2025屆舟山市重點中學高一下數學期末學業水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知直線l的方程為2x+3y＝5，點P（a，b）在l上位于第一象限內的點，則的最小值為（）A． B． C． D．2．已知直線與互相垂直，垂足坐標為，且，則的最小值為（）A．1 B．4 C．8 D．93．將函數的圖象上各點沿軸向右平移個單位長度，所得函數圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．4．如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于（）A． B． C． D．5．執行如下圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的的值為（）A． B． C． D．6．在中，角所對的邊分別為，已知，則最大角的余弦值是()A． B． C． D．7．設，，，若則，的值是（）A．， B．，C．， D．，8．在中，分別為角的對邊)，則的形狀是()A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形9．已知是等差數列的前項和，公差，，若成等比數列，則的最小值為()A． B．2 C． D．10．從1，2，3，…，9這個9個數中任取5個不同的數，則這5個數的中位數是5的概率等于（）A．57 B．59 C．2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．對于正項數列，定義為的“光陰”值，現知某數列的“光陰”值為，則數列的通項公式為_____．12．函數的最小正周期是________．13．正項等比數列中，存在兩項使得，且，則的最小值為______.14．如圖，在正方體中，有以下結論：①平面；②平面；③；④異面直線與所成的角為.則其中正確結論的序號是____（寫出所有正確結論的序號）.15．福利彩票“雙色球”中紅色球由編號為01，02，…，33的33個個體組成，某彩民利用下面的隨機數表（下表是隨機數表的第一行和第二行）選取6個紅色球，選取方法是從隨機數表中第1行的第6列和第7列數字開始，由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第3個紅色球的編號為______.4954435482173793232887352056438426349164572455068877047447672176335025839212067616．下圖中的幾何體是由兩個有共同底面的圓錐組成．已知兩個圓錐的頂點分別為P、Q，高分別為2、1，底面半徑為1．A為底面圓周上的定點，B為底面圓周上的動點（不與A重合）．下列四個結論：①三棱錐體積的最大值為；②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為；③當直線BQ與AP所成角最小時，其正弦值為；④直線BQ與AP所成角的最大值為；其中正確的結論有___________.（寫出所有正確結論的編號）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量（），向量，，且.（Ⅰ）求向量；（Ⅱ）若，，求.18．數列中，，.前項和滿足.（1）求（用表示）；（2）求證：數列是等比數列；（3）若，現按如下方法構造項數為的有窮數列，當時，；當時，.記數列的前項和，試問：是否能取整數？若能，請求出的取值集合：若不能，請說明理由.19．已知函數的最小正周期為.將函數的圖象上各點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標變為原來的倍，得到函數的圖象.（1）求的值及函數的解析式；（2）求的單調遞增區間及對稱中心20．已知數列的首項.（1）證明:數列是等比數列；（2）數列的前項和.21．設遞增等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a3＝1，a4是a3和a7的等比中項，（1）求數列{an}的通項公式；（2）求數列{an}的前n項和Sn．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由題意可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），將所求式子化為b的關系式，由基本不等式可得所求最小值．【詳解】直線l的方程為2x+3y＝5，點P（a，b）在l上位于第一象限內的點，可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），則[（11﹣6b）+（9+6b）]（）（7），當且僅當時，即b，a，上式取得最小值，故選：C．【點評】本題考查基本不等式的運用：求最值，考查變形能力和化簡運算能力，屬于中檔題．2、B【解析】

代入垂足坐標，可得，然后根據基本不等式，可得結果.【詳解】由兩條直線的交點坐標為所以代入可得，即又，所以即當且僅當，即時，取等號故選：B【點睛】本題主要考查基本不等式，屬基礎題.3、A【解析】

先求得圖象變換后的解析式，再根據正弦函數對稱中心，求出正確選項.【詳解】向右平移的單位長度，得到，由解得，當時，對稱中心為，故選A.【點睛】本小題主要考查三角函數圖象變換，考查三角函數對稱中心的求法，屬于基礎題.4、D【解析】

在三角形中，利用正弦定理求得，然后在三角形中求得.【詳解】在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.故選：D【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查解直角三角形，屬于基礎題.5、D【解析】由題意，當輸入，則；；；，終止循環，則輸出，所以，故選D.6、B【解析】

由邊之間的比例關系，設出三邊長，利用余弦定理可求.【詳解】因為，所以c邊所對角最大，設，由余弦定理得，故選B.【點睛】本題考查余弦定理，計算求解能力，屬于基本題.7、B【解析】

由向量相等的充要條件可得：，列出方程組，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，向量，，，又因為，所以，所以，解得，故選B．【點睛】本題主要考查了平面向量的數乘運算及向量相等的充要條件，其中解答中熟記向量的共線條件，列出方程組求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．8、A【解析】

根據正弦定理得到，化簡得到，得到，得到答案.【詳解】，則，即，即，，故，.故選：.【點睛】本題考查了正弦定理判斷三角形形狀，意在考查學生的計算能力和轉化能力.9、A【解析】

