信道編碼但上述方法中將g(x)與信息碼多項式u(x)相乘所得到的循環碼是非系統碼如上例中：(x+1)·g(x)=x5+x2+x+1其中信息碼為：011，生成碼組為：0100111對于任一系統碼其應該具有的形式為：c=(un-1un-2…un-k

rn-k-1

rn-k-2…r0)前k位為信息位，后n–k

位為監督位，其所對應的多項式：c(x)=un-1xn-1+un-2xn-2+

…+un-k

xn-k

+

rn-k-1xn-k-1+

rn-k-2xn-k-2+

…+r0=

xn-k(un-1xk-1+un-2xk-2+

…+un-k

)+

rn-k-1xn-k-1+

rn-k-2xn-k-2+

…+r0=

xn-k

u(x)+r(x)再由，任意一個循環碼能夠整除生成多項式g(x)：0=[c(x)]modg(x)=[xn-k

u(x)+r(x)]modg(x)=[xn-k

u(x)]modg(x)+r(x)r(x)=[xn-k

u(x)]modg(x)因此：若要生成系統碼，先將輸入的信息碼多項式乘以xn-k，即在信息碼組后補n-k位做為監督碼的填充位，循環碼組的前k位為信息碼例如：有一(15,11)循環碼，其生成多項式g(x)=x4+x

+1，若信息碼為：u=(10010010010)求該信息碼組的系統循環碼組u(x)=x10+x7+x4+x

xn-ku(x)=x4u(x)=x14+x11+x8+x5

→(100100100100000)r(x)=[x4u(x)]modg(x)=x2→(0100)c(x)=x4u(x)+r(x)=x14+x11+x8+x5+x2即：循環碼組c=(

100100100100100)循環碼生成矩陣假設(n,k)循環碼的生成多項式具有形式：g(x)=xn-k

+gn-k-1xn-k-1+

…+g1x+1由于xig(x)(i=0,1,…,k–1)對應k個碼組，且它們不相關，則可利用兩個多項式的乘法特性構造生成矩陣：該生成矩陣并不是典型形式的，所以由此矩陣生成的碼組是非系統碼例如：(7,3)循環碼中的生成碼多項式：g(x)=x4+x3+x2+1，那么其生成矩陣：對于系統碼的循環碼，其生成矩陣必然具有下面的典型形式：即該生成矩陣是由一個k階的單位陣和一個k×(n–k)階的矩陣Q拼接而成，若能確定這兩個矩陣，就能確定生成系統碼的生成矩陣確定k階單位陣考慮這個典型的矩陣第一行，若用多項式表示，其形式為：第二行：最后一行：因此單位陣與典型的生成矩陣表示為：確定Q陣。考慮：c(x)=

xn-k

u(x)+r(x)，r(x)=[xn-k

u(x)]modg(x)k位信息位多項式：u(x)=uk-1xk-1+uk-2xk-2+

…+u1x+u0所以：xn-ku(x)=uk-1xn-k+k-1+uk-2xn-k+k-2+

…+u1xn-k+1

+u0xn-k=uk-1xn-1+uk-2xn-2+

…+u1xn-(k+1)

+u0xn-k[xn-k

u(x)]modg(x)=[uk-1xn-1]modg(x)+[uk-2xn-2]modg(x)+…+[u0xn-k]modg(x)=uk-1[xn-1]modg(x)+uk-2[xn-2]modg(x)+…+u0[xn-k]modg(x)用矩陣的形式表示上式：那么信息位組成的矩陣：乘以單位陣Ik：再由剛才分析的：由前述分析系統碼形式的循環碼為：c(x)=

xn-k

u(x)+r(x)因此，將上式中的列矩陣就是要確定的Q矩陣，即：因此單位陣Ik拼在一起就可組成生成系統碼的循環碼生成矩陣：g(x)=xn-k

+gn-k-1xn-k-1+

…+g1x+1[xn-k]modg(x)=gn-k-1xn-k-1+

…+g1x+1xn-k

+[xn-k]modg(x)=g(x)例如：(7,4)循環碼的生成多項式為：g(x)=(x3+x+1)，求其系統碼的生成矩陣1）n=7，k=4，因此生成矩陣階數：4×7。其中單位陣Ik為4×4，Q矩陣4×32）求解[xn-i]modg(x)(i=1,2,…,k)

[x6]modg(x)=x2+1,[x5]modg(x)=x2+x+1,[x4]modg(x)=x2+x,[x3]modg(x)=x+1即：監督多項式與監督矩陣因為生成多項式g(x)是xn+1的一個因子，因此：xn+1=g(x)h(x)g(x)=gn-kxn-k

+…+g1x+g0h(x)=hk

xk

+…+h1x+h0xn+1=g(x)h(x)=(gn-kxn-k

+…+g1x+g0)(hk

xk

+…+h1x+h0)則：g0hi

+g1hi-1

+…+gn-khi-n+k=0,(i=1,2,…,n-1)g0h0

+gn-k

hk=0那么對于生成多項式所構成的生成矩陣G則有：G·HT

=g0hi

+g1hi-1

+…+gn-khi-n+k=0,(i=1,2,…,n-1)對于任一循環碼有：C=U·G則：C·HT

=U·G·HT=0因此矩陣H被稱為循環碼的監督矩陣例如：有(7,4)循環碼，g(x)=(x3+x2+1)因為：xn+1=g(x)h(x)則：h(x)=(xn+1)/g(x)=x4+x3+x2+1(11101

)根據監督矩陣H的構造方法可知：監督多項式為：h*(x)=(10111

)=x4+x2+x

+1循環碼的編碼編碼：(n,k)循環碼的編碼包括非系統碼的編碼和系統碼的編碼：

1）非系統碼編碼：c(x)=u(x)g(x)，采用乘法電路進行編碼

2）系統碼編碼：c(x)=xn-ku(x)＋[xn-ku(x)]modg(x)，采用除法電路進行編碼以(7,4)碼為例，其生成矩陣為g(x)=x3+x

+1對于信息位：u(x)=u3x3+u2x2+

u1x+u0則：x3u(x)=u3x6+u2x5+

u1x4+u0x3=x{x[x(u3x3)

+u2x3]+

u1x3}+u0x3[x3u(x)]modg(x)=[x{x[x(u3x3)

+u2x3]

+

u1x3}+u0x3]modg(x)有等式成立：[xu(x)+f(x)]modg(x)={x[u(x)]modg(x)+f(x)}modg(x)所以：[x3u(x)]modg(x)=[x{x[x(u3x3)modg(x)+u2x3]modg(x)+u1x3}mo