猛發展。截至2017年年底，中國高鐵運營里程突破25000km。圖2-2表示的是中國高鐵年運營里程的變化。

由圖2-2，不難看出(1)隨著時間的變化，高鐵運營里程在變化，它與年份存在著依賴關系.(2)從2008年到2017年，高鐵年運營里程是不斷增加的，與前一年相比，2014年增長得最多.探索新知02函數關系(傳統定義)：如果在一個變化過程中，有兩個變量x和y，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一確定的值和它對應，那么y就是x的函數，其中x是自變量，y是因變量.這時變量x和y就建立起了函數關系.在現實生活中，凡是要確定兩個變量具有函數關系，就要判斷“對于變量x的每一個值，變量y都有唯一確定的值和它對應”知識點

變量間的函數關系依照這個概念，在以上兩個例題中，儲油量V是油面高度h的函數，高鐵運營里程是年份時間的函數，但儲油量V不是油面寬度w的函數.探索新知02依賴關系：一個變量的變化引起與之相關的另一個變量的變化，這時稱這兩個變量之間具有依賴關系.知識剖析：(1)依賴關系不一定是函數關系，函數關系是特殊的依賴關系.判斷兩個有依賴關系的變量之間是否是函數關系的方法：首先，確定因變量和自變量；其次，判斷對于自變量的每一個確定值，因變量是否有唯一確定的值與之對應，若滿足則是函數關系，否則不是函數關系.知識點

變量間的函數關系(2)研究函數關系時，通常要指明自變量和因變量，因為二者交換位置后可能會變成另一個函數關系，也可能不存在函數關系.探索新知02例3彈簧的伸長量x與彈力y滿足函數關系y＝kx，其中k為勁度系數.對于變量“伸長量”的每一個值，變量“彈力”都有唯一確定的值和它對應，彈力y是伸長量x的函數.

探索新知02例4下表記錄了幾個不同氣壓下水的沸點：.對于變量“氣壓”的每一個值，變量“沸點”都有唯一確定的值和它對應，沸點是氣壓的函數.

氣壓/(105Pa)0.51.02.05.010沸點/0C82100121152180探索新知02例5綠化可以改變小環境氣候。某市有甲、乙兩個氣溫觀測點，觀測點甲的綠化優于觀測點乙，圖2-3是這兩個觀測點某一天的氣溫曲線圖。為了方便比較，將兩條曲線畫在了同一直角坐標系中。圖中反映的都是對于“時間”的每一個值，都有唯一確定的“氣溫”值和它對應，所以每一條曲線都表示了一個函數關系.探索新知02例5綠化可以改變小環境氣候。某市有甲、乙兩個氣溫觀測點，觀測點甲的綠化優于觀測點乙，圖2-3是這兩個觀測點某一天的氣溫曲線圖。為了方便比較，將兩條曲線畫在了同一直角坐標系中。不能，因為對于任何一個氣溫值，時間并不是唯一確定的值與它相對應，例如氣溫為0℃時，對應了8點和21點兩個時間。因此不能將時間看成氣溫的函數思考：能將時間看成氣溫的函數嗎？探索新知02對于變量“用電量(x)”的每一個值，都有唯一確定的變量“應繳電費(y)”值和它對應，所以應繳電費是用電量的函數.如圖例6某地電公司為勵市民節約用電,采取階梯電價，即按月用電量分段計費辦法居民每月應繳電費y(單位：元)與用電量x(單位kW·h)的關系是

探索新知02形如上述的函數，一般叫做分段函數.在生活中，有很多可用分段函數描述的實際問題，如出租車的計費、個人所得稅的稅率等.

生活中存在著許許多多的函數關系.在很多時候，正是函數概念中的關鍵詞“每一個”“唯一”“對應”恰當地反映了事物特征.探索新知02例如1.一定量的水銀，溫度與其體積間存在函數關系，溫度越高，水銀的體積越大.因此，可以用這個體積表示溫度，這就是制造溫度計的依據.2.在銀行，給定本金和利率后，活期存款的利息依存款的天數而定，利息是天數的函數，天數越多，利息就越多.知識點

