專題8.3一元線性回來模型及其應用1．一元線性回來模型把式子為Y關于x的一元線性回來模型.其中，Y稱為因變量或響應變量，x稱為自變量或說明變量；a和b為模型的未知參數，a稱為截距參數，b稱為斜率參數；e是Y與bx+a之間的隨機誤差.2．線性閱歷回來方程與最小二乘法設滿足一元線性回來模型的兩個變量的n對樣本數據為(,)，(,)，，(,)，由=+a+(i=1，2，，n)，得|-(+a)|=||，明顯||越小，表示樣本數據點離直線y=bx+a的豎直距離越小.

通常用各散點到直線的豎直距離的平方之和Q=來刻畫各樣本觀測數據與直線y=bx+a的“整體接近程度”.當a，b的取值為時，Q達到最小.將=x+稱為Y關于x的閱歷回來方程，也稱閱歷回來函數或閱歷回來公式，其圖形稱為閱歷回來直線.這種求閱歷回來方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計.

閱歷回來直線確定過點(,).3．殘差分析對于響應變量Y，通過觀測得到的數據稱為觀測值，通過閱歷回來方程得到的稱為預料值，觀測值減去預料值稱為殘差.殘差是隨機誤差的估計結果，通過對殘差的分析可以推斷模型刻畫數據的效果，以及推斷原始數據中是否存在可疑數據等，這方面工作稱為殘差分析.4．刻畫回來效果的方式(1)殘差圖法

作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數據，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖.在殘差圖中，殘差點比較勻整地落在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區域內，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高.

(2)殘差平方和法

殘差平方和為，殘差平方和越小，模型擬合效果越好.

(3)利用刻畫擬合效果

=.

越大，模型的擬合效果越好，越小，模型的擬合效果越差.(1)對于變量x和變量y，設經過隨機抽樣獲得的成對樣本數據為(,)，(,)，，(,)，利用相關系數r來衡量兩個變量之間線性關系的強弱，相關系數r的計算公式：（其中，，，和，，，的均值分別為和）.①當r>0時，稱成對樣本數據正相關.這時，當其中一個數據的值變小時，另一個數據的值通常也變小；當其中一個數據的值變大時，另一個數據的值通常也變大.

②當r<0時，稱成對樣本數據負相關.這時，當其中一個數據的值變小時，另一個數據的值通常會變大；當其中一個數據的值變大時，另一個數據的值通常會變小.【題型1一元線性回來模型】【方法點撥】依據一元線性回來模型的定義，結合具體題目條件，進行求解即可.【例1】（2024·高二單元測試）依據如下樣本數據，得到線性回來方程為Y=nX+m，若樣本點的中心x,y為5,0.9，則當X34567Y4.0m-0.50.5nA．增加1.4個單位 B．削減1.4個單位 C．增加7.9個單位 D．削減7.9個單位【變式1-1】（2024春·黑龍江大慶·高二期末）給出下列說法中錯誤的是（

）A．回來直線y=bB．兩個變量相關性越強，則相關系數|rC．某7個數的平均數為4，方差為2，現加入一個新數據4，此時這8個數的方差不變D．在回來直線方程y=2-0.5x中，當變量【變式1-2】（2024春·河南南陽·高二期中）已知變量x和y的回來直線方程為y=0.2021x+0.202，變量y與zA．x與y正相關，x與z正相關 B．x與y正相關，x與z負相關C．x與y負相關，x與z負相關 D．x與y負相關，x與z正相關【變式1-3】（2024春·陜西渭南·高一期末）依據如下樣本數據：x345678y4.02.50.50.50.40.1得到線性回來方程為y=bx+A．a>0,b>0 B．a>0,【題型2殘差的計算】【方法點撥】依據題目條件，得出閱歷回來方程，再進行殘差的計算.【例2】（2024春·湖北·高二期末）某城市選用一種植物進行綠化，設其中一株幼苗從視察之日起，第x天的高度為ycm，測得一些數據如下表所示：第x天1234567高度y/cm1469111213由表格中數據可得y關于x的閱歷回來方程為y=2.04x+A．1.12 B．2.12 C．-1.12 D．【變式2-1】（2024春·河南開封·高三開學考試）某部門統計了某地區今年前7個月在線外賣的規模如下表：月份代號x1234567在線外賣規模y（百萬元）111318★28★35其中4、6兩個月的在線外賣規模數據模糊，但這7個月的平均值為23．若利用回來直線方程y=bx+a來擬合預料，且7月相應于點7,35的殘差為-A．1.0 B．2.0 C．3.0 D．4.0【變式2-2】（2024春·河南許昌·高二期末）為探討變量x，y的相關關系，收集得到下面五個樣本點（x，y）：x5.56.577.58.5y98643若由最小二乘法求得y關于x的回來直線方程為y=-1.8【變式2-3】（2024春·江蘇宿遷·高二階段練習）在對具有線性相關的兩個變量x和y進行統計分析時，得到如下數據：x4m81012y12356由表中數據求得y關于x的回來方程為y=0.65x-1.8，則4,1，m,2A．4,1 B．m,2 C．8,3 D．4,1和【題型3刻畫回來效果的方式】【方法點撥】依據刻畫回來效果的三種方式，結合具體題目條件，選取適當的方式來刻畫模型的擬合效果，即可得解.【例3】（2024秋·寧夏銀川·高三開學考試）下列說法正確的個數是（

