安徽省淮南市第九中學2022年高三數學文下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知等差數列的前項和為，且滿足S3≤6，S4≥8，S5≤20，當a4取得最大值時，數列的公差為（

）A1

B

4

C

2

D

3參考答案：2.若向量，，，則實數的值為A．

B．

C．2

D．6參考答案：A試題分析：，，得，故答案為A.考點：平面向量平行的應用.3.已知全集U＝R，A＝{x｜lgx≥0}，B＝{x｜x＜}，則A∩（CUB）＝

A．

B．{1}

C．{0，1}

D．[0，1]參考答案：B略4.若，則“＝3”是“2＝9”的（）條件A．充分而不必要

B．必要而不充分

C．充要

D．既不充分又不必要參考答案：A5.若長方體ABCD-A1B1C1D1的頂點都在體積為288π的球O的球面上，則長方體ABCD-A1B1C1D1的表面積的最大值等于（

）A．576

B．288

C．144

D．72參考答案：B6.已知,,滿足約束條件，若的最小值為1，則()A.

B.

C．

D．參考答案：【知識點】簡單的線性規劃。E5【答案解析】B

解析：由已知約束條件，作出可行域如圖中△ABC內部及邊界部分，由目標函數的幾何意義為直線l：在軸上的截距，知當直線l過可行域內的點時，目標函數的最小值為1，則。故選B.【思路點撥】根據線性約束條件畫出可行域，再利用目標函數所表示的幾何意義求出a的值。7.在四面體ABCD中，二面角A﹣BC﹣D為60°，點P為直線BC上一動點，記直線PA與平面BCD所成的角為θ，則（）A．θ的最大值為60° B．θ的最小值為60°C．θ的最大值為30° D．θ的最小值為30°參考答案：A【考點】MI：直線與平面所成的角；MT：二面角的平面角及求法．【分析】作出二面角和線面角，根據利用三角函數的定義表示出AO即可得出θ和60°的大小關系．【解答】解：過A作AM⊥BC，AO⊥平面BCD，垂足為O，連結OM，則∠AMO為二面角A﹣BC﹣D的平面角，∴∠AMO=60°，在直線BC上任取一點P，連結OP，AP，則∠APO為直線AP與平面BCD所成的角，即∠APO=θ，∵AP≥AM，AM?sin60°=AO，AP?sinθ=AO，∴sinθ≤sin60°，即θ的最大值為60°．故選A．8.一個三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為

A．

B．

C．

D．參考答案：A由三視圖可知該三棱錐的側棱和底面垂直，三棱錐的高為1，底面直角三角形的兩直角邊分別為2,1，所以三棱錐的體積為，選A.9.已知函數的值為

（

）

A．10

B．C．D．20參考答案：C10.已知定義在上的函數滿足：①；②對所有，，且，有．若對所有，，，則的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，的夾角為，||=，||=2，則?（﹣2）=．參考答案：6【考點】平面向量數量積的運算．【專題】對應思想；綜合法；平面向量及應用．【分析】求出2和，將?（﹣2）展開得出答案．【解答】解：==﹣2，2=||2=2，∴?（﹣2）=2﹣2=2+2×2=6．故答案為：6．【點評】本題考查了平面向量的數量積運算，屬于基礎題．12.下列命題：①若是定義在[—1，1]上的偶函數，且在[—1，0]上是增函數，，則

②若銳角滿足

③若則對恒成立。

④要得到函數的圖象，只需將的圖象向右平移個單位。

其中是真命題的有

（填正確命題番號）。參考答案：13.設z＝2x＋y，其中x，y滿足，若z的最大值為6，則z的最小值為_____．參考答案：-214.一個社會調查機構就某地居民的月收入調查了1萬人，并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）.為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業等方面的關系，要從這1萬人中用分層抽樣方法抽100人作進一步調查，則在（元）月收入段應抽出

人．參考答案：25

15.如圖所示，三個邊長為的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊上有10個不同的點，記（），則

.參考答案：180【測量目標】數學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數學中有關圖形與幾何的基本知識.【知識內容】圖形與幾何/平面向量的坐標表示/平面向量的數量積.【試題分析】延長,則,又,所以,即，則，則，故答案為180.16.已知函數在區間上恰有一個極值點，則實數的取值范圍

