新疆烏魯木齊市六校2023?2024學年高一下學期期末聯考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．復數的虛部是（

）A．5 B． C． D．2．每年的3月15日是“國際消費者權益日”，某地市場監督局在當天對某市場的20家肉制品店、100家糧食加工品店和15家乳制品店進行抽檢，用比例分配的分層隨機抽樣的方法從中抽檢54家，則糧食加工品店需要被抽檢（

）A．40家 B．45家 C．50家 D．55家3．向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．一組數據從小到大排列為：，則該組數據的分位數為（

）A．6.5 B．7 C．9 D．125．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．6．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則7．如圖，在平行四邊形中，E，F分別是邊上的兩個三等分點，則下列選項錯誤的是（

）A． B．C． D．8．如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為2，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）.A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知角A，B，C是三角形ABC的三個內角，下列結論一定成立的有（

）A． B．C．若，則 D．若，則10．人均可支配收入和人均消費支出是兩個非常重要的經濟和民生指標,常被用于衡量一個地區經濟發展水平和群眾生活水平．下圖為2018~2023年前三季度全國城鎮居民人均可支配收入及人均消費支出統計圖，據此進行分析，則（

）A．2018~2023年前三季度全國城鎮居民人均可支配收入逐年遞增B．2018~2023年前三季度全國城鎮居民人均消費支出逐年遞增C．2018~2023年前三季度全國城鎮居民人均可支配收入的極差比人均消費支出的極差大D．2018~2023年前三季度全國城鎮居民人均消費支出的中位數為20379元11．如圖，正方體的棱長為1，動點在線段上，分別是的中點，則下列結論中正確的是（

）A． B．當為中點時，C．三棱錐的體積為定值 D．直線到平面的距離為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則.13．已知向量，，且，則實數.14．某同學為測量塔的高度，選取了與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點與，現測得在點測得塔頂A的仰角為，則塔高m.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖為長方體與半球拼接的組合體，已知長方體的長、寬、高分別為10，8，15（單位：cm），球的半徑為3cm，求該組合體的體積和表面積.（，）

16．某燈具配件廠生產了一種塑膠配件，該廠質檢人員某日隨機抽取了100個該配件的質量指標值（單位：分）作為一個樣本，得到如下所示的頻率分布直方圖，則（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）(1)求出m的值；(2)求樣本質量指標值的平均數和第75百分位數；(3)若樣本質量指標值在區間內的平均數和方差為67和51，在區間內的平均數和方差為77和21，據此估計在內的平均數和方差.17．在中，角所對的邊分別是，在下面三個條件中任選一個作為條件，解答下列問題，三個條件為：①；②；③.(1)求角的大小；(2)若，求的值.18．如圖，是平面外一點，四邊形是矩形，⊥平面，，．是的中點．(1)求證：平面；(2)求證：平面⊥平面；(3)求與平面所成角的正弦值．19．歐拉（1707-1783），他是數學史上最多產的數學家之一，他發現并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數和指數函數的關系，若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個量聯系起來，兩個超越數——自然對數的底數，圓周率，兩個單位——虛數單位和自然數單位，以及被稱為人類偉大發現之一的，數學家評價它是“上帝創造的公式”，請你根據歐拉公式：，解決以下問題：(1)將復數表示成（，為虛數單位）的形式；(2)求的最大值；(3)若，則，這里，稱為的一個次單位根，簡稱單位根．類比立方差公式，我們可以獲得，復數，，求的值．

