高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省棗莊市薛城區2022-2023學年高一下學期期中數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.3〖答案〗A〖解析〗由題意可得：.故選：A.2.若向量，則點A的坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，∵，∴，∴.故選：B.3.對于橫縱坐標均為整數的向量，若它們的模相同，坐標不同，則稱這些向量為“等模整向量”如向量是模為的“等模整向量”，則模為的“等模整向量”的個數為（）A.4 B.8 C.10 D.12〖答案〗B〖解析〗設向量為，則，又為整數，所以，從中取值，故符合條件的“等模整向量”為，共有8個.故選：B.4.“近水亭臺草木欣，朱樓百尺回波濆”，位于濟南大明湖畔的超然樓始建于元代，歷代因戰火及災澇等原因，屢毀屢建．今天我們所看到的超然樓為2008年重建而成，共有七層，站在樓上觀光，可俯視整個大明湖的風景．如圖，為測量超然樓的高度，小劉取了從西到東相距104（單位：米）的A，B兩個觀測點，在A點測得超然樓在北偏東的點D處（A，B，D在同一水平面上），在B點測得超然樓在北偏西，樓頂C的仰角為，則超然樓的高度（單位：米）為（）A.26 B. C.52 D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得：（米），在中，可得，則（米），在Rt中，可得等腰直角三角形，即（米）.故選：C.5.矩形中，，M為線段上靠近A的三等分點，N為線段的中點，則（）A. B.0 C.1 D.7〖答案〗C〖解析〗以為基底向量，則，因為，則，所以.故選：C.6.三棱錐的側棱上分別有三點E，F，G，且，則三棱錐與的體積之比是（）A.6 B.8 C.12 D.24〖答案〗D〖解析〗設的面積為，設的面積為，則，，又，，∴，過點作平面，過點作平面，如圖，則，∴與相似，又，∴，∵，，∴，∴三棱錐與的體積之比是24.故選：D7.已知的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，由正弦定理邊化角可得，，因為，所以有，又，所以，即，所以，因為，所以，所以，所以.故選：B.8.已知A，B，C，D四點都在表面積為的球O的表面上，若球O的直徑，且，則三棱錐體積的最大值為（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設球O的半徑為R，因為球O的表面積為，故，即，∵，，設△ABC的外接圓半徑為r，圓心為，∴根據正弦定理知，，即，∴，∵AD是直徑，O是AD中點，故D到平面ABC的距離為，在△ABC中，根據余弦定理得，，即，∴，當且僅當時，等號成立，∴△ABC面積的最大值為，∴三棱錐A－BCD體積的最大值.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符!合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.關于復數，下列說法中正確的是（）A B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗設，，A選項正確；，B選項錯誤；，C選項正確；，，，，D選項正確.故選：ACD.10.已知正四棱臺中，，則關于該正四棱臺，下列說法正確的是（）A. B.高為 C.體積為 D.表面積為〖答案〗BC〖解析〗過分別作底面、的垂線，垂足分別為、，則，可得，對于A：在Rt中，可得，且為銳角，則，故A錯誤；對于B：正四棱臺的高即為，故B錯誤；對于C：正四棱臺的體積，故C正確；對于D：四棱臺的表面積，故D錯誤.故選：BC.11.石墨的二維層狀結構存在如圖所示的環狀正六邊形，正六邊形為其中的一個六元環，設，P為正六邊形內一點（包括邊界），則下列說法正確的是（）A. B.C.在上的投影向量為 D.的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗如圖，以點A為坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得，對于A：因為，則，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：因為，則，所以在上投影向量為，故C正確；對于D：分別過、作直線的垂線，垂足分別為、，則，可得在上的投影的取值范圍為，且，所以的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.12.已知內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，內一點N滿足與交于點D，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗，由正弦定理可得，故A正確；，可得，故D正確；，故B正確；如圖，是的角平分線，，故C不正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.___________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.中，為邊的中線，，，，則中線的長為_________.〖答案〗〖解析〗如圖，以邊，為鄰邊做平行四邊形，因為邊的中線，則由平行四邊形性質知共線，且，在平行四邊形中，，，在中，由余弦定理得：，所以，.故〖答案〗為：.15.設M為內一點，且，則與的面積之比為___________．〖答案〗〖解析〗在取點，使得，則，可知：點為的中點，可得，即，所以與的面積之比為.故〖答案〗為：.16.早在15世紀，達·芬奇就曾提出一種制作正二十面體的方法：如圖（1），先制作三張一樣的黃金矩形，然后從長邊的中點E出發，沿著與短邊平行的方向，即，再沿著與長邊平行的方向剪出相同的長度，即；將這三個矩形穿插兩兩垂直放置（如圖（2）），連接所有頂點即可得到一個正二十面體（如圖（3））．若黃金矩形的短邊長為2，則按如上制作的正二十面體的表面積為______________，其內切球的表面積為______________．〖答案〗〖解析〗正二十面體的表面是20個全等的等邊三角形，且每個等邊三角形的邊長都等于黃金矩形的短邊長2，所以表面積為：，根據對稱性可知：三個黃金矩形的對角線交于一點，設該點為，由對稱性可知，內切球和外接球的球心在所有黃金矩形的對角線交點處，點O連接其中一個面ABC，如圖，作面ABC，則OA為外接球半徑，為內切球的半徑，黃金矩形的短邊長為2，設長邊為，則，即，所以黃金矩形的對角線長為，所以外接球的半徑為：，由正三棱錐的性質可知，為的中心，為的外接圓半徑，所以，所以，所以，所以內切球的表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知復數．（1）求；（2）若z是關于x的方程的一個根，求實數a，b的值．解：（1）因為，所以．（2）由（1）可得：，將代入方程得：，則，解得：．18.已知是同一平面內的三個向量，其中．（1）若，且，求坐標；（2）若，且，求與的夾角．解：（1）設，由已知可得，解得或，所以或．（2）由已知可得，，由得，即，即，所以，所以，因為，故.19.如圖，圓錐的底面半徑為3，此圓錐的側面展開圖是一個半圓．（1）求圓錐的表面積；（2）若圓錐的底面圓周和頂點S都在球的球面上，求球的體積．解：（1）設，由題意得：，則，所以．（2）令，由，得，解得，故．20.中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．（1）求角A的大??；（2）若，求的取值范圍．解：（1）因為，由正弦定理得，整理得，所以，且，故.（2）因為，可得，則，因為，所以，則，所以，即．21.已知是邊長為2的等邊三角形，D為邊的中點，E為邊上任一點（包括端點），F在線段延長線上，且．（1）當最小時，求的值；（2）求的取值范圍．解：（1）如圖，設，，，因為，所以，當時，最小，此時.（2）由（1）知，故，因為，因為，所以.22.中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求