Page19留意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】【分析】求出集合A，依據集合的并集運算即可求得答案.【詳解】由題意得或，而，故或，故選：C2.復數的共軛復數的虛部是（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】依據復數的除法運算求得的結果，即可得其共軛復數，即可得答案.【詳解】由題意得，故復數的共軛復數為，其虛部為1，故選：B3.甲、乙兩套設備生產的同類型產品共3200件，現采納分層抽樣的方法從中抽取一個樣本容量為80的樣本進行質量檢測．若樣本中有45件產品由甲設備生產，則乙設備生產的產品總數為（）A.1100件 B.1200件 C.1400件 D.1600件【答案】C【解析】【分析】由題意求出樣本中乙設備生產的產品的占比，即可求得乙設備生產的產品總數.【詳解】由題意可知樣本中有45件產品由甲設備生產，則有35件產品由乙設備生產，故乙設備生產的產品所占比例為，則乙設備生產的產品總數為（件），故選：C4.已知向量，，且，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據向量的線性運算可得，可求得，即可利用投影向量得出答案.【詳解】∵，，且，∵，∴，，∴在方向上的投影向量為，故選：D．5.已知函數是偶函數，在是單調減函數，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先依據在是單調減函數，轉化出的一個單調區間，再結合偶函數關于軸對稱得上的單調性，結合函數圖像即可求得答案【詳解】在是單調減函數，令，則，即在上是減函數在上是減函數函數是偶函數，在上是增函數,則故選【點睛】本題是函數奇偶性和單調性的綜合應用，先求出函數的單調區間，然后結合奇偶性進行判定大小，較為基礎．6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數函數以及冪函數的單調性比較大小，依據對數函數的單調性推斷c的范圍，即可得答案.【詳解】由于在R上單調遞減，故，而在R上單調遞增，故，即；由于在上單調遞減，故，故，故選：A7.被譽為“中國現代數學之父”的聞名數學家華羅庚先生提倡的“0.618優選法”在生產和科研實踐中得到了特別廣泛的應用，0.618就是黃金分割比的近視值.有一個內角為的等腰三角形中，較短邊與較長邊之比為黃金比.則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據題中條件，探討等腰三角形頂角為與底角為兩種狀況，利用正弦定理，以及三角恒等變換對應的公式，即可得出結果.【詳解】若該等腰三角形的頂角為，則底角為，因此，由正弦定理可得：較短邊與較長邊之比為，即，所以，因此；若該等腰三角形的底角為，則頂角為，因此，由正弦定理可得：較短邊與較長邊之比為，即，則，所以，因此.綜上，.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：求解本題的關鍵在于正弦定理，結合題中條件，先表示出較短邊與較長邊之比，進而可利用三角恒等變換化簡求解.8.如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D在線段BC上，且，E為線段AD上一點，若與的面積相等，則的值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可得為的中點，建立坐標系利用坐標法即得.【詳解】∵D在線段BC上，且，∴，又為線段AD上一點，若與的面積相等，∴，為的中點，如圖建立平面直角坐標系，則，∴，∴.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數，則下列說法正確的是（）A.為奇函數 B.在區間上單調遞增C.圖象的一個對稱中心為 D.的最小正周期為π【答案】C【解析】【分析】依據正切函數的定義域、對稱中心、周期、單調性逐項推斷即可得解.【詳解】因為，所以，解得，即函數的定義域不關于原點對稱，所以不是奇函數，故A錯誤；當時，，此時無意義，故在區間上單調遞增不正確，故B錯誤；當時，，正切函數無意義，故為函數的一個對稱中心，故C正確；因為，故是函數的一個周期，故D錯誤.故選：C10.已知正實數，滿意，則下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用條件將化，綻開后結合基本不等式可推斷A；干脆利用基本不等式推斷B；舉反例推斷C；將化為，l由基本不等式即可推斷D.【詳解】由題意正實數，滿意，故，當且僅當，結合，即時取等號，A錯誤；由可得，即，當且僅當，結合，即時取等號，B正確；取滿意，但，C錯誤；由于，，故，當且僅當，結合，即時取等號，D正確，故選：BD11.在一次黨建活動中，甲?乙?丙?丁四個愛好小組實行黨史學問競賽，每個小組各派10名同學參賽，記錄每名同學失分（均為整數）狀況，若該組每名同學失分都不超過7分，則該組為“優秀小組”，已知甲?乙?丙?丁四個小組成員失分數據信息如下，則肯定為“優秀小組”是（）A.甲組中位數為2，極差為5B.乙組平均數為2，眾數為2C.丙組平均數為1，方差大于0D.丁組平均數為2，方差為3【答案】AD【解析】【分析】結合中位數，平均數，眾數，方差，極差的定義，分析推斷每個選項.【詳解】對，因為中位數為2，極差為5，故最大值小于等于7，故正確；對，如失分數據分別為，則滿意平均數為2，眾數為2，但不滿意每名同學失分都不超過7分，故B錯誤；對，如失分數據分別為，則滿意平均數為1，方差大于0，但不滿意每名同學失分都不超過7分，故C錯誤；對，利用反證法，假設有一同學失分超過7分，則方差大于，與題設沖突，故每名同學失分都不超過7分．故D正確．故選：AD.12.已知，，若對隨意，存在，使，則實數的取值可以是（）A. B.2 C.3 D.4【答案】ABC【解析】【分析】結合函數單調性求得的最小值，由題意可推出，故得到相應不等式，求出a的范圍，即可求得答案.【詳解】由題意時，，即；而，故在上單調遞減，在上單調遞增，所以，由于對隨意，存在，使，過，即，結合選項，故實數的取值可以是，故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.平面的法向量為，，那么直線與平面的關系是_____．【答案】或【解析】【分析】計算平面的法向量和的數量積，即可推斷的關系，進而推斷直線與平面的關系.【詳解】由題意知，，則，故，則或，故答案為：或14.一位射擊運動員在一次射擊測試中射靶7次，命中的環數依次如下：7，8，10，9，8，8，6，則該組數據的上四分位數是____________．【答案】9【解析】【分析】將數據從小到大排列，依據百分位數的概念，即可求得答案.【詳解】將7，8，10，9，8，8，6從小到大排列為：6，7，8，8，8，9，10，由于，故該組數據的上四分位數為第6個數9，故答案為：915.已知函數是上的增函數，則實數的取值范圍是_____________.