2025七年級下學(xué)期數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練

1.如圖1,已知直線CO〃ER點A、8分別在直線CZX直線EF上，尸為兩平行線間一

圖1

猜想

（1）猜想/IMP,ZFBP,/AP2之間有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

應(yīng)用

（2）利用（1）的結(jié)論解答：

①如圖2,APi,8Pl分別平分/。4尸、ZFBP,請你直接寫出/尸與/尸1的數(shù)量關(guān)系，

不需要說明理由；

②如圖3,APi,BP2分別平分/CAP、/EBP,若NAPB=a,求NAP2B的大小（用含a

的代數(shù)式表示）.

2.AB//CD,直線EF交A8于點E,交CD于點尸，點G在。上，點尸在直線右側(cè)、

且在直線AB和C。之間，連接尸￡、PG.

（1）如圖1,求證：NEPG=/BEP+NPGD：

（2）如圖1,連接EG,若EG平分NPEF,ZBEP+ZPGE^11Q0,NPGD=L/EFD,

2

ZPGZ）=30°.求/BE尸的度數(shù)；

（3）如圖2,若班平分/尸瓦1,/PGZ）的平分線GN所在的直線與斯相交于點X,則

NEPG與NEHG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

3.如圖，直線AB//CD,直線EF與AB.CD分別交于點G、H,ZEHD^a（0°<a<

90°).小安將一個含30°角的直角三角板PMN按如圖①放置，使點N、M分別在直

線A3、CD上,且在點G、5的右側(cè)，NP=90°,/PMN=60°.

(1)填空：ZPNB+ZPMDZP(填“>”或“=”)；

(2)若NMNG的平分線N。交直線CD于點O,如圖②.

①當(dāng)NO//EF,PM//EF時，求a的度數(shù)；

②小安將三角板PMN保持并向左平移，在平移的過程中求/MON的度數(shù)(用

如圖①，已知A8〃C。，我們發(fā)現(xiàn)我們怎么證明這個結(jié)論呢？

張山同學(xué)：如圖②，過點E作把NBEZ)分成NBEF與/。￡尸的和，然后分別

證明ZDEF=ZD.

李思同學(xué)：如圖③，過點2作B尸〃。E,則再證明

問題解答：

(1)請按張山同學(xué)的思路，寫出證明過程；

(2)請按李思同學(xué)的思路，寫出證明過程；

問題遷移：

(3)如圖④，已知AB〃CD,防平分NAEC,FD平分/EDC.若NCED=3/R請直

接寫出/歹的度數(shù).

5.如圖1,AB//CD,點、E,E分別在直線CD,AB上，NBEC=2/BEF,過點A作AG

BE的延長線交于點G,交CD于點N,AK平分N8AG,交EF于點H,交BE于點M.

BB

A

-CK~~D-CK~~D

圖1'圖2'

（1）直接寫出NA”E,ZFAH,/KEH之間的關(guān)系：.

（2）若NBEF=L/BAK,求/AHE.

2

（3）如圖2,在（2）的條件下，將△KHE繞著點E以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋

轉(zhuǎn)時間為,,當(dāng)KE邊與射線皮）重合時停止，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△KHE的其中一邊與

△ENG的某一邊平行時，直接寫出此時f的值.

6.如圖1,已知A8〃C￡）,BE平分/ABD,平分/BOC.（乙48。的度數(shù)大于90°小

于120°）

（1）求證：NBED=90°；

（2）若點尸為射線BE上一點，ZEDF=a,/A8F的角平分線BG與2CD尸的角平分

線。G交于點G,試用含a的式子表示N8G。的大小；

（3）延長BE交CD于點H,點P為線段①/上一動點，NABF鄰補(bǔ)角的角平分線與N

CL甲鄰補(bǔ)角的角平分線DG交于點G,探究NBGD與/8陽之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫

出結(jié)論：.（題中所有的角都是大于0°小于180°的角）

圖1備用圖備用圖

7.如圖1,將一副直角三角板放在同一條直線A8上，其中/OM0=3O°,ZOCD=45

DD

(1)觀察猜想

將圖1中的三角尺沿AB的方向平移至圖②的位置，使得點。與點N重合，CD與

相交于點E,則/CEN=°.

(2)操作探究

將圖1中的三角尺。CO繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使一邊。。在/MON的內(nèi)部，如圖

3,且。。恰好平分/MON,與NM相交于點E,求/CEN的度數(shù)；

(3)深化拓展

將圖1中的三角尺繞點。按沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)邊0C

旋轉(zhuǎn)°時，邊CD恰好與邊MN平行.(直接寫出結(jié)果)

8.己知，AB//CD,點E為射線尸G上一點.

