《非線性控制》課程作業2023秋季學期姓名： 學號： 15S004001專業： 控制科學與工程哈爾濱工業大學2023年1月作業一動態系統：系統狀態隨時間而變化的系統或者按確定性規律隨時間演化的系統，稱為動態系統。動態系統是數學上的一個概念，是一種固定的規那么，它描述一個給定空間〔如某個物理系統的狀態空間〕中所有點隨時間的變化情況。在動力系統中有所謂狀態的概念，狀態是一組可以被確定下來的實數。狀態的微小變動對應這組實數的微小變動。動力系統的演化規那么是一組函數的固定規那么，它描述未來狀態如何依賴于當前狀態的。這種規那么是確定性的，即對于給定的時間間隔內，從現在的狀態只能演化出一個未來的狀態。其特點是:〔1〕系統的狀態變量是時間函數,即其狀態變量隨時間而變化；〔2〕系統狀況由其狀態變量隨時間變化的信息來來描述；〔3〕狀態變量的持續性。數學描述形式：一般的，動態系統表示為一個元組，其中表示一個從到的映射，用表示，稱為“演變函數〞，表示了系統狀態隨時間變化的規律。其中，表示了集合中點的變化，這種變化依據于變量，稱為狀態空間。代表系統的初始狀態，當初始狀態固定時，就變為了的函數，函數經過代表的狀態點。動態系統也常用微分方程來描述，設系統狀態向量為，那么有一下數學描述：式中x為狀態變量矢量，t為時間，f為確定性矢量函數，這個微分方程即動態系統的數學描述形式。對微分動力系統的研究從理論上揭示了系統的許多根本性質。如對系統吸引子的研究說明了系統終態，即定常狀態的種類〔非平衡態〕。又如對系統穩定性條件的研究和相空間拓撲結構對參量依賴關系的研究都對系統的設計具有重要指導意義。不用微分方程描述的動態系統模型中最簡單的是映射，一般用差分方程或迭代方程表示。靜態系統：與動態系統相對，系統狀態不隨時間變化的系統稱為靜態系統。系統中各個狀態的量之間都有著已經固定的關系并且保持不變，動態系統的每一個平衡點都是一個靜態系統。數學描述：用微分方程來描述靜態系統，類比動態系統，可以有以下數學描述其中表示了系統中各個狀態變量之間的關系，即滿足這樣的關系時靜態系統才能成立。2.系統的齊次性和疊加性是不是獨立的兩個性質？如果一個系統具有疊加性，是否可以推斷出該系統一定滿足齊次性？寫出你對該問題的理解。二者是獨立的，二者只在有理數范圍內等效；這個問題本身屬于群論范疇，盡管直觀上講，二者有一定關聯?？梢宰C明在有理數域內,如果系統具有疊加性,那么它一定同時具有齊次性?！?〕在整數范圍內證明，當由疊加性可以得到即滿足齊次性：當顯然成立;當時由可加性，由上面堆出的結論可知簡言之，式子最后可以分解為a個T(r)相加，即為a倍T(r)。此時可加性與齊次性表述了同一條規那么。將這一結論推廣，可加性可以推出對于有理數的齊次性，〔2〕在有理數范圍內證明由于有理數總可以寫成分數形式，其中，，由(1)中推出的結論知在有理數范圍存在，故齊次性與可加性在有理數范圍內等效。但在無理數范圍內及復數范圍內該結論不一定成立，反例如下：〔3〕雖然實際中存在很多不同時滿足齊次性與可加性的例子，但大多數非線性系統是同時不滿足二者。具有齊次性的非線性映射，只能在不滿足可加性的無理數集中去尋找。如果不要求為連續函數，定義抽象函數如下例，即為一個滿足齊次性而不滿足可加性的系統：〔x為有理數〕〔x為無理數〕即為滿足齊次性對數乘封閉而不滿足可加性的實例?！?〕設為復數，假設系統滿足其中，那么可以推導出齊次性，但是一般的線性系統不滿足這個性質。假設變量與常數都可在復數域取值，由于復數運算的特殊性，疊加性與齊次性之間不一定等價。比方當k為復數時，，齊次性不成立但是疊加性仍然成立。狀態空間表達式如下，Simulink仿真比擬線性、非線性模型。線性系統Simulink仿真模型〔藍色曲線〕非線性系統Simulink仿真模型〔紅色曲線〕〔1〕對于初值，兩種系統的狀態軌跡如下兩圖所示：X1X2當角度很小時，兩系統的狀態軌跡根本是相同的。〔2〕對于初值，兩系統狀態軌跡如下：X1X2當初始角度偏大時，近似的模型與實際模型的狀態軌跡出現了偏差。對于初值，兩系統狀態軌跡如下：X1X2當單擺初始狀態水平放置時，兩個系統的狀態軌跡相差比擬大。對于初值，兩系統狀態軌跡如下：X1X2當偏角大于直角，兩系統軌跡相差很大，實際系統的軌跡已經能夠看出不完全符合正弦規律。作業二對兩種穩定性的理解。假設f是n維連續向量場。這樣可以保證對于每個初始狀態x0，都有至少一個經典解x(t)。