【答案】【解析】【分析】依據分段函數定義，利用一次函數和指數函數單調性，限定端點處的取值列出不等式組即可解出的取值范圍.【詳解】函數是上的增函數，所以，解得.故答案：16.現有一個底面邊長為，側棱長為的正三棱錐框架，其各頂點都在球的球面上，將一個圓氣球放在此框架內，再向氣球內充氣，當圓氣球恰好與此正三棱錐各棱都相切時停止充氣，此時球的表面積為____________．【答案】【解析】【分析】求出正棱錐的高，由題意知球為正三棱錐的棱切球，確定球心位置，列方程求出球的半徑，即可求得答案.【詳解】設此正三棱錐框架為，球半徑為R，球的半徑為r，的外接圓圓心為O，連接，延長AO交BC于N，因為圓氣球恰好與正三棱錐各棱都相切，設球與棱相切于，則，由題意知底面，底面，故，又，故，在中，，在中，由于,則，則，由，可得，解得，（舍），故球的表面積為，故答案為：【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是求出球的半徑，解答時要發揮空間想象，確定球的球心大致位置，進而依據等量關系列出方程，求得半徑，即可求解答案.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖所示，四棱柱中，底面為平行四邊形，以頂點為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為．（1）求的長；（2）求與夾角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）記，依據空間向量的運算表示出，依據向量模的計算即可得答案；（2）求出空間向量的數量積和它們的模長，依據空間向量的夾角的計算，即可求得答案.【小問1詳解】記，則，所以，由于，故，故，即的長為；【小問2詳解】由于，所以，，故，由于與夾角的范圍為，故與夾角的余弦值為.18.我國上是世界嚴峻缺水的國家，城市缺水問題較為突出，某市政府為了激勵居民節約用水，安排在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理的居民月用水量標準（噸），用水量不超過的部分按平價收費，超過的部分按議價收費，為了了解全市民月用水量的分布狀況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月用水量（單位：噸），將數據依據分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求直方圖中的值；（2）已知該市有80萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，并說明理由；（3）若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標準（噸），估計的值，并說明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）人；(Ⅲ)估計月用水量標準為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標準.【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用頻率分布直方圖中的矩形面積的和為1求的值；（Ⅱ）首先計算月均用水量大于等于3噸的頻率，80萬乘以頻率就是所求的人數；（Ⅲ）首先大體估計的區間，再計算區間的頻率和為0.85時，求解的值.試題解析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，可得，解得.（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，100位居民每人月用水量不低于3噸的人數為，由以上樣本頻率分布，可以估計全市80萬居民中月均用水量不低于3噸的人數為.(Ⅲ)前6組的頻率之和為，而前5組的頻率之和為，由，解得，因此，估計月用水量標準為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標準.19.甲、乙兩人組成“紅隊”參與猜謎語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個謎語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為，在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響．求“紅隊”在兩輪活動中猜對3個謎語的概率．【答案】【解析】【分析】兩輪活動中猜對3個謎語相當于事務“甲猜對1個、乙猜對2個”和事務“乙猜對1個、甲猜對2個”的和事務，依據互斥事務以及獨立事務的概率公式，即可求得答案.【詳解】設分別表示甲兩輪猜對1個和2個謎語的事務，分別表示甲兩輪猜對1個和2個謎語的事務，則，，設A表示“紅隊”在兩輪活動中猜對3個謎語，則，且互斥，故，故“紅隊”在兩輪活動中猜對3個謎語的概率為.20.如圖，在三棱錐中，底面ABC，，D是AB的中點，且，．（1）求證：平面平面VCD；（2）試確定角的值，使得直線BC與平面VAB所成的角的為．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】(1)建立空間坐標系,先證明線面垂直,再證明面面垂直,即先證,可證出平面，最終證出平面平面;(2)先求出平面的法向量,再依據線面角公式表示出和相關的式子,最終依據的范圍求解.【小問1詳解】證明：以、、所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則有，，，，.于是，，，從而，即.同理，即.又,所以平面，又平面，平面平面.【小問2詳解】解：設直線與平面所成角為，平面的一個法向量為，則由得可取，又，于是，當時，

，解得，，又因為，所以，.21.已知冪函數滿意．（1）求函數的解析式；（2）若函數，是否存在實數，（），使函數在上的值域為？若存在，求出實數的取值范圍，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據函數為冪函數求得參數p的值，結合單調性即可求得函數解析式；（2）假設存在實數，（），使函數在上的值域為，依據函數單調性可得相應關系式，推出，整理化簡后可得，利用換元法結合二次函數性質即可求得n的范圍，即可得出結論.【小問1詳解】由是冪函數，可得，解得或；當時，在上單調遞減，不滿意；當時，在上單調遞增，滿意，故．【小問2詳解】由題意知，則在定義域上單調遞減，若實數，（），使函數在上的值域為，則，兩式相減，得，故，而，所以，即，將該式代入，得，令，由，知，即，故，所以，由于在上單調遞減，所以，故存在實數，（），使函數在上的值域為，此時實數的取值范圍為.【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于其次問的探究問題，解答時要能依據函數的單調性得出之間