(1)如圖1,若NEAF=30°,NEOG=40°,則°；

(2)如圖2,當(dāng)點E在尸G延長線上時，此時CD與AE交于點"則NAE。、ZEAF,

NEDG之間滿足怎樣的關(guān)系，請說明你的結(jié)論；

(3)如圖3,DI平分/EDC,交AE于點K,交A/于點/,且/EV：ZBAI=i：2,Z

AED=22°,Z/=20°,求NEKZ)的度數(shù).

9.已知：直線a〃b,點A和點8是直線a上的點,點C和點。是直線b上的點，連接AD,

BC,設(shè)直線和2C交于點E.

E

(1)在如圖1所示的情形下，若AOLBC,求NABE+NCDE的度數(shù)(提示：可過點E

作EG〃A8)；

(2)在如圖2所示的情形下，若平分/ABC,平分/AOC,且8尸與。尸交于點

F,當(dāng)N4BC=64°,ZADC=72°時，求NBFD的度數(shù).

(3)如圖3,當(dāng)點B在點A的右側(cè)時，若2尸平分NA8C,平分NAOC,且BRDF

交于點R設(shè)NA8C=a,ZADC=P，用含有a,0的代數(shù)式表示的補(bǔ)角.(直

接寫出結(jié)果即可)

10.(1)證明：兩條平行線被第三條直線所截，一對同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直.

已知：如圖①，AB//CD,.

求證：.

證明：

(2)如圖②，AB//CD,點、E、尸分別在直線A3、CD±,EM//FN,/AEM與/CFN

的角平分線相交于點。.求證：EOLFO.

(3)如圖③，AB//CD,點、E、尸分別在直線42、CD上，EM//PN,MP//NF,ZAEM

與NC7W的角平分線相交于點O,ZP=102°,求/。的度數(shù).

11.已知，AE//BD,ZA=ZD.

(1)如圖1,求證：AB//CD-,

(2)如圖2,作N54E的平分線交CD于點R點G為48上一點，連接PG,若NCFG

的平分線交線段AG于點X,求證：NECF+2NAFH=NE+2NBHF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接AC,若NACEn/BAC+NBGM,過點X作

_L切交FG的延長線于點且2NE-3NAFH=20°,求NEAF+NGMH的度數(shù).

=45°,ZBAC=ZD=90°.固定三角板ABC,將三角板AOE繞點A按順時針方向旋

轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角/CAE=a(0°<a<180°).

(1)當(dāng)a為度時，AD//BC,并在圖3中畫出相應(yīng)的圖形；

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，試探究NC4D與之間的關(guān)系；

(3)當(dāng)△?!￡>￡旋轉(zhuǎn)速度為5°/秒時，且它的一邊與△A8C的某一邊平行(不共線)時，

直接寫出時間f的所有值.

圖3圖4備用圖

13.如圖1,MN//PQ,直線與MN、P。分別交于點A、D,點B在直線尸。上，過點8

作8GL4。，垂足為點G.

(1)求證：ZMAG+ZPBG=90°；

(2)若點C在線段上(不與A、D、G重合)，連接8C,/MAG和/P8C的平分

線交于點”，請在圖2中補(bǔ)全圖形，猜想并證明/CBG與的數(shù)量關(guān)系；

(3)若直線AD的位置如圖3所示，(2)中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不

成立，請直接寫出NC8G與NA/ffi的數(shù)量關(guān)系.

14.已知，直線AB〃OC,點P為平面上一點，連接AP與CP

(1)如圖1,點尸在直線AB、CD之間，當(dāng)NBAP=60°,ZDCP=20°時，求/APC.

(2)如圖2,點尸在直線A3、CD之間，NA4P與NOCP的角平分線相交于點K,寫出

NAKC與NAPC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,點尸落在C。外，N54尸與/。。尸的角平分線相交于點K,/AKC與N

APC有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

15.如圖，已知NA=60°.點P是射線40上一動點(與點A不重合)，BC、

BD分別平分N4BP和/PBN,分別交射線AM于點C,D.

(1)求NC8O的度數(shù)；

(2)當(dāng)點P運(yùn)動時，ZAPB與/ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，

請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由；若變化，請寫出變化規(guī)律.

(3)當(dāng)點P運(yùn)動到使時，NABC的度數(shù)是.

