2024屆江蘇省鹽城市建湖中學、大豐中學等四校高二數學第一學期期末質量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，則以下說法不正確的是（）A. B.C. D.2．在等比數列{an}中，a3，a15是方程x2+6x+2=0的根，則的值為（）A. B.C. D.或3．橢圓的（）A.焦點在x軸上，長軸長為2 B.焦點在y軸上，長軸長為2C.焦點在x軸上，長軸長為 D.焦點在y軸上，長軸長為4．已知，分別為橢圓的左右焦點，為坐標原點，橢圓上存在一點，使得，設的面積為，若，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.5．設斜率為2的直線l過拋物線（）的焦點F，且和y軸交于點A，若（O為坐標原點）的面積為4，則拋物線方程為（）A. B.C. D.6．已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件7．美學四大構件是：史詩、音樂、造型（繪畫、建筑等）和數學．素描是學習繪畫的必要一步，它包括明暗素描和結構素描，而學習幾何體結構素描是學習素描最重要的一步．某同學在畫切面圓柱體（用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體，原圓柱的母線被截面所截剩余的部分稱為切面圓柱體的母線）的過程中，發現“切面”是一個橢圓，若切面圓柱體的最長母線與最短母線所確定的平面截切面圓柱體得到的截面圖形是有一個底角為60度的直角梯形，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.8．已知正四面體的底面的中心為為的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.9．已知空間向量，，，下列命題中正確的個數是（）①若與共線，與共線，則與共線；②若，，非零且共面，則它們所在的直線共面；⑧若，，不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一有序實數組，使得；④若，不共線，向量，則可以構成空間的一個基底.A.0 B.1C.2 D.310．中國大運河項目成功人選世界文化遺產名錄，成為中國第46個世界遺產項目，隨著對大運河的保護與開發，大運河已成為北京城市副中心的一張亮麗的名片，也成為眾多旅游者的游覽目的地．今有一旅游團乘游船從奧體公園碼頭出發順流而下至漕運碼頭，又立即逆水返回奧體公園碼頭，已知游船在順水中的速度為，在逆水中的速度為，則游船此次行程的平均速度V與的大小關系是（）A. B.C. D.11．為了更好地解決就業問題，國家在2020年提出了“地攤經濟”為響應國家號召，有不少地區出臺了相關政策去鼓勵“地攤經濟”.某攤主2020年4月初向銀行借了免息貸款8000元，用于進貨，因質優價廉，供不應求，據測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續，預計到2021年3月底該攤主的年所得收入為（）（取，）A.24000元 B.26000元C.30000元 D.32000元12．由于受疫情的影響，學校停課，同學們通過三種方式在家自主學習，現學校想了解同學們對假期學習方式的滿意程度，收集如圖1所示的數據；教務處通過分層抽樣的方法抽取4%的同學進行滿意度調查，得到的數據如圖2.下列說法錯誤的是（）A.樣本容量為240B.若，則本次自主學習學生的滿意度不低于四成C.總體中對方式二滿意學生約為300人D.樣本中對方式一滿意的學生為24人二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設為三角形的一個內角，已知曲線：，則可能是___________.（寫出不同曲線的名稱，盡可能多.注：在一些問題情景中，直線可以理解成是特殊的曲線）14．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子來研究數．用一點（或一個小石子）代表1，兩點（或兩個小石子）代表2，三點（或三個小石子）代表3，…他們研究了各種平面數（包括三角形數、正方形數、長方形數、五邊形數、六邊形數等等）和立體數（包括立方數、棱錐數等等）．如前四個四棱錐數為第n個四棱錐數為1+4+9+…+n2＝．中國古代也有類似的研究，如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…若一個“三角垛”共有20層，則第6層有____個球，這個“三角垛”共有______個球15．