）(1)在做回來分析時，殘差圖中殘差點分布的帶狀區域的寬度越窄表示回來效果越差(2)某地氣象局預報：6月9日本地降水概率為90%，結果這天沒下雨，這表明天氣預報并不科學(3)回來分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好(4)在回來直線方程y=0.1A．2 B．3 C．4 D．1【變式3-1】（2024春·山東菏澤·高二期末）關于線性回來的描述，下列命題錯誤的是（

）A．回來直線確定經過樣本點的中心 B．殘差平方和越小，擬合效果越好C．確定系數R2越接近1，擬合效果越好 D．殘差平方和越小，確定系數R【變式3-2】（2024秋·廣東廣州·高三階段練習）對兩個變量y和x進行回來分析，得到一組樣本數據x1,y1，x2A．若變量y和x之間的相關系數為r=-0.9462，則變量yB．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用確定系數R2來刻畫回來效果，RD．在殘差圖中，殘差點分布水平帶狀區域的寬度越窄，則回來方程的預報精確度越高【變式3-3】（2024春·甘肅天水·高二階段練習）關于線性回來的描述，有下列命題：①回來直線確定經過樣本中心點；②相關系數r的確定值越大，擬合效果越好；③相關指數R2④殘差平方和越小，擬合效果越好.其中正確的命題個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【題型4代入法求線性閱歷回來方程】【方法點撥】閱歷回來直線確定經過樣本點的中心(,)，求出樣本點的中心后代入線性回來方程求解相應字母.【例4】（2024秋·四川廣安·高二階段練習）已知兩個變量x和y之間存在線性相關關系，某愛好小組收集了一組x，y的樣本數據如下表所示：x12345y0.50.611.41.5依據表中數據利用最小二乘法得到的回來方程是（