16.長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看

江水及兩岸河堤的情況.如圖1,燈A射線自AM順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈8

射線自BP順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動的速度是

a度/秒，燈8轉(zhuǎn)動的速度是6度/秒，且a、6滿足|a-3例+(a+b-4)2=0.假定這一帶

長江兩岸河堤是平行的，即PQ//MN,且NBAN=45°

(1)求a、b的值；

(2)若燈8射線先轉(zhuǎn)動20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈8射線到達(dá)8。之前，A燈

轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？

(3)如圖2,兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達(dá)AN之前.若A射出的光束與8射出的光

束交于點C,過C作COLAC交P。于點。，則在轉(zhuǎn)動過程中，N3AC與的數(shù)量

關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請求出其取值范圍.

17.已知AM〃CN,點8為平面內(nèi)一點，ABLBC^-B.

（1）如圖1,直接寫出NA和NC之間的數(shù)量關(guān)系;

（2）如圖2,過點2作2。_L4M于點。，求證：NABD=NC；

（3）如圖3,在（2）間的條件下，點E、尸在。M上，連接BE、BF、CF,BF平分/

DBC,BE平分NA3D,若/尸C2+/NCP=180°,NBFC=3NDBE,求/EBC的度

數(shù).

18.已知AB〃C。，點M在直線AB上，點N、。在直線CD上，點尸在直線A3、CD之間，

NAMP=NPQN=a,PQ平分NMPN.

（1）如圖①，求NMP。的度數(shù)（用含a的式子表示）；

（2）如圖②，過點。作。E〃/W交PM的延長線于點E,過E作EF平分/PE。交尸。

于點?請你判斷所與P。的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖③，在（2）的條件下，連接EN,若NE平分/PNQ,請你判斷/NEF與NAMP

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

19.已知：射線OP〃AE

(1)如圖1,NA。尸的角平分線交射線AE與點8,若NBOP=58°,求/A的度數(shù).

(2)如圖2,若點C在射線AE上，OB平分/AOC交AE于點8,OD平分/COP交

AE于點。，ZADO=39°,求/AB。-/AOB的度數(shù).

(3)如圖3,若NA-”,依次作出/AOP的角平分線08,/8。尸的角平分線。為，Z

物。尸的角平分線。歷，NB"」。尸的角平分線08",其中點8,Bi,B2,…,Bn-1,Bn

都在射線AE上，試求NA3Q的度數(shù).

20.如圖1,AB//CD,直線交A8于點E,交CQ于點F,點G在CZ)上，點P在直線

EF左側(cè)、且在直線AB和CD之間，連接PE、PG.

(1)求證：ZEPG=ZAEP+ZPGC；

(2)連接EG,若EG平分/PEF,ZAEP+ZPGE=HO°,/PGC=L/EFC,求/

2

AEP的度數(shù)；

(3)如圖2,若EF平分NPEB,/PGC的平分線所在的直線與EF相交于點”，則/

EPG馬NEHG之間的數(shù)量關(guān)系為.

參考答案:

1.如圖1,已知直線CZ)〃ER點A、2分別在直線CD、直線EF上，尸為兩平行線間一

圖1圖2圖3

猜想

(1)猜想/DAP,ZFBP,/AP8之間有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

應(yīng)用

(2)利用(1)的結(jié)論解答：

①如圖2,APi,8P1分別平分/D4P、ZFBP,請你直接寫出/尸與/尸1的數(shù)量關(guān)系，

不需要說明理由；

②如圖3,AP2、8P2分別平分/CAP、ZEBP,若求/AP2B的大小(用含a

的代數(shù)式表示).

【解答】解：(1)NAPB=/DAP+NFBP,理由如下：

過尸作PM〃CZ),如圖，

C—4--------D

E-B--------尸

：.ZAPM^ZDAP,

,JCD//EF,

J.PM//CD,

ZMPB=ZFBP,

：.ZAPM+ZMPB=ZDAP+ZFBP.

BPZAPB=ZDAP+ZFBP；

(2)①結(jié)論：NP=2/Pi；

理由：由(1)可知：ZP^ZDAP+ZFBP,ZPi=ZDAP1+ZFBP1,

,：ZDAP^2ZDAPi,NFBP=2NFBPi,

：.ZP=2ZPi.