參考答案1．【答案】B【分析】根據復數虛部的概念求解即可.【詳解】復數的虛部是.故選B.2．【答案】A【分析】根據題意，結合分層抽樣的定義和計算方法，即可求解.【詳解】根據分層隨機抽樣定義和計算方法，可得糧食加工品店被抽檢家.故選A.3．【答案】A【分析】根據題意，利用向量的數量積的運算公式和投影向量的運算公式，準確計算，即可求解.【詳解】由向量，，可得，且，則向量在向量上的投影向量為.故選A.4．【答案】D【分析】根據百分位數概念計算即可.【詳解】因為，所以該組數據的分位數是第7個數12.故選D.5．【答案】C【分析】利用正弦定理求出，即可求出.【詳解】由正弦定理，則，又，所以，所以，所以.故選C.6．【答案】D【分析】由空間中的線線，線面，面面間的位置關系逐項分析判斷即可.【詳解】若，，則或，所以A錯誤；因為，，所以，，所以或，所以B錯誤；若，，，則，所以C錯誤；若，，，則與兩面的交線平行，即，故D正確.故選D.7．【答案】D【分析】根據向量加法法則、向量減法法則及平面向量基本定理即可求解.【詳解】對A：由題意知，E，F分別是邊上的兩個三等分點，且與方向相同，則，故A正確；對B：由圖可知，，，所以，故B正確；對C：，故C正確；對D：，故D錯誤.故選D.8．【答案】C【分析】連接，取的中點，連接，，由題意可知，即異面直線與所成角為或其補角，結合余弦定理求解即可.【詳解】連接，取的中點，連接，，因為為棱的中點，所以，即異面直線與所成角為或其補角，在中，，，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選.9．【答案】ACD【分析】根據題意，利用三角形的內角和，以及正弦定理，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，在中，因為，可得，所以A正確；對于B中，由，可得，所以B不正確；對于C中，因為，由正弦定理得，所以，所以C正確；對于D中，因為，可得，由正弦定理得，所以D正確.故選ACD.10．【答案】AC【分析】根據給定的折線圖，結合統計知識逐項分析判斷得解.【詳解】對于A，由題中折線圖知人均可支配收入逐年遞增，A正確；對于B，由題中折線圖知，2018~2023年前三季度全國城鎮居民人均消費支出先增后減再增，B錯誤；對于C，2018~2023年前三季度全國城鎮居民人均可支配收入的極差為（元），人均消費支出的極差為（元），C正確；對于D，2018~2023年前三季度全國城鎮居民人均消費支出的中位數為（元），D錯誤.故選AC.11．【答案】ABC【詳解】連接，正方體中，且，四邊形為平行四邊形，則，因為分別是的中點，所以，故正確;連接，正方體中，．當為中點時，由于,所以，由于，所以，故正確;，在三棱錐中，底面積為定值，棱錐的高等于是定值，三棱錐的體積為定值，則三棱錐體積為定值，故正確;連接由于平面，平面,所以平面，同理可證平面，平面，故平面平面，平面,所以直線平面平行，故直線到平面的距離，即為點到平面的距離，設距離為，,故D錯誤．故選ABC．12．【答案】【分析】根據條件，利用復數的四則運算求出復數，再求其模長即得.【詳解】由可得，，則.故答案為：.13．【答案】【分析】由向量線性運算的坐標表示和向量共線的坐標運算，求的值.【詳解】，由得，解得.故答案為：.14．【答案】【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在中，由正切函數的定義即可求得，由此解答即可.【詳解】因為在中，，，，所以，由正弦定理得，即，解得，在中，，所以，故塔高.故答案為：.15．【答案】體積為，表面積.【分析】根據球與長方體的體積公式、表面積公式計算即可.【詳解】該組合體的體積為：，該組合體的表面積為：.16．【答案】(1)；(2)，85；(3)74，51.【分析】(1)由各直方圖面積之和為可得；(2)用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形面積的乘積之和近似代替平均數；比較頻率大小確定第75百分位數所在區間，再利用面積關系求解即可；(3)根據兩組樣本數的比例，先利用各組樣本平均數求兩組的總樣本平均數，再用各組樣本方差與平均數、兩組總樣本平均數求總樣本方差.【詳解】(1)由題意知，解得，(2)樣本質量指標值的平均數為，前3組的頻率之和為，前4組的頻率之和為，故第75百分位數位于第4組，設其為，則，解得，即第75百分位數為85.(3)已知在區間內的平均數和方差為67和51，在區間內的平均數和方差為77和21，則在在內的平均數，在在內的方差.估計在內的平均數為，方差為.17．【答案】(1)所選條件見解析，；(2).【分析】(1)若選①：利用正弦定理結合三角恒等變換分析求解；若選②：利用正弦定理邊化角即可結果；若選③：利用三角恒等變換分析求解；(2)利用余弦定理分析求解.【詳解】(1)若選①：因為，由正弦定理可得，且，則，可得，且，所以；若選②：因為，由正弦定理可得，且，則，可得，且，所以；若選③：因為，則，可得且，則，可得，且，所以.(2)由(1)可知：，由余弦定理可得：，又，即，解得.18．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】(1)連接BD交AC于點O，連接OE，通過證明即可證明平面；(2)因為，可通過證明得證⊥平面進而得證；(3)設AD的中點為H，連接EH，CH，可證與平面所成角為，由幾何關系可求.【詳解】(1)證明：如圖，連接BD交AC于點O，連接OE．四邊形是矩形O為BD的中點，又E是的中點．．又平面，平面，平面；(2)證明：⊥平面，且四邊形是矩形，，，又，⊥平面；，⊥平面；又平面，平面⊥平面；(3)設AD的中點為H，連接EH，CH，平面ABCD，，平面ABCD，EC是平面ABCD的斜線，HC是EC