由成等比數列可得數列的公差，再利用等差數列的前項和公式及通項公式可得為關于的式子，再利用對勾函數求最小值.【詳解】∵成等比數列，∴，解得：，∴，令，令，其中的整數，∵函數在遞減，在遞增，∴當時，；當時，，∴.故選：A.【點睛】本題考查等差數列與等比數列的基本量運算、函數的最值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意為整數，如果利用基本不等式求解，等號是取不到的.10、C【解析】試題分析：設事件為“從1，2，3，…，9這9個數中5個數的中位數是5”，則基本事件總數為種，事件所包含的基本事件的總數為：，所以由古典概型的計算公式知，，故應選.考點：1.古典概型；二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據的定義把帶入即可。【詳解】∵∴∵∴①∴②①-②得∴故答案為：【點睛】本題主要考查了新定義題，解新定義題首先需要讀懂新定義，其次再根據題目的條件帶入新定義即可，屬于中等題。12、【解析】

根據周期公式即可求解.【詳解】函數的最小正周期故答案為：【點睛】本題主要考查了正弦型函數的周期，屬于基礎題.13、【解析】

先由已知求出公比，然后由求出滿足的關系，最后求出的所有可能值得最小值．【詳解】設數列公比為，由得，∴，解得（舍去），由得，，∵，所以只能取，依次代入，分別為2，，2，，，最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查等比數列的性質，考查求最小值問題．解題關鍵是由等比數列性質求出滿足的關系．接著求最小值，容易想到用基本不等式求解，但本題實質上由于，因此對應的只有5個，可以直接代入求值，然后比較大小即可．14、①③【解析】

①：利用線面平行的判定定理可以直接判斷是正確的結論；②：舉反例可以判斷出該結論是錯誤的；③：可以利用線面垂直的判定定理，得到線面垂直，再利用線面垂直的性質定理可以判斷是正確的結論；④：可以通過，可以判斷出異面直線與所成的角為，即本結論是錯誤的，最后選出正確的結論序號.【詳解】①：平面，平面平面，故本結論是正確的；②：在正方形中，，顯然不垂直，而，所以不互相垂直，要是平面，則必有互相垂直，顯然是不可能的，故本結論是錯誤的；③：平面，平面，，在正方形中，，平面，，所以平面，而平面，故，因此本結論是正確的；④：因為，所以異面直線與所成的角為，在正方形中，，故本結論是錯誤的，因此正確結論的序號是①③.【點睛】本題考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、性質定理，考查了異面直線所成的角、線面垂直的性質.15、05【解析】

根據給定的隨機數表的讀取規則，從第一行第6、7列開始，兩個數字一組，從左向右讀取，重復的或超出編號范圍的跳過，即可.【詳解】根據隨機數表，排除超過33及重復的編號，第一個編號為21，第二個編號為32，第三個編號05，故選出來的第3個紅色球的編號為05.【點睛】本題主要考查了簡單隨機抽樣中的隨機數表法，屬于容易題.16、①③【解析】

由①可知只需求點A到面的最大值對于②，求直線PB與平面PAQ所成角的最大值，可轉化為到軸截面距離的最大值問題進行求解對于③④，可采用建系法進行分析【詳解】選項①如圖所示，當時，四棱錐體積最大，選項②中，線PB與平面PAQ所成角最大值的正弦值為，所以選項③和④，如圖所示：以垂直于方向為x軸，方向為y軸，方向為z軸，其中設,.,設直線BQ與AP所成角為，，當時，取到最大值，，此時，由于，，，所以取不到答案選①、③【點睛】幾何體的旋轉問題需要結合動態圖形和立體幾何基本知識進行求解，需找臨界點是正確解題的關鍵，遇到難以把握的最值問題，可采用建系法進行求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）∵,，∵，∴，即，①又，②由①②聯立方程解得，，．∴；（Ⅱ）∵，即，，∴，，又∵，，∴.18、（1）（2）證明見詳解.（3）能取整數,此時的取值集合為.【解析】

（1）利用遞推關系式,令,通過,求出即可.（2）遞推關系式轉化為：,化簡推出數列是等比數列.（3）由,求出,求出,得到通項公式,然后求解的分母與分子,討論要使取整數,需為整數,推出的取值集合為時,取整數【詳解】解：（1）令,則,將,代入,有.解得：.（2）由得,化簡得,又,是等比數列.（3）由,,又是等比數列,,,①當時,依次為,.②當時,,,,要使取整數,需為整數,令,,,要么都為整數,要么都不是整數,又所以當且僅當為奇數時,為整數,即的取值集合為時,取整數.【點睛】本題主要考查利用遞推公式結合,為判斷等比數列,考查數列前項和的比的問題的轉化與化歸思想的綜合性解題能力.19、（1），；（2）單調遞增區間為，，對稱中心為.【解析】

（1）整理可得：，利用其最小正周期為即可求得：，即可求得：，再利用函數圖象平移規律可得：，問題得解.（2）令，，解不等式即可求得的單調遞增區間；令，，解方程即可求得的對稱中心的橫坐標，問題得解.【詳解】解：（1），由,得.所以.于是圖象對應的解析式為.（2）由,得，所以函數的單調遞增區間為，.由，解得.所以的對稱中心為.【點睛】本題主要考查了二倍角公式、兩角和的正弦公式應用及三角函數性質，考查方程思想及轉化能力、計算能力，屬于中檔題。20、（1）證明見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）對兩邊取倒數得，化簡得，所以數列是等比數列；（2）由（1）是等比數列.，求得