故答案為：ZP=2ZPi；

②由①得NAP8=ZDAP+ZFBP,AAPiB=ZCAP2+ZEBP2,

：AP2、BP2分別平分/CAP、ZEBP,

：.ZCAP2=—ZCAP,ZEBP2=—ZEBP,

22

ZAP2B=AzCAP+AZEBP

22

=』(180°-NDAP)+▲(180°-ZFBP)

22

=180°(ZDAP+ZFBP)

2

=180°-AZAPB

2

=180°-1a.

2

2.AB//CD,直線EP交AB于點E,交CO于點F,點G在CD上，點尸在直線EF右側(cè)、

且在直線AB和CD之間，連接PE、PG.

(1)如圖1,求證：NEPG=/BEP+/PGD；

(2)如圖1,連接EG,若EG平分/PEF,ZBEP+ZPGE^110°,ZPGD^-^-ZEFD,

2

NPGD=30°.求4BEP的度數(shù)；

(3)如圖2,若斯平分/PEA,/PGO的平分線GN所在的直線與所相交于點X,則

NEPG與/E”G之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖1

'：AB//CD,

；.NBEP=/GMP,

ZEPG是APGM的外角，

NEPG=/PMG+/PGD=ZBEP+ZPGD；

圖】

?；/BEP+/PGE=110°,

：.ZPGE^UQ°-ZBEP,

由(1)知：ZEPG^ZBEP+ZPGD,

ZPGD^—ZEFD,NPGZ)=30°.

2

AZEFD=6Q°,ZEPG=ZBEP+30°,

'：AB//CD,

：.ZEFD+ABEF=\^°,

：.ZBEF=120°,

；EG平分/PEF,

：.ZPEG=—ZPEF=^-(120°-ZBEP)=60°-工/BEP,

222

VZPEG+ZEPG+ZPGE=180°,

：.60°--ZBEP+ZBEP+300+110°-ZBEP=180°,

2

解得/8EP=40°；

(3)平分NPEA,

可設(shè)/AEF=ZPEF=a,

'：AB//CD,

：.NGFE=/BEF=a,

在四邊形PGFE中，ZPGF=360°-/EOG-2a,

.\ZPGD=180°-(360°-ZEPG-2a)=NEPG+2a-180°,

,?ZEFG是△FGH的外角,

/FGH=ZEFG-NEHG=a-ZEHG,

又,：GN平■分/PGD,

：.ZPGD=2NGD=2ZFGH,

KPZEPG+2a-180°=2(a-NEHG),

整理可得，/EPG+2/EHG=180°.

3.如圖，直線AB//CD,直線EF與AB、CD分別交于點G、H,ZEHD=a(0°<a<

90°).小安將一個含30°角的直角三角板PMN按如圖①放置，使點N、M分別在直

線AB、CD上,且在點G、X的右側(cè)，NP=90°,NPMN=60°.

(1)填空：ZPNB+ZPMD=ZP(填“>”或“=”)；

(2)若/MNG的平分線N。交直線CD于點。，如圖②.

①當(dāng)NO//EF,PM//EF時，求a的度數(shù)；

②小安將三角板PMN保持〃跖并向左平移，在平移的過程中求/MON的度數(shù)(用

含a的式子表示).

/PNB=ZNPQ,

,JAB//CD,

J.PQ//CD,

：.ZPMD^ZQPM,

：.NPNB+/PMD=ZNPQ+ZQPM=ZMPN,

故答案為：=

(2)①。：NO〃EF,PM//EF,

J.PO//PM,

：?NONM=NNMP,

■:NPMN=6U°,

：?/ONM=NPMN=60°,

,:NO平分/MNO,

：?/ANO=/ONM=60°,

U：AB//CD,

：.ZNOM=ZANO=60°,

a=XNOM=60°；

②點N在G的右側(cè)時，如圖②,

9

：PM//EF9ZEHD=a.

：.ZPMD=a,

：.ZNMD=60°+a,

*：AB//CD,

:./ANM=/NMD=60°+a,

■:NO平分/ANM,

：.ZANO=—ZANM=30°+2a,

22

*：AB//CD,

：.ZMON=ZANO=30°+—a；

2

點N在G的左側(cè)時，如圖，

?；PM〃EF,ZEHD=a,

:./PMD=a,

:.NNMD=60°+a,

'JAB//CD,

:.NBNM+/NMO=180°,/BNO=/MON,

■:NO平%/MNG,

...NBNO=1[180°-(60°+a)]=60°-▲(!，

22

ZMON=60°-—a>

2

綜上所述，NMON的度數(shù)為30°+1a或60°-a.