(1)Lyapunov穩定性針對平衡位置定義：系統對任意選定實數，都存在，使得當時，從任意初態出發都滿足，便可以確定為平衡點，且此時稱這個平衡點在Lyapunov意義下穩定。假設平衡點為零點，那么。實質即在一定條件下可以滿足是系統響應有界，系統響應存在邊界，而根據邊界即可確定出初始狀態所在超球域。初值的選取取決于對系統狀態范圍的限定，通過限定初值范圍保證系統狀態在要求范圍之內。(2)Lagrange穩定性也叫解的一致有界性，從Lagrange穩定性中只能得到狀態在時刻之后是有界的。即給定，我們總可以找到一個，當時，有。2.解對初值具有連續依賴性與不穩定性的理解。解對初值的連續依賴性是指，對于非線性系統，假設為定義在上的唯一解，滿足初始條件,對于任意給定的，存在使得對于，上述方程在上存在滿足初始條件的唯一解，且。由于連續依賴性定義在上，即使是不穩定的系統，在一個時間范圍內也是存在解的，只要滿足在確定時間點上的解關于初值連續變化就說明解對初值有連續依賴性。因此對初值的連續依賴性與系統不穩定不矛盾。即解對初值的連續依賴性與系統是否穩定無關，具有不穩定的解的系統也可以對初值具有穩定性。如存在。3.該系統平衡點唯一，因為如果有除了原點的另一平衡點，那么假設取初值，根據平衡點的定義，，與條件不符。但不能說平衡點0是漸進穩定的，狀態收斂，但是并不一定符合Lyapunov意義下的穩定性，即對于任意的不一定能夠找到一個，當時，有，直觀上說，就是在狀態收斂的過程中可能出現先發散再收斂的現象，雖然最后狀態收斂但不能確定系統的穩定性。作業三1.根據平衡點定義可得解得或近似線性化方法：由于，，，，在平衡點附近有近似線性系統：線性近似系統矩陣，，由于易知該平衡點穩定。在平衡點附近，首先進行坐標變換那么對于系統狀態，有下式成立：由于，，，，在平衡點附近有近似線性系統近似系統矩陣，，當時平衡點是穩定的，否那么平衡點是不穩定的。在平衡點，同理可以得到近似系統矩陣，，當時平衡點是穩定的，否那么平衡點是不穩定的。Lyapunov直接方法：對于平衡點，取，那么，，，對于平衡點附近的區域，有成立，因此平衡點是穩定的。由于是在平衡點鄰域內的，當時，可以得到，即系統在平衡點是漸進穩定的。討論系統的穩定性可以解出系統的相應為，，解得，通過，解的形式可以很明顯的看出系統是穩定的，即但該平衡點并不是全局漸進穩定的，由于該系統平衡點不唯一。對于平衡點，用類似的方法可以得到結果。平衡點也不是全局漸進穩定。取，不可以，該系統狀態的范圍為實數域，也就是說復數不可能成為系統狀態，不是系統合理的平衡點，又因在實數范圍內，因此該系統平衡點只有。3.取，那么易知全局正定，那么有考慮的極值，首先找到駐點，，得到駐點為，檢驗，，，可以得出駐點處二元函數取極大值，由于函數全局可導，只有一個駐點，說明函數最大值為0，當且僅當時取得最大值，因此可以得出<0，又因為為徑向無界函數，所以該系統全局漸進穩定。作業四1.對于集合，假設，即，可以得到，因此為系統的一個平衡點，因此為不變集。對于區域，取，，定義，可以得到在內，又存在任意接近原點的點，，由Chetaev定理可知該平衡點不穩定。對于集合，對于系統，當時，解得該系統的狀態軌跡為，狀態軌跡滿足，因此對于該系統，集合是一不變集。選取，可知該不變集是穩定的。2.將代入系統得，令，那么由于對稱正定，那么假設，只有，根據LaSalle定理，可以得出中最大不變集為，其中，以因此中任意點為初值，系統解都趨向于0，可以得出系統漸進穩定。作業五1.充分性：二階連續可導，根據微分中值定理，存在介于0和的，使得，由于，有因此，其中，，顯然滿足，由連續性可知如下極限存在：，如果系統〔2〕是指數穩定的那么有，因此對于給定的正定矩陣，Lyapunov方程有正定對稱解。取系統〔1〕的Lyapunov函數為，那么由極限定義可知，對于給定的，存在，使得，那么選取，那么，因此系統〔1〕是指數穩定的。必要性：由充分性證明過程得，,其中，對，有，由于系統〔1〕是指數穩定，即存在，使得所以存在正定對稱矩陣，使得，那么，又由于存在，使得，由于，故，故有故可令，那么，由于，故半負定，所以半負定，系統〔2〕指數穩定。作業六，系統可以看作輸入，輸出為的系統，由KYP引理證明過程可知，取，由于嚴格正定，那么有，由于，故徑向無界系統全局漸近穩定，且閉環系統為線性系統系統全局指數穩定。作業七1.〔1〕看做