習(xí)題二 2 2 _ 三．1（1）R1，且|x1|1x1=±1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散．∴收斂域?yàn)?0,2．∞∞￥]′n(x-1)n=(x?1)∑n(x?1)∑=(x? (x?n習(xí)題二 2 2 _ 三．1（1）R1，且|x1|1x1=±1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散．∴收斂域?yàn)?0,2．∞∞￥]′n(x-1)n=(x?1)∑n(x?1)∑=(x? (x?n′′∞? (x? (x? =(x?1)? ?1??=x?1，0逐項(xiàng)求∑nx<2??(2??（2）解：收斂域?yàn)橄鹸x∞∞ ∑(?1)n∫x∑2n?0x∫0x?∞?1逐項(xiàng)積=?∑(?1)nx2n?2?dx=dx=?arctanx，?1≤x≤11+x??0 x（ 3-n(2n-1)=- =(-x2)n+2x(-1)n-- -2n12+2xarctanx-ln(1+x=1+收斂域?yàn)?-1∞∞1xn的收斂域?yàn)??1,1].對(duì)級(jí)數(shù) xn,（4）解：易知,級(jí)數(shù)n44a11ρ=an= n→∞∞1所以,其收斂半徑為4.易?當(dāng)x=±4時(shí)，該級(jí)數(shù)發(fā)散.因此級(jí)數(shù) nx的收斂域n4(?4,由冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，題設(shè)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-1, 1xn∞∞1xn的收斂域?yàn)??1,1].對(duì)級(jí)數(shù) xn,（4）解：易知,級(jí)數(shù)n44a11ρ=an= n→∞∞1所以,其收斂半徑為4.易?當(dāng)x=±4時(shí)，該級(jí)數(shù)發(fā)散.因此級(jí)數(shù) nx的收斂域n4(?4,由冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，題設(shè)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-1, 1xn1 ￥￥￥=n=-ln(1+x)4-+x4nnnn=13n+(- 2（1）nfi= +anfi￥-n11n1n1當(dāng)nfi1，因x=nn3+-n13n+(-2)nnx3時(shí)，級(jí)數(shù)化為1=11，可以驗(yàn)證：隨著n3n+(-2)nn1+31310，根據(jù)萊布尼茲判別法13n+(-2)nnn綜上，收斂域?yàn)閇-3,a1e（2）=lime。2nfi￥nfix1een-(-(-1)n1en-(-112￡=n2(-1)nn絕對(duì)收斂。綜上，收斂域?yàn)閇1,]1e11113（1）==?(x+1)(x+2(1+ 2(3+x+4x+11?,=x?1x?141?8?24 ?= (?1)∞14而(x? (?1<x<nx?2n)2(?1)∞1=∑n=(x?nx? 4x1een-(-(-1)n1en-(-112￡=n2(-1)nn絕對(duì)收斂。綜上，收斂域?yàn)閇1,]1e11113（1）==?(x+1)(x+2(1+ 2(3+x+4x+11?,=x?1x?141?8?24 ?= (?1)∞14而(x? (?1<x<nx?2n)2(?1)∞1=∑n=(x?nx? 4)4x?=1[13x?x?+2)++)+333∞111=∑?)(x?1)n(?1<x<n故2n+ 22n+x+4x+sin?–π ππ ππ（2解：fxsinx?=sin?x ?–cos?x ?666 6 ???π?π????x+?x+∞∞32 6 ?(2n+12 6 ∑∑=nnn=?π?π?2n∞13?1?∑(?1)n?，?∞?x ??x =x<+∞26(2n)!6(x?∞∑=e2ex?（x，?∞<x<+∞=23(-1)n (-1)n(2n+1- 1￥￥￥￥41==-(2n (2n (2n(-1)n,cosx=考慮到sinx(2n￥￥￥(-1)ncos1-2=sin1-1，(2n=。?n?∞∞n?1+∞-11￥∑∑∑?????=?=(n?∞∑(-1)n (-1)n(2n+1- 1￥￥￥￥41==-(2n (2n (2n(-1)n,cosx=考慮到sinx(2n￥￥￥(-1)ncos1-2=sin1-1，(2n=。?n?∞∞n?1+∞-11￥∑∑∑?????=?=(n?∞∑∞∑∞∞∞∑n=? (n? (n?111 +– ?∑+?∑==??n==e+e?(e?1)=e+1x2n+￥￥=(1+x)=25．解：???f(x)(1。 前?的系f(2009)1為x。另???，前?的系數(shù)為f2009)(0)2009!15π1π1π0f(x)dx=π-3xdx+π2xdx=-26=0π1π1πn2xcosnxdx=1-(-ππ0anf(x)cosnxdx3xcosnxdx-π0πππππππ0bf(x)sinnxdxxsinnxdxxsinnxdx=xsinnxdx,=nn0021-(-￥+所以f(x)cosnn=1因?yàn)?π是連續(xù)點(diǎn)，所以S(5π)=f )=-3ππ222247．解：將fx12x2?(?1)n(2π+1)?2π0(1?2x)sinnxdx=∫b?，n=1,2,?nn??因此，fx12x在[-π0] (?1)n(2π+1)?∞∑sinnx，?π<x<0f(x)πn8fx)=2+|x (?1≤x≤1)是偶函數(shù)，所以bn0212n2π7．解：將fx12x2?(?1)n(2π+1)?2π0(1?2x)sinnxdx=∫b?，n=1,2,?nn??因此，fx12x在[-π0] (?1)n(2π+1)?∞∑sinnx，?π<x<0f(x)πn8fx)=2+|x (?1≤x≤1)是偶函數(shù)，所以bn0212n2π11)n1]a=(2+x)cosnxdx-n02|x|54。π2(3n-2)!f'(x)2!5!f''(x)=1!+4!-￥3232易?：f''+f'+f= =ex，解得：f(x)=e2(x+x+B3-23232再注意到f(0)=1,f'(0)0，所以AB0，即f(x)=e2x+33n-1￥ n==所 anfinfi￥n￥￥1￥￥11=(n-=(n-1)an-1 S'(x)=nan)an-12a =a0+xS'(x)2+21131-S(x滿足微分?程yS(x)2。y2(1-1-5 ． y'=y''-2xy