22

4.問題探究：

如圖①，已知AB〃CD,我們發(fā)現(xiàn)NE=/B+N。.我們怎么證明這個結(jié)論呢？

張山同學(xué)：如圖②，過點E作E尸〃A8,把/BED分成與NDEP的和，然后分別

證明/8EF=/8,ZDEF=ZD.

李思同學(xué)：如圖③，過點8作8/〃。E,則/E=/E3R再證明

問題解答：

(1)請按張山同學(xué)的思路，寫出證明過程；

(2)請按李思同學(xué)的思路，寫出證明過程；

問題遷移：

(3)如圖④，已知AB〃C。，EF平分/AEC,FD平分NEDC.若NCED=3/F,請直

接寫出/斤的度數(shù).

±s;

>F——'

D^~----------CC

圖①圖②圖③圖④

【解答】解：(1)如圖②中，過點E作E尸〃A3,

*：AB//CD,EF//AB,

：.AB//EF//CD,

：.ZB=ZBEF,ZD=ZCEF,

：.ZBED=/BEF+/DEF=/B+/D.

(2)如圖③中，過點2作8尸〃DE交CD的延長線于G.

圖③

?:DE〃FG,

:?/EDC=/G,ZDEB=ZEBF,

U：AB//CG,

：.ZG=ZABFf

：.ZEDC=ZABF,

：.ZDEB=ZEBF=ZABE+ZABF=/ABE+/EDC.

圖④

?.?EF平分NAEC,FD平分NEDC,

；.NAEF=NCEF,NCDF=NEDF,

設(shè)NAE/=NCEF=x,/CDF=/EDF=y,貝!]N^=x+y,

'：ZCED=3ZF,

：.ZCED=3x^y,

'：AB//CD,

：.ZBED=ZCDE=2y,

VZAEC+ZCED+ZDEB=ISO°,

A5x+5y=180°,

，x+y=36°,

：.ZF=36°.

5.如圖1,AB〃CD,點、E,廠分別在直線CD,AB上，NBEC=2/BEF,過點A作AG,

BE的延長線交于點G,交CD于點N,AK平分N3AG,交EF于點H,交BE于點M.

BB

A

-CK~~D-CK~~D

圖1'圖2'

(1)直接寫出NA”E,ZFAH,/KEH之間的關(guān)系：/AHE=/FAH+/KEH.

(2)若NBEF=L/BAK,求/AHE.

2

(3)如圖2,在(2)的條件下，將△KHE繞著點E以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋

轉(zhuǎn)時間為,,當(dāng)KE邊與射線皮)重合時停止，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△KHE的其中一邊與

△ENG的某一邊平行時，直接寫出此時f的值.

【解答】解：(1)-：AB//CD,

/KEH=ZAFH,

?/ZAHE是△AHF的外角，

/AHE=ZAFH+ZFAH,

：.ZAHE=ZFAH+ZKEH.

故答案為：ZAHE=ZFAH+ZKEH；

(2)'：AB//CD,

：.ZBAK=ZMKE,/ABE=ABEC,

,?,ZBEF=yZBAK>

：.ZBAK=2ZBEF,

■:/BEC=2NBEF,

：.NBAK=ZBEC,

：.NBAK=ZABE,

；.AK平分/BAG,

NBAK=NGAK=ZABE,

:AGtBE,

：.ZAGB=90°,

：.3ZBAK=90°,

ZBAK=NABE=ZGAK=30",

?■?ZBEF=yZABE=15°-

；./。￡尸=45

；?NCEF=NAFE=45°,

；?NAHE=NAFE+NBAK=75°.

(3)①當(dāng)KH〃NG時，延長KE交GN邊于P,

K

*：ZEKH=ZEPG=30°,

AZPEG=90°-NEPG=6。。,

?:/GEN=90°-ENG=30°,

???ZPEN=/PEG-/GEN=30°,

；?NCEK=/PEN=30°,

工當(dāng)AKHE繞E點旋轉(zhuǎn)30°時，EK//GN,

國=6秒,

b

②當(dāng)KH〃石G時,

；?NEKH=NKEG=30°,

AZNEK=ZNEG+ZKEG=60°,

:?NNEK=60°,

：.ZCEK=120°,

???當(dāng)△KHE繞點E旋轉(zhuǎn)120。時，HK//EG,

t里=24秒，

b

③當(dāng)KH〃EN時，即EK與EG在同一直線上時,

：.ZCEK=150°,

.?.當(dāng)△KHE繞點E1旋轉(zhuǎn)150°時，KH//EN,

t導(dǎo)=3。秒，

D

：.當(dāng)△KEH的其中一邊與aENG的某一邊平行時t的值為6秒或24秒或30秒.

