2024屆湖北省武漢為明學校高二上數學期末教學質量檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數與，則它們的圖象交點個數為（）A.0 B.1C.2 D.不確定2．在棱長為4的正方體中，為的中點，點P在正方體各棱及表面上運動且滿足，則點P軌跡圍成的圖形的面積為（）A. B.C. D.3．的展開式中，常數項為（）A. B.C. D.4．如圖，已知正方體，點P是棱中點，設直線為a，直線為b．對于下列兩個命題：①過點P有且只有一條直線l與a、b都相交；②過點P有且只有兩條直線l與a、b都成角．以下判斷正確的是（）A.①為真命題，②為真命題 B.①為真命題，②為假命題C.①為假命題，②為真命題 D.①為假命題，②為假命題5．命題：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（）A.x>0，使得x2－x+1≤0 B.x>0，使得x2－x+1>0C.x>0，都有x2－x+1>0 D.x≤0，都有x2－x+1>06．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.57．已知數列的通項公式為．若數列的前n項和為，則取得最大值時n的值為（）A.2 B.3C.4 D.58．已知函數的值域為，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.9．隨著城市生活節奏的加快，網上訂餐成為很多上班族的選擇，下表是某外賣騎手某時間段訂餐數量與送餐里程的統計數據表：訂餐數/份122331送餐里程/里153045現已求得上表數據的回歸方程中的值為1.5，則據此回歸模型可以預測，訂餐100份外賣騎手所行駛的路程約為（）A.155里 B.145里C.147里 D.148里10．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B.C. D.11．《周髀算經》中有這樣一個問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣日影長依次成等差數列，若冬至、大寒、雨水的日影長的和為36.3尺，小寒、驚蟄、立夏的日影長的和為18.3尺，則冬至的日影長為（）A4尺 B.8.5尺C.16.1尺 D.18.1尺12．已知點，點在拋物線上，過點的直線與直線垂直相交于點，，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三角形OAB頂點，，，則過B點的中線長為______.14．正四棱柱的高為底面邊長的倍，則其體對角線與底面所成角的大小為_________.15．若直線與曲線沒有公共點，則實數的取值范圍是____________16．設函數，，若存在，成立，則實數的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知向量，，且.（1）求滿足上述條件的點M(x,y)的軌跡C的方程；（2）設曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點P，Q，點A(0,1)，當|AP|=|AQ|時，求實數m的取值范圍.18．（12分）已知，2，4，6中的三個數為等差數列的前三項，且100不在數列中，102在數列中.（1）求數列的通項；（2）設，求數列的前項和.19．（12分）已知拋物線上一點到拋物線焦點的距離為，點關于坐標原點對稱，過點作軸的垂線，為垂足，直線與拋物線交于兩點.（1）求拋物線的方程；（2）設直線與軸交點分別為，求的值；（3）若，求.20．（12分）已知函數在時有極值0.（1）求函數的解析式；（2）記，若函數有三個零點，求實數的取值范圍.21．（12分）求適合條件的橢圓的標準方程.（1）長軸長是短軸長的2倍，且過點；（2）在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且焦距為6.22．（10分）已知數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明：當時，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】令，判斷的單調性并計算的極值，根據極值與0的大小關系判斷的零點個數，得出答案.【詳解】令，則，由，得，∴當時，，當時，.∴當時，取得最小值，∴只有一個零點，即與的圖象只有1個交點.故選：B.2、A【解析】構造輔助線，找到點P軌跡圍成的圖形為長方形，從而求出面積.【詳解】取的中點E，的中點F，連接BE，EF，AF，則由于為的中點，可得，所以∠CBE=∠ECN，從而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因為BEEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以點P軌跡圍成的圖形為矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面積為.故選：A3、A【解析】寫出展開式通項，令的指數為零，求出參數的值，代入通項計算即可得解.【詳解】的展開式通項為，令，可得，因此，展開式中常數項為.故選：A.4、A【解析】①由正方形的性質，可以延伸正方形，再利用兩條平行線確定一個平面即可；②一組鄰邊與對角面夾角相等，在平面內繞P轉動，可以得到二條直線與a、b的夾角都等于.【詳解】如下圖所示，在側面正方形和再延伸一個正方形和，則平面和在同一個平面內，所以過點P，有且只有一條直線l，即與a、b相交，故①為真命題；取中點N，連PN，由于a、b為異面直線，a、b的夾角等于與b的夾角.由于平面，平面，，所以平面，所以與與b的夾角都為.又因為平面，所以與與b的夾角都為，而，所以過點P，在平面內存在一條直線，使得與與b的夾角都為，同理可得，過點P，在平面內存在一條直線，使得與與的夾角都為；故②為真命題.故選：A5、B【解析】全稱命題的否定是特稱命題，把任意改為存在，把結論否定.【詳解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故選：B6、C【解析】作出不等式組對應的可行域，再利用數形結合分析求解.