）A．y=0.21xC．y=0.28x【變式4-1】（2024秋·陜西榆林·高二期中）已知x，y的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.7若y與x線性相關，且y=0.95x+a，則A．2.2 B．2.9 C．2.8 D．2.6【變式4-2】（2024秋·河南焦作·高二期末）某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如表：廣告費用x（萬元）3456銷售額y（萬元）25304045依據如表可得回來方程y=bx+a【變式4-3】（2024秋·四川宜賓·高二期末）某小區流感大爆發，當地醫療機構運用中西醫結合的方法取得了不錯的成效，每周治愈的患者人數如表所示，由表格可得y關于x的線性閱歷回來方程為y=36x-周數（x）12345治愈人數（y）51535？140A．106 B．105 C．104 D．103【題型5閱歷回來模型的應用】【方法點撥】(1)確定探討對象，明確哪個變量是說明變量，哪個變量是響應變量；(2)畫出說明變量和響應變量的散點圖，視察它們之間的關系(如是否存在線性關系等)；(3)確定閱歷回來方程的類型(如我們視察到數據呈線性關系，則選用線性閱歷回來方程)；(4)按確定規則(如最小二乘法)估計閱歷回來方程中的參數；(5)得出結果后分析殘差圖是否有異樣(如個別數據對應殘差過大，殘差呈現不隨機的規律性等)，若存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是否合適等.【例5】（2024秋·四川雅安·高二期末）某連鎖經營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如表．商店名稱ABCDE銷售額x（千萬元）35679利潤額y（千萬元）23345(1)若銷售額和利潤額具有相關關系，用最小二乘法計算利潤額y對銷售額x的回來直線方程．（參考公式b=i=1n(2)若該公司支配再開一個店想達到預期利潤為8百萬，請預估銷售額須要達到多少?【變式5-1】（2024·全國·模擬預料）目前手機已經成為人們生活中的必需品，國內市場已經進入成熟期，下表是2016—2025年某市手機總體出貨量（單位：萬部）統計表．年份2016年2017年2024年2024年2024年2024年年份代碼x123456手機總體出貨量y/萬部5.64.94.13.93.23.5(1)已知該市手機總體出貨量y與年份代碼x之間可用線性回來模型擬合，求y關于x的線性回來方程（系數精確到0.01）；(2)預料2024年該市手機總體出貨量．附：線性回來方程y=a+bx【變式5-2】（2024秋·四川成都·高二期末）某工廠統計2024年銷售網點數量與售賣出的產品件數的數據如下表：銷售網點數x（單位：個）1719202123售賣出的產品件數y（單位：萬件）2122252730假定該工廠銷售網點的個數與售賣出的產品件數呈線性相關關系，(1)求2024年售賣出的產品件數y（單位：萬件）關于銷售網點數x（單位：個）的線性回來方程；(2)依據（1）中求出的線性回來方程，預料2024年該工廠建立40個銷售網點時售賣出的產品件數.參考公式：b=i=1n【變式5-3】（2024·山東·模擬預料）我國5G技術給直播行業帶來了很多發展空間，加上受疫情影響，直播這種成本較低的獲客渠道備受商家青睞，某商場統計了2024年1~5月某商品的線上月銷售量y（單位：千件）與售價x月份12345售價x（元/件）6056585754月銷售量y（千件）597109(1)求相關系數r，并說明是否可以用線性回來模型擬合y與x的關系（當|r(2)建立y關于x的線性回來方程，并估計當售價為55元/件時，該商品的線上月銷售量估計為多少千件？(3)若每件商品的購進價格為(0.5x參考公式：對于一組數據xi,yi(i=1,2,3,?,【題型6非線性閱歷回來方程的求法】【方法點撥】(1)作散點圖確定曲線模型：曲線所對應的函數種類繁多，這就要求我們充分想象，大膽揣測擬合函數類型，粗略估計運用哪個函數擬合.(2)非線性轉化為線性：先通過適當變換化非線性關系為線性關系，然后依據線性檢驗回來方程的求解步驟進行求解.(3)分析模型的擬合效果，得出結論.【例6】（2024·陜西西安·統考一模）為了探討某種細菌隨天數x變更的繁殖個數y，收集數據如下：天數x123456繁殖個數y36132545100(1)推斷y=bx+a（a,b為常數）與y=c(2)對于非線性回來方程y=c1ec2x（c1,xyzi=1i=1i=13.50322.8517.530712.12（ⅰ）證明：對于非線性回來方程y=c1ec2x，令z（ⅱ）依據（ⅰ）的推斷結果及表中數據，建立y關于x的回來方程（系數保留2位小數）．附：對于一組數據u1,v1,【變式6-1】（2024·云南·高三階段練習）近年來，云南省保山市龍陵縣緊緊圍繞打造“中國石斛之鄉”的發展定位，大力發展石斛產業，該產業帶動龍陵縣近四分之一人口脫貧致富．2024年8月，龍陵紫皮石斛獲國家地理標記運用促進工程重點項目，并被評為優秀等次．在政府的大力扶持下，龍陵紫皮石斛產量逐年增長，2017年底到2024年底龍陵縣石斛產量統計如下及散點圖如圖．年份201720242024202420242024年份代碼x123456紫皮石斛產量y（噸）320034003600420075009000(1)依據散點圖推斷，y=ax+b與y=cedx（a，b，(2)經計算得下表中數據，依據（1）中結果，求出y關于x的回來方程；xyui=1i=1i=13.551508.4617.5209503.85其中u=(3)龍陵縣支配到2025年底實現紫皮石斛年產量達1.5萬噸，依據（2）所求得的回來方程，預料該目標是否能完成？（參考數據：e9.45附：b=i=1n【變式6-2】（2024·江西撫州·高三開學考試）數據顯示中國車載音樂已步入快速發展期，隨著車載音樂的商業化模式進一步完善，市場將持續擴大，下表為2024—2025年中國車載音樂市場規模（單位：十億元），其中年份2024—2025對應的代碼分別為1—5．年份代碼x12345車載音樂市場規模y2.83.97.312.017.0(1)由上表數據知，可用指數函數模型y=a?bx擬合y與x的關系，請建立y關于x(2)綜合考慮2024年及2024年的經濟環境及疫情等因素，某預料公司依據上述數據求得y關于x的回來方程后，通過修正，把b-參考數據：vi=1ee1.9433.821.7