④當(dāng)KE〃NG時,

■:/GEN=30°,

：.ZCEK=90°一NGEK=60°.

???當(dāng)AKHE旋轉(zhuǎn)60°時，KE//NG.

**?t^^-=12（秒）?

b

⑤當(dāng)HE〃NG時，

9：ZGEK=30°,ZKEH=45°,

AZCEK=ZCEH+ZHEK=90°-/GEK+NHEK=105；

???當(dāng)△KHE旋轉(zhuǎn)105°時，HE//NG.

?*-t=^^-=21（秒）?

5

當(dāng)△KEH的其中一邊與AENG的某一邊平行時t的值為6秒或24秒或30秒或12秒或

21秒.

6.如圖1,已知AB〃CZ）,BE平分/ABD,DE平分NBDC.（NA3。的度數(shù)大于90°小

于120°)

(1)求證：NBED=90°；

(2)若點尸為射線BE上一點，ZEDF=a,/A2尸的角平分線8G與NC￡＞尸的角平分

線DG交于點G,試用含a的式子表示的大小；

(3)延長BE交CD于點”，點尸為線段8”上一動點，/ABb鄰補(bǔ)角的角平分線與/

C￡)尸鄰補(bǔ)角的角平分線OG交于點G,探究/BG。與/。之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫

出結(jié)論：2NBGD+/BFD=360°.（題中所有的角都是大于0°小于180°的角）

圖1備用圖備用圖

【解答】(1)證明：平分NAB。，

:./EBD=L/ABD,

2

?.?。￡平分/8。。，

:./EDB=L/BDC,

2

:./EBD+/EDB=L(ZABD+ZBDC),

2

'：AB//CD,

：.AABD+ABDC=\^a,

ZEBD+ZEDB=9Q°,

.\ZB￡D=180°-(ZEBD+ZEDB)=90°.

(2)①當(dāng)點G在A3、CD之間且點尸在BE延長線上，如圖2,

由(1)知：NEBD+NEDB=90°,

又：NABZ)+NB￡)C=180°,

/.ZABE+ZEDC^90°,

BPZABE+a+ZFDC=90°,

「BG平分/ABE,Z)G平分/CDF,

ZABE=2ZABG,ZCDF=2ZCDG,

：.2ZABG+2ZCDG=900-a,

過點G作GH//AB,

'：AB//CD,

J.GH//AB//CD

：.NABG=ZBGH,NHGD=ZCDG,

：./BGD=ZBGH+ZHGD^ZABG+ZCDG=^-~：

2

②當(dāng)點G在A3、CO之間且點尸在線段BE上，如圖2-1,

由（1）知：NEBD+NEDB=90°,

又?.?/A8O+/BOC=180°,

ZABE+ZEDC=90°,

即ZABE+ZFDC-a=90°,

,.,BG平分/ABE,OG平分NCDF,

/.ZABE^2ZABG,ZCDF=2ZCDG,

：.2ZABG+2ZCDG=900+a,

過點G作GH//AB,

'：AB//CD,

：.GH//AB//CD

：.ZABG=Z.BGH,ZHGD=ZCDG,

：.NBGD=ZBGH+ZHGD^ZABG+ZCDG=^~—

2

同理可得：ZABE+ZEDC=9Q°,

BPZABE+a-ZFDC=90°,

?13G平分NA3E,DG平分NCDF,

：.ZABE=2ZABG,ZCDF=2ZCDG,

：.2ZABG+2ZCDG=90°-a,

過點G作G"〃A5

*：AB//CD,

J.GH//AB//CD

:?NABG=NBGH,NHGD=NCDG,

：.ZBGD=ZBGH+ZHGD=ZABG+ZCDG=^―：

2

綜上，NBGD=90。-a或90。+a；

22

(3)如圖4,過點F、G分別作FN〃A8、GM//AB,

'：AB//CD,

：.AB//GM//FN//CD,

：./3=NBFN,Z5=ZDFN,Z4=ZBGM,Z6=ZDGM,

：.ZBFD=ZBFN+ZDFN=Z3+Z5,

NBGD=/BGM+NDGM=Z4+Z6,

?.?皮?平分/尸8尸，DG平分/FDQ,

；.N4=NFBP=(180°-Z3),

/6=/FDQ=(180°-Z5),

：.NBFD+/BGD=Z3+Z5+Z4+Z6,

=Z3+Z5+(180°-Z3)+(180°-Z5),

=180°+(Z3+Z5),

=180°+ZBFD,

整理得：2/BGD+/BFD=360°.