變量間的函數關系3.在田徑比賽時，鉛球運動員的擲遠距離和出手速度、出手角度、出手高度均有關系.當出手速度和出手高度確定后，調整好出手角度，會使鉛球擲得更遠一些.這時，運動員的擲遠距離是出手角度的函數.題型突破PART03題型突破03題型1依賴關系，函數關系的判斷例1.下列過程中，各變量之間是否存在依賴關系？其中哪些是函數關系？(1)將保溫瓶中的熱水倒入茶杯中緩慢冷卻，并將一溫度計放入茶杯中，每隔一段時間，觀察溫度計示數的變化，冷卻時間與溫度計示數的關系；(2)商品的銷售額與廣告費之間的關系；(3)家庭的食品支出與電視機價格之間的關系；(4)高速公路上行駛的汽車所走的路程與時間的關系.【方法指導】兩個變量中的一個變量發生變化時，如果另一個變量也發生變化，那么它們具有依賴關系；如果另一個變量發生變化且取值唯一，那么它們具有函數關系.【解析】(1)冷卻時間與溫度計示數具有依賴關系，根據函數的定義知，二者之間存在函數關系，且冷卻時間是自變量，溫度計示數是因變量.題型突破03題型1依賴關系，函數關系的判斷例1.下列過程中，各變量之間是否存在依賴關系？其中哪些是函數關系？(2)商品的銷售額與廣告費之間的關系；(3)家庭的食品支出與電視機價格之間的關系；(4)高速公路上行駛的汽車所走的路程與時間的關系.【解析】(2)商品的銷售額與廣告費這兩個變量在現實生活中存在依賴關系，但商品的銷售額還受其他因素的影響，比如產品的質量、價格、售后服務等，所以商品的銷售額與廣告費之間不是函數關系.(3)家庭的食品支出與電視機價格之間沒有依賴關系，更不具有函數關系.(4)高速公路上行駛的汽車所走的路程與時間這兩個變量存在依賴關系，且對于每一個時間的值，路程是唯一確定的，因此它們之間存在函數關系，且時間是自變量，路程是因變量.題型突破03題型1依賴關系，函數關系的判斷【解析】綜上可知，(1)(4)中的變量間具有依賴關系，且是函數關系；(2)中變量間存在依賴關系，但不是函數關系；(3)中兩個變量不存在依賴關系，也不具有函數關系.例1.下列過程中，各變量之間是否存在依賴關系？其中哪些是函數關系？(1)將保溫瓶中的熱水倒入茶杯中緩慢冷卻，并將一溫度計放入茶杯中，每隔一段時間，觀察溫度計示數的變化，冷卻時間與溫度計示數的關系；(2)商品的銷售額與廣告費之間的關系；(3)家庭的食品支出與電視機價格之間的關系；(4)高速公路上行駛的汽車所走的路程與時間的關系.題型突破03解題通法(1)判斷兩個變量之間是否具有依賴關系，只需分析當其中一個變量變化時，另一個變量是否也發生變化即可，如果發生變化，那么它們具有依賴關系，如果不發生變化，那么它們不具有依賴關系.(2)判斷兩個具有依賴關系的變量是否具有函數關系時，可分以下兩個步驟：①確定因變量和自變量；②判斷對于自變量的每一個確定值，因變量是否有唯一確定的值與之對應.若滿足，則是函數關系，否則不是函數關系.題型1依賴關系，函數關系的判斷題型突破03題型2分段函數

全月應納稅所得額稅率不超過3000元的部分3%超過3000元至12000元的部分10%超過12000元至25000元的部分20%當堂檢測PART04當堂檢測041.下列變化過程中，變量之間存在怎樣的依賴關系？其中哪些是函數關系？（1）地球繞太陽公轉的過程中，二者間的距離與時間的關系；（2）在空中做斜拋運動的鉛球，鉛球距離地面的高度與時間的關系；（3）某超市一天的銷售額與客流量之間的關系.解析：（1）地球繞太陽公轉的過程中距離與時間存在周期性變化的依賴關系，在某段時間內兩者距離隨時間增大而減少，在另一段時間內隨時間增大而增大。對于任何一個確定的時間，有唯一確定的距離與之對應，因此“距離”是“時間”的函數。當堂檢測041.下列變化過程中，變量之間存在怎樣的依賴關系？其中哪些是函數關系？（1）地球繞太陽公轉的過程中，二者間的距離與時間的關系；（2）在空中做斜拋運動的鉛球，鉛球距離地面的高度與時間的關系；（3）某超市一天的銷售額與客流量之間的關系.解析：（2）在空中做斜拋運動的鉛球，鉛球距離地面的高度與時間存在依賴關系，對于對于任何一個確定的時間，有唯一確定的高度與之對應，因此“高度”是“時間”的函數。當堂檢測041.下列變化過程中，變量之間存在怎樣的依賴關系？其中哪些是函數關系？（1）地球繞太陽公轉的過程中，二者間的距離與時間的關系；（2）在空中做斜拋運動的鉛球，鉛球距離地面的高度與時間的關系；（3）某超市一天的銷售額與客流量之間的關系.解析：（3）某超市一天的銷售額與客流量之間存在對于變量“客流量”的每一個值，變量“銷售額”都有唯一確定的值和它對應，因此“銷售額”是“客流量”的函數。當堂檢測042.坐電梯上升時，電梯距離地面的高度與時間之間存在怎樣的依賴關系？解析：坐電梯上升時，電梯距離地面的高度與時間之間存在對于變量“時間”的每一個值，變量“距地面高度”都有唯一確定的值和它對應，因此“高度”是“時間”的函數。當堂檢測043.在一定量的水中加入蔗糖，糖水的質量分數與所加蔗糖的質量之間存在怎樣的依賴關系？解析：在一定量的水中加入蔗糖，糖水的質量分數與所加蔗糖的質量存在對于變量“蔗糖質量”的每一個值，變量“糖水的質量分數”都有唯一確定的值和它對應，因此“糖水質量分數”是“蔗糖質量”的函數。當堂檢測044.找出一個生活實例，說明兩個變量之間存在