已知平面和兩條不同的直線，則下列判斷中正確的序號是___________.①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；16．圓關于直線對稱的圓的方程為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，為正三角形，且側面底面ABCD，（1）求證：平面ACM；（2）求平面MBC與平面DBC的夾角的大小18．（12分）已知函數（1）當時，求的單調區間；（2）當時，證明：存在最大值，且恒成立.19．（12分）已知曲線：.（1）若曲線是雙曲線，求的取值范圍；（2）設，已知過曲線的右焦點，傾斜角為的直線交曲線于A，B兩點，求.20．（12分）已知函數，（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求實數的取值范圍21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的左，右焦點分別為F1（﹣，0），F2（，0），且橢圓C過點（﹣）.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設過（0，﹣2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，O為坐標原點，若，求直線l的方程.22．（10分）已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點到焦點的距離為6.（1）求拋物線的方程；（2）若不過原點的直線與拋物線交于A、B兩點，且，求證：直線過定點并求出定點坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】可根據已知的和的坐標，通過計算向量數量積、向量的模，即可做出判斷.【詳解】因為向量，，所以，故，所以選項A正確；，，所以，故選項B正確；，所以，故選項C錯誤；，所以，，故，所以選項D正確.故選：C.2、B【解析】由韋達定理得a3a15=2，由等比數列通項公式性質得：a92=a3a15=a2a16=2，由此求出答案【詳解】解：∵在等比數列{an}中，a3，a15是方程x2-6x+2=0的根，∴a3a15=2＞0，a3+a15=-6<0∴a2a16=a3a15=2，a92=a3a15=2，∴a9=，∴，故選B【點睛】本題考查等比數列中兩項積與另一項的比值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數列的性質的合理運用3、B【解析】把橢圓方程化為標準方程可判斷焦點位置和求出長軸長.【詳解】橢圓化為標準方程為，所以，且，所以橢圓焦點在軸上，，長軸長為.故選：B.4、D【解析】由可得直角三角形，故，且，結合，聯立可得，即得解【詳解】由題意，故為直角三角形，，又，，又為直角三角形，故，，即，.故選：D.5、B【解析】根據拋物線的方程寫出焦點坐標，求出直線的方程、點的坐標，最后根據三角形面積公式進行求解即可.【詳解】拋物線的焦點的坐標為，所以直線的方程為：，令，解得，因此點的坐標為：，因為面積為4，所以有，即，，因此拋物線的方程為.故選：B.6、C【解析】根據充要條件的定義進行判斷【詳解】解：因為函數為增函數，由，所以，故“”是“”的充分條件，由，所以，故“”是“”的必要條件，故“”是“”的充要條件故選：C7、A【解析】設圓柱的底面半徑為，由題意知，，橢圓的長軸長，短軸長為，可以求出的值，即可得離心率.【詳解】設圓柱的底面半徑為，依題意知，最長母線與最短母線所在截面如圖所示從而因此在橢圓中長軸長，短軸長，，故選：A【點睛】本題主要考查了橢圓的定義和橢圓離心力的求解，屬于基礎題.8、B【解析】連接，再取中點，連接，得到為直線與所成角，再解三角形即可.【詳解】連接，再取中點，連接，因為分別為VC，中點，則，且底面,所以為直線與所成角，令正四面體邊長為1，則，,，所以，故選：.9、B【解析】用向量共線或共面的基本定理即可判斷.【詳解】若與，與共線，，則不能判定，故①錯誤；若非零向量共面，則向量可以在一個與組成的平面平行的平面上，故②錯誤；不共面，意味著它們都是非零向量，可以作為一組基底，故③正確；，∴與共面，故不能組成一個基底，故④錯誤；故選：C.10、A【解析】求出平均速度V，進而結合基本不等式求得答案.【詳解】易知，設奧運公園碼頭到漕運碼頭之間的距離為1，則游船順流而下的時間為，逆流而上的時間為，則平均速度，由基本不等式可得，而，當且僅當時，兩個不等式都取得“=”，而根據題意，于是.