故答案為：2NBGD+/BFD=360°.

7.如圖1,將一副直角三角板放在同一條直線A8上，其中NONM=30°,Z00)=45

(1)觀察猜想

將圖1中的三角尺沿A2的方向平移至圖②的位置，使得點。與點N重合，CD與

MN相交于點E,則/C￡N=105°.

(2)操作探究

將圖1中的三角尺0C。繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使一邊。。在NMON的內(nèi)部，如圖

3,且。。恰好平分NMON,與M0相交于點E,求/CEN的度數(shù)；

(3)深化拓展

將圖1中的三角尺0CD繞點。按沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)邊0C

旋轉(zhuǎn)75或255°時，邊C。恰好與邊平行.(直接寫出結(jié)果)

【解答】解：(1)?；/ECN=45°,/ENC=30°,

：.ZCEN=105°.

故答案為：105°.

(2)YOD平分/MON,

：.ZDON=^ZMON=^X9Q°=45°,

22

：.ND0N=/D=45°,

J.CD//AB,

；./CEN=180°-ZWO=180°-30°=150°；.

(3)如圖1,CD在AB上方時，設(shè)OM與CO相交于尸，

CD//MN,

：.Z0FD^ZM=60°,

在△0。尸中，ZMO￡>=180°-ZD-ZOFD,

=180°-45°-60°,

=75°,

當(dāng)CO在AB的下方時，設(shè)直線OM與CD相交于F,

■:CD//MN,

：.ZDFO=ZM=60°,

在尸中，ZDOF=180°-ZD-ZZ)FO=180°-45°-60°=75°,

.?.旋轉(zhuǎn)角為75°+180°=255°,

綜上所述，當(dāng)邊0C旋轉(zhuǎn)75°或255°時，邊C。恰好與邊平行.

故答案為：75或255.

8.已知，AB〃C。，點E為射線FG上一點.

(1)如圖1,若NEAF=30°,ZEDG=40°,則NAED=70°；

(2)如圖2,當(dāng)點E在尸G延長線上時，此時C。與AE交于點X,則乙4即、ZEAF,

/EOG之間滿足怎樣的關(guān)系，請說明你的結(jié)論；

(3)如圖3,DI平分/EDC,交AE于點K,交4/于點/,且NEA/：NBAI=1：2,Z

AED=22°,ZZ=20°,求/EKZ)的度數(shù).

'：AB//CD,

：.ZD=ZAHE=4Q°,

ZAED是AAEH的外角，

/.ZAED=ZA+ZAH￡=30°+40°=70°,

故答案為：70；

(2)ZEAF=ZAED+ZEDG.

理由：'：AB//CD,

：./EAF=ZEHC,

'：ZEHC是ADEH的外角，

/EHG=/AED+NEDG,

：.ZEAF^ZAED+ZEDG；

(3)ZEAh2,

.?.設(shè)NEA/=a,則NBAE=3a,

：NA即=22°,Z/=20°,ZDKE=ZAKI,

又〈/EDK+/DKE+NDEK=18Q°,ZKAI+ZKIA+ZAKI=180°,

：.ZEDK^a-2°,

?.?￡>/平分NEZJC,

AZCDE=2ZEDK=2a-4°,

'：AB//CD,

/EHC=NEAF=ZAED+ZEDG,

即3a=22°+2a-4°,

解得a=18°,

：.ZEDK=16°,

.?.在△OKE中，NEKD=180°-16°-22°=142°.

9.已知：直線a〃6,點A和點8是直線。上的點，點C和點。是直線6上的點，連接AD,

BC,設(shè)直線和BC交于點E.

圖3

（1）在如圖1所示的情形下,若ADLBC,求乙43E+NCDE的度數(shù)（提示：可過點E

^EG//AB）；

（2）在如圖2所示的情形下,若平分/ABC,。尸平分NAOC,且與交于點

F,當(dāng)/ABC=64°,/ADC=12°時，求NBFD的度數(shù).

（3）如圖3,當(dāng)點8在點A的右側(cè)時，若平分NABC,。尸平分NAOC,且DF

交于點孔設(shè)NA8C=a,ZADC=P，用含有a,0的代數(shù)式表示/BED的補(bǔ)角.（直

接寫出結(jié)果即可）

【解答】解：（1）過點E作EG〃AB,

?:a"b.