是

；參考答案：[–1，7）17.命題“”的否定是_______。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（20分）知F1，F2分別是橢圓C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，橢圓C過點且與拋物線y2=﹣8x有一個公共的焦點．（1）求橢圓C方程；（2）直線l過橢圓C的右焦點F2且斜率為1與橢圓C交于A，B兩點，求弦AB的長；（3）以第（2）題中的AB為邊作一個等邊三角形ABP，求點P的坐標．參考答案：考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題．專題： 圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析： （1）由題意得c=2，，由此能求出橢圓方程．（2）直線l的方程為y=x﹣2，聯立方程組，得2x2﹣6x+3=0，由此利用韋達定理能求出|AB|．（3）設AB的中點為M（x0，y0），由題意得，，線段AB的中垂線l1：y=﹣x+1，由此能求出點P的坐標．解答： 解：（1）由題意得F1（﹣2，0），c=2…（2分）又，得a4﹣8a2+12=0，解得a2=6或a2=2（舍去），…（2分）則b2=2，…（1分）故橢圓方程為．…（1分）（2）直線l的方程為y=x﹣2．…（1分）聯立方程組，消去y并整理得2x2﹣6x+3=0．…（3分）設A（x1，y1），B（x2，y2）．故x1+x2=3，．…（1分）則|AB|=|x1﹣x2|==．…（2分）（3）設AB的中點為M（x0，y0）．∵x1+x2=3=2x0，∴，…（1分）∵y0=x0﹣2，∴．…（1分）線段AB的中垂線l1斜率為﹣1，所以l1：y=﹣x+1設P（t，1﹣t）…（1分）所以．…（1分）當△ABP為正三角形時，|MP|=|AB|，得，解得t=0或3．…（2分）即P（0，1），或P（3，﹣2）．…（1分）點評： 本題考查橢圓C方程的求法，考查弦AB的長的求法，考查點P的坐標的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．19.已知數列{an}的遞推公式為（1）令bn=an﹣n，求證：數列{bn}為等比數列；（2）求數列{an}的前n項和．參考答案：考點：數列遞推式；等比關系的確定；數列的求和．專題：等差數列與等比數列．分析：（1）利用數列遞推式，可得，利用等比數列的定義，可得結論；（2）確定數列的通項，利用分組求和，可求數列{an}的前n項和．解答：（1）證明：由題意，bn=an﹣n=3an﹣1﹣2n+3﹣n=3an﹣1﹣3n+3=3（an﹣1﹣（n﹣1））=3bn﹣1，n≥2又b1=a1﹣1=1，所以bn≠0（n∈N*），所以，數列{bn}是以1為首項3為公比的等比數列．（6分）（2）解：由（1）知，，an=bn+n（8分）所以數列{an}的前n項和Sn=（b1+b2+…+bn）+（1+2+…+n）=（14分）點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的判定與通項，考查分組求和，考查學生的計算能力，確定數列的通項是關鍵．20.正三棱柱中,點是的中點,.（1）求證:平面；（2）求證:平面.參考答案：略21.（本小題滿分10分）已知直線的參數方程為（為參數），曲線C的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為軸正方向建立直角坐標系，點，直線與曲線C交于、兩點．（Ⅰ）寫出直線的極坐標方程與曲線C的普通方程；（Ⅱ）線段，長度分別記為，，求的值．參考答案：（Ⅰ）直線的極坐標方程，（3分）曲線普通方程（5分）（II）將代入得，（8分）（10分）22.某中學有初中學生1800人，高中學生1200人．為了解學生本學期課外閱讀時間，現采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，先統計了他們課外閱讀時間，然后按“初中學生”和“高中學生”分為兩組，再將每組學生的閱讀時間（單位：小時）分為5組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分別加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）寫出a的值；（Ⅱ）試估計該校所有學生中，閱讀時間不小于30個小時的學生人數；（Ⅲ）從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．參考答案：【考點】CC：列舉法計算基本事件數及事件發生的概率；B8：頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，能求出a的值．（Ⅱ）由分層抽樣，知抽取的初中生有60名，高中生有40名，從而求出所有的初中生中，閱讀時間不小于30個小時的學生約有450人，高中生中，閱讀時間不小于30個小時的學生人數約有420人．由此能求出該校所有學生中，閱讀時間不小于30個小時的學生人數約有多少人．（Ⅲ）記“從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取2人，至少抽到1名高中生”為事件A，利用列舉法能求出至少抽到1名高中生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得（0.005+0.020+a+0.040）×10=1，∴a=0.03．…（3分）（Ⅱ）由分層抽樣，知抽取的初中生有60名，高中生有40名．…（4分）∵初中生中，閱讀時間不小于30個小時的學生頻率為（0.02+0.005）×10=0.25，∴所有的初中生中，閱讀時間不小于30個小時的學生約有0.25×1800=450人，…（6分）同理，高中生中，閱讀時間不小于30個小時的學生頻率為（0.03+0.005）×10=0.35，學生人數約有0.35×1200=420人．∴該校所有學生中，閱讀時間不小于30個小時的學生人數約有450+420=870人．…（8分）（Ⅲ）記“從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取2人，至少抽到1名高中生”為事件A，…（9分）初中生中，閱讀時間不足10個小時的學生頻率為0.005×10=0.05，樣本人數為0.05×60=3人．高中生中，閱讀時間不足10個小時的學生頻率為0.005×10=0.05，樣本人數為0.05×40=2人．…（10分）記這3名初中生為A1，A2，A3，這2名高中生為B1，B2，則從閱讀時間不足1