習題課不等式恒成立、能成立問題【學(xué)習目標】掌握與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題的解法．題型1在R上的恒成立問題例1若不等式ax2＋(1－a)x＋a－2≥－2對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．學(xué)霸筆記：(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c>0；當a≠0時，a(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c<0；當a≠0時，a(3)不等式ax2＋bx＋c≥0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c≥0；當a≠0時，a(4)不等式ax2＋bx＋c≤0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c≤0；當a≠0時，a跟蹤訓(xùn)練1已知關(guān)于x的不等式2kx2＋kx－38<0的解集為R，求實數(shù)k題型2在給定范圍內(nèi)恒成立的問題例2當－1≤x≤2時，不等式x2＋(m－4)x－5≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．一題多變當x>0時，不等式x2－5x＋4>kx恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．學(xué)霸筆記：(1)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題．①當a>0時，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時的函數(shù)值同時小于0.②當a<0時，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時的函數(shù)值同時大于0.(2)用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為相應(yīng)二次函數(shù)的最值或用基本不等式求最值．跟蹤訓(xùn)練2已知關(guān)于x的方程x2＋x－a－1>0在0≤x≤1上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．題型3不等式能成立問題例3已知關(guān)于x的方程x2＋x－a－1>0在0≤x≤1上有解，求實數(shù)a的取值范圍．學(xué)霸筆記：(1)結(jié)合二次函數(shù)圖象，將問題轉(zhuǎn)化為端點值的問題解決．(2)對一些簡單的問題，可轉(zhuǎn)化為m>ymin或m<ymax的形式，通過求y的最小值與最大值，求得參數(shù)的取值范圍．跟蹤訓(xùn)練3若存在12≤x≤2，使得xx2+k>13(k隨堂練習1.?x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，則a的取值范圍為()A．a(chǎn)<－4B．a(chǎn)<－4或a＝0C．a(chǎn)≤－4D．－4<a<02．已知不等式x2－ax＋1≥0，在0<x<2上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)≤2B．a(chǎn)≤1C．0<a≤2D．0<a≤13．若關(guān)于x的不等式x2－6x＋11－a<0在2<x<5內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)>－2B．a(chǎn)>3C．a(chǎn)>6D．a(chǎn)>24．若關(guān)于x的不等式x2－x＋m<0的解集是?，則實數(shù)m的取值范圍是____________．課堂小結(jié)1.會使用判別式法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合等方法解決不等式恒成立、能成立問題．2．正確區(qū)分不等式恒成立與能成立問題．習題課不等式恒成立、能成立問題例1解析：由題意，ax2＋(1－a)x＋a≥0恒成立，當a＝0時，不等式可化為x≥0，不滿足題意；當a≠0時，滿足a>0即a>01-a2故實數(shù)a的取值范圍是a≥13跟蹤訓(xùn)練1解析：不等式2kx2＋kx－38<0的解集為R若k＝0，不等式為－38<0若k≠0，則有k<0Δ=k2所以不等式的解集為R，實數(shù)k的取值范圍為－3<k≤0.例2解析：令y＝x2＋(m－4)x－5，∵y≤0在－1≤x≤2上恒成立，y＝0的根一個小于等于－1，一個大于等于2，如圖可得1+4-m-∴實數(shù)m的取值范圍為{m|0≤m≤92}一題多變解析：由題意得，k<x2-5x+4x在x>0上恒成立，令y＝x2-由基本不等式得g(x)＝x＋4x－5≥24－5＝－1，當且僅當x＝4x，即x＝所以k<－1，則k的取值范圍是{k|k<－1}．跟蹤訓(xùn)練2解析：由題可知a<x2＋x－1在0≤x≤1上恒成立，令y＝x2＋x－1，只需a<ymin，而ymin＝－1，所以a<－1.例3解析：由x2＋x－a－1>0可得a<x2＋x－1，所以a<x2＋x－1在0≤x≤1上有解，只需a<ymax，因為y＝x2＋x－1＝(x＋12)2－54，0≤x≤所以ymax＝1，所以a<1.跟蹤訓(xùn)練3解析：依題意，存在12≤x≤2，使得xx2+k>1所以3x>x2＋k，k<－x2＋3x，由于函數(shù)y＝－x2＋3x的開口向下，對稱軸為x＝32所以k<－322＋3×32即k的取值范圍是{k|k<94}[隨堂練習]1．解析：?x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，當a＝0時，顯然不恒成立，所以a<0Δ=16+4a<0，解得：a<答案：A2．解析：依題意得x2－ax＋1≥0，ax≤x2＋1，a≤x＋1x，在0<x<2上，x＋1x≥2x·1x＝2，當且僅當x＝1x，x＝1答案：A3．解析：設(shè)y＝x2－6x＋11，開口向上，對稱軸為直線x＝3，所以要使不等式x2－6x＋11－a<0在2<x<5內(nèi)有解，只要a>ymin即可，即a>f(3)