J.EG//CD,

：.ZABE=/BEG,ZCDE=NDEG,

：.NABE+NCDE=NBEG+NDEG=/BED,

*：AD±BC,

:?NABE+/CDE=NBED=90°；

圖2

9：a//b,

:?FH〃CD,

:?/ABF=/BFH,/CDF=/DFH,

：.ZBFD=ZABF+ZCDF=ZBFH+ZDFH,

?/B/平分NABC,。尸平分NA。。，ZABC=64°,ZADC=72°,

AZABF=^-^/ABC=32°,ZCDF=^/ADC=36°,

AZBFD=ZABF+ZCDF=68°；

(3)如圖，過點尸作";〃A3,

C.FQ//CD,

：.ZABF+ZBFQ=iSO°,ZCDF=ZDFQ,

：.ZBFD=ZBFQ+ZDFQ=180°-/ABF+/CDF

尸平分NABC,平分NA。。，ZABC=a,ZA￡)C=p,

JZABF=^7ABC=^-Q,ZCDF=7ADC=—R,

2222y

ZBFZ)=180°-ZABF+ZCZ)F=180°-a+工B，

22P

/.NBFD的補(bǔ)角=La-工B.

22

10.(1)證明：兩條平行線被第三條直線所截，一對同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直.

己知：如圖①，AB//CD,直線分別交直線AB,CD于點E,F,OE、OE分別平

分/AEF、NCFE.

求證：OELOF.

①②③

(2)如圖②，AB//CD,點E、/分別在直線A8、CD±,EM//FN,NAEM與/CFN

的角平分線相交于點O.求證：EOLFO.

(3)如圖③，AB//CD,點E、F分別在直線AB、C。上，EM//PN,MP//NF,ZAEM

與NCWV的角平分線相交于點O,/尸=102。，求/。的度數(shù).

【解答】(1)己知：如圖①，AB//CD,直線分別交直線A8,CZ)于點E,F,OE、

。廠分別平分/AE尸、NCFE,

求證：OE1OF；

證法1：\'AB//CD,

：.ZAEF+ZCFE=180°,

?：OE、OF分另U平分/AEF、ZCFE,

：.ZOEF+ZOFE=^ZAEF+^ZCFE^90°.

22

ZOEF+ZOFE+ZEOF=180°,

：.ZEOF=9Q°.

J.OELOF-,

證法2：如圖，過點。作。尸〃CD交直線MN于點尸.

①

9：AB//CD,

：.ZAEF+ZCFE=180°,

TOE、。尸分別平分NAE/、NCFE,

：.ZAEO+ZCFO=^ZAEF^ZCFE=90°.

22

VOP//CD,AB//CD,

：.OP//AB.

：.ZEOF=ZEOP+ZPOF=ZAEO+ZCFO=90°.

??.OE±OF；

故答案為：直線MN分別交直線AB,CD于點E,F,OE、QF分別平分NAEF、NCFE,

OELOF；

(2)證明：如圖，延長EM交CO于點G,過點。作。尸〃CD交ME于點P,

②

\9AB//CD,

：.ZAEG+ZCGE=180°,

*：EM//FN,

：.ZCGE=ZCFN.

YOE、。廠分別平分NAEM、ZCFN,

：.NAEO+NCR?T/AEM+工NCFN=」NAEM+」NCGE=90。,

2222

VOP//CD,AB//CD,

C.OP//AB.

：.ZEOF=NEOP+NPOF=ZAE0+ZCF0=9Q°.

J.OELOF-,

(3)解：如圖，延長EM、FN交于點Q,過點。作。G〃C。交ME于點G.

③

'：EM//PN,FN//MP,

：.ZEQF=ZEMP=ZP=102°,

由(1)證法2可知/4后〃+/。印=/￡。尸=102°,

YOE、。尸分別平分NAEM、ZCFN,

：./EOF=ZAEO+ZCFO

=AZAEM+^-ZCFN^Ax102°=51°.

222

11.已知，AE//BD,ZA=ZD.

(1)如圖1,求證：AB//CD；

(2)如圖2,作/BAE的平分線交CD于點R點G為AB上一點，連接FG,若NCBG

的平分線交線段AG于點X,求證：NECF+2NAFH=NE+2NBHF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接AC,ZACE=ZBAC+ZBGM,過點H作

，“交FG的延長線于點且2/E-3/AFH=20°,求NEAF+NGM/f的度數(shù).

【解答】(1)證明：

/.ZA+ZB=180°,

,/ZA=ZD,

：.ZD+ZB=1SQ°，

：.A