【詳解】解：作出不等式組對應的可行域為如圖所示的陰影部分區域，由得，它表示斜率為縱截距為的直線系，當直線平移到點時，縱截距最大，最大.聯立直線方程得得.所以.故選：C7、C【解析】根據單調性分析出數列的正數項有哪些即可求解.【詳解】由條件有，當時，，即；當時，，即.即，所以取得最大值時n的值為.故選：C8、D【解析】求出函數在時值的集合，函數在時值的集合，再由已知并借助集合包含關系即可作答.【詳解】當時，在上單調遞增，，，則在上值的集合是，當時，，，當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，，，則在上值的集合為，因函數的值域為，于是得，則，解得，所以實數的取值范圍是.故選：D9、C【解析】由統計數據求樣本中心，根據樣本中心在回歸直線上求得，即可得回歸方程，進而估計時的y值即可.【詳解】由題意：，，則，可得，故，當時，.故選：C10、C【解析】設直線的傾斜角為，則，解方程即可.【詳解】由已知，設直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：C11、C【解析】設等差數列，用基本量代換列方程組，即可求解.【詳解】由題意，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣的日影長依次成等差數列，記為數列，公差為d，則有，即，解得：，即冬至的日影長為16.1尺.故選：C12、D【解析】由題，由于過拋物線上一點的直線與直線垂直相交于點，可得，又，故，所以的坐標為，由余弦定理可得.故選：D.考點：拋物線的定義、余弦定理【點睛】本題主要考查拋物線的定義與性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出中點坐標，再由距離公式得出過B點的中線長.【詳解】由中點坐標公式可得中點，則過B點的中線長為.故答案為：14、##【解析】如圖所示，其體對角線與底面所成角為，解三角形即得解.【詳解】解：如圖所示，設，所以.由題得平面,則其體對角線與底面所成角為,因為,所以.故答案為：15、；【解析】可化簡曲線的方程為，作出其圖形，數形結合求臨界值即可求解.【詳解】由可得，所以曲線為以為圓心，的下半圓，作出圖形如圖：當直線過點時，，可得，當直線與半圓相切時，則圓心到直線的距離，可得：或（舍），若直線與曲線沒有公共點，由圖知：或，所以實數的取值范圍是：，故答案為：16、【解析】由不等式分離參數，令，則求即可【詳解】由，得，令，則當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，故由于存在，成立，則故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）+y2=1；（2）.【解析】（1）應用向量垂直的坐標表示得x2+3y2=3，即可寫出M的軌跡C的方程；（2）由直線與曲線C交于不同的兩點P(x1,y1)，Q(x2,y2)，設直線y=kx+m(k≠0)，聯立方程整理所得方程有，且由根與系數關系用m，k表示x1+x2，x1x2，若N為PQ的中點結合|AP|=|AQ|知PQ⊥AN可得m、k的等量關系，結合即可求m的范圍.【詳解】(1)∵，即，∴，即有x2+3y2=3，即點M(x,y)的軌跡C的方程為+y2=1.(2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.∵曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點，∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0，即3k2-m2+1>0①，且x1+x2=，x1x2=.設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，線段PQ的中點N(x0,y0)，則.∵|AP|=|AQ|，即知PQ⊥AN，設kAN表示直線AN的斜率，又k≠0，∴kANk=-1.即·k=-1，得3k2=2m-1②，而3k2>0，有m>.將②代入①得2m1m2+1>0，即2m<0，解得0<m<2，∴m的取值范圍為.【點睛】思路點睛：1、由向量垂直，結合其坐標表示得到關于x，y的方程，寫出曲線C的標準方程即可.2、由直線與曲線C相交，聯立方程有，由|AP|=|AQ|得直線的垂直關系，即斜率之積為-1，進而可求參數的范圍.18、（1）（2）【解析】（1）確定數列為遞增數列，然后由4個數確定等差數列，得通項公式，驗證100和102是否為數列中的項得結論；（2）由裂項相消法求和【小問1詳解】首先數列是遞增數列，當2，4，6為的前三項時，易知此時，100，102都是該數列中的項，不滿足題意當，2，6為的前三項時，易知此時，100不是該數列中的項，102是該數列中的項，滿足題意所以【小問2詳解】因為所以所以.19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）運用拋物線的定義進行求解即可；（2）設出直線的方程，與拋物線的方程聯立，可求得點和的縱坐標，結合直線點斜式方程、兩點間距離公式進行求解即可；（3）利用弦長公式求得，由兩點間距離公式求得和，再解方程即可.【小問1詳解】拋物線的準線方程為：，因為點到拋物線焦點的距離為，所以有；小問2詳解】由題意知，，，設，則，，，，所以直線的方程為，聯立，消去得，，解得，設，，，，不妨取，，直線的斜率為，其方程為，令，則，同理可得，所以，而，所以；【小問3詳解】，其中，，，因為，所以，化簡得，解得（舍負），即，所以【點睛】關鍵點睛：運用拋物線的定義、弦長公式進行求解是解題的關鍵.20、（1）（2）【解析】（1）求出函數的導函數，由在時有極值0,則，兩式聯立可求常數a，b的值，從而得解析式；（2）利用導數研究函數的單調性、極值，根據函數圖象的大致形狀可求出參數的取值范圍.【小問1詳解】由可得，因為在時有極值0，所以，即，解得或，當時，，函數在R上單調遞增，不滿足在時有極值，故舍去.所以常數a，b的值分別為.所以.【小問2詳解】由（1）可知，，令，解得，當或時，當時，，的遞增區間是和，單調遞減區間為，當有極大值，當有極小值，要使函數有三個零點，則須滿足，