故選：A.11、D【解析】設，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，由題意得出的遞推關系，變形構造出等比數列，由得其通項公式后可得結論【詳解】設，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，，、同理可得，所以，而，所以數列是等比數列，公比為，所以，，總利潤為故選：D【點睛】思路點睛：本題考查數列的實際應用．解題方法是用數列表示月初進貨款，得出遞推關系，然后構造等比數列求解12、B【解析】利用扇形統計圖和條形統計圖可求出結果【詳解】選項A，樣本容量為，該選項正確；選項B，根據題意得自主學習的滿意率，錯誤；選項C，樣本可以估計總體，但會有一定的誤差，總體中對方式二滿意人數約為，該選項正確；選項D，樣本中對方式一滿意人數為，該選項正確.故選：B【點睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查扇形統計圖和條形統計圖等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、焦點在軸上的橢圓，焦點在軸上的雙曲線，兩條直線.【解析】討論，和三種情況，進而根據曲線方程的特征得到答案.【詳解】若，則曲線：，而，曲線表示焦點在y軸上的橢圓；若，則曲線：或，曲線表示兩條直線；若，則曲線：，而，曲線表示焦點在x軸上的雙曲線.故答案為：焦點在y軸上橢圓，焦點在x軸上的雙曲線，兩條直線.14、①.21②.1540【解析】根據題中給出的圖形，結合題意找到各層球的數列與層數的關系，得到＝，由此可求的值，以及前20層的總球數【詳解】由題意可知，，故＝＝，所＝＝21，所以S20＝a1+a2+a3+a4+??+a20＝（12+22+32+??+202）+（1+2+3+??+20）＝×+×＝1540故答案為：21；154015、②④【解析】根據直線與直線，直線與平面的位置關系依次判斷每個選項得到答案.詳解】若，則或，異面，或，相交，①錯誤；若，則，②正確；若，則或或與相交，③錯誤；若，則，④正確；故答案為：②④.16、【解析】求出圓心關于直線對稱點，從而求出對稱圓的方程.【詳解】圓心為，半徑為1，設關于對稱點為，則，解得：，故對稱點為，故圓關于直線對稱的圓的方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）30°【解析】（1）連接BD，借助三角形中位線可證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法直接可求.【小問1詳解】連接BD，與AC交于點O，在中，因為O，M分別為BD，PD的中點，則，又平面ACM，平面ACM，所以平面ACM.【小問2詳解】設E是AB的中點，連接PE，因為為正三角形，則，又因為平面底面ABCD，平面平面，則平面ABCD，過點E作EF平行于CB，與CD交于點F，以E為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，，，所以，，設平面CBM的法向量為，則，令，則，因為平面ABCD，則平面ABCD的一個法向量為，所以，所以平面MBC與平面DBC所成角大小為30°18、（1）的單增區間為，；單減區間為，，；（2）證明見解析.【解析】（1）先求出函數的定義域，求出，由，結合函數的定義域可得出函數的單調區間.(2)當時，定義域R,求出，從而得出單調區間，由當時，，當時，，以及極值點與2的大小關系可得出當時，函數有最大值，然后再證明即可.【詳解】解：（1）定義域，可得且且，，可得且3無0無0減無減增無增減所以，的單增區間為，；單減區間為，，.（2）當時，定義域R因為，當時，，當時，，所以的最大值在時取得；由，即，得由，得，或由，得所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減.當時，，且，由所以當時，函數有最大值.所以，因為，所以,設，則所以化為由，則，則，所以所以19、（1）（2）【解析】（1）利用雙曲線的標準方程直接列不等式組，即可求解；（2）先求出直線l的方程為:，利用“設而不求法”和弦長公式求弦長.【小問1詳解】要使曲線：為雙曲線，只需，解得：，即的取值范圍.【小問2詳解】當m=0時,曲線C的方程為,可得，所以右焦點，由題意可得直線l的方程為:.設,聯立整理可得：,可得：所以弦長，所以20、（1）；（2）.【解析】（1）求出函數的導數，計算，，求出切線方程即可；（2）問